【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第14章 计数原理、二项式定理、概率14．6二项式定理教学案 苏教版.doc

14.6二项式定理1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题1二项式定理(ab)n_，该等式右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式该展开式有如下特点：(1)它是_项和的形式；(2)各项次数的和都等于二项式的幂指数_，各项从左到右是按字母a的降幂且按字母b的升幂排列的；(3)它是两项和的形式，公式中a，b的位置不能互换，(ab)n可按a(b)n展开；(4)c(r0,1,2，n)叫做二项式第_项的二项式系数，它与a，b的取值无关2通项公式tr1canrbr(r0,1,2，n)，它表示展开式中的任意一项，只要n，r确定，该项也就随之确定3二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即c_.(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项的二项式系数_最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数_、_相等且最大(3)各二项式系数的和：cccc_，其中cc_2n1，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2n1.1若(1)5ab(a，b为有理数)，则ab_.2设(x1)21a0a1xa2x2a21x21，则a10a11_.3已知(x1)15a0a1xa2x2a15x15，则a0a1a2a7_.二项式系数与各项的系数有什么区别和联系？提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指c，c，c.它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关，如(abx)n的展开式中，第k1项的二项式系数是c，而该项的系数是cankbk.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的一、二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项方法提炼求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可请做针对训练1二、用赋值法求二项式展开式系数的和【例2】 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.方法提炼(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a，br)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，br)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.请做针对训练3三、二项式积的运算【例3】(1xx2)6的展开式中的常数项为_方法提炼求两个以上二项式积的展开式中某指定项时，仍然是从通项公式入手，结合乘法对加法的分配律，拼凑出指定要求的项；对于三项和的展开式，一般是合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去解请做针对训练2四、二项式定理的综合应用【例4】已知n(nn*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项方法提炼求展开式中系数最大的项，如求(abx)n(a，br)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为a1，a2，an1，且第k项系数最大，由不等式组解出k，即可求得请做针对训练4高考对本节内容的考查主要是二项展开式和通项的应用，具体会涉及到求特定的项或系数，以及二项式系数等问题，是高考的必考点之一，但题目较为容易，多以填空题的形式出现1若6展开式的常数项为60，则常数a的值为_2(1x3)6展开式的常数项为_3若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6.4已知(a21)n展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值参考答案基础梳理自测知识梳理1cancan1bcanrbrcbn(nn*)(1)n1(2)n(4)r13(1)c(2)cncncn(3)2ncc基础自测170解析：(1)51510()210()35()4()54129，由已知条件，得a41，b29，则ab70.20解析：tr1cx21r(1)r(1)rcx21r.由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10c，a11c，a10a11cc0.3214解析：由题意知a0a1a2a7cccccc.又cccccc215，ccc214.考点探究突破【例1】 解：(1)通项公式为tk1cxkxckx.第6项为常数项，k5时，0，即n10.(2)令2，得k2，故含x2的项的系数是c2.(3)根据通项公式，由题意令r(rz)，则102k3r，k5r，kn，r应为偶数r可取2,0，2，即k可取2,5,8，第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为c2x2，c5，c8x2.【例2】 解：令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0c1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)(12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.【例3】 5解析：6的展开式中的通项为tk1cx6kk(1)kcx62k.令62k0，得k3，t4(1)3cc；令62k1，得k(舍)；令62k2，得k4，t5(1)4cx2cx2.(1xx2)6的展开式中的常数项为1(c)c20155.【例4】 解：由题意知，第五项的系数为c(2)4，第三项的系数为c(2)2，则有，化简得n25n240，解得n8或n3(舍去)(1)令x1得各项系数的和为(12)81.(2)通项公式tk1c()8kkc(2)kx2k，令2k，则k1，故展开式中含x的项为t216x.(3)设展开式中的第k项，第k1项，第k2项的系数绝对值分别为c2k1，c2k，c2k1，若第k1项的系数绝对值最大，则解得5k6.又t6的系数为负，所以系数最大的项为t71 792x11.由n8知第5项二项式系数最大，此时t51 120x6.演练巩固提升针对训练14解析：二项式6展开式的通项公式是tr1cx6r()rx2rcx63r()r，当r2时，tr1为常数项，即常数项是ca，根据已知ca60，解得a4.235解析：6的通项公式为tr1cx6rrcx63r，(1x3)6的展开式中的常数项由两部分组成：由63r0，得r2，c15；由63r3，得r3，c20.相加得152035.3解：(1)令x0，则a01；令x1，得a7a6a1a027128，a1a2a7129.(2)令x1，得a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得2(a1a3a5a7)128(4)7.a1a3a5a78 256.(3)由得