【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第14章 计数原理、二项式定理、概率14．5离散型随机变量的均值与方差教学案 苏教版.doc

14.5离散型随机变量的均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题1离散型随机变量x的均值与方差若离散型随机变量x的概率分布如表所示xx1x2xixnpp1p2pipn(1)均值(数学期望)称_为离散型随机变量x的均值或数学期望，记为e(x)或，即e(x)_.(2)方差称_为离散型随机变量x的方差，记为v(x)或2，即v(x)2_.(3)标准差随机变量x的方差v(x)的算术平方根称为x的标准差，即_.2两点分布、超几何分布与二项分布的均值、方差(1)若x01分布，则e(x)_，v(x)_.(2)若xh(n，m，n)，则e(x)_，v(x)_.(3)若xb(n，p)，则e(x)_，v(x)_.1随机变量的概率分布由下表给出：78910p0.30.350.20.15该随机变量的均值是_2已知x的概率分布如表所示x101p设y2x3，则e(y)的值为_3已知离散型随机变量x的概率分布如下表若e(x)0，v(x)1，求a，b，c的值x1012pabc4袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、均值和方差；(2)若ab，e()1，v()11，试求a，b的值1随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差2你能证明v(axb)a2v(x)吗？提示：e(axb)ae(x)b，v(axb) (axibae(x)b)2pi (axiae(x)2pia2 (xie(x)2pia2v(x)一、离散型随机变量的均值与方差【例1】(2012届苏州期末)将三个小球随机地投入编号1,2,3,4的4个盒子中(每个盒子容纳的小球的个数没有限制)，求：(1)第1个盒子为空盒的概率；(2)小球最多的盒子中小球的个数x的概率分布和数学期望方法提炼求数学期望、方差的步骤：(1)求随机变量的概率分布；(2)利用定义或性质求数学期望或方差请做针对训练1二、数学期望与方差的应用【例2】 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润(单位：万元)为x.(1)求x的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即x的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？方法提炼(1)解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率(2)均值与方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般是先分析比较均值，若均值相同，再用方差来决定请做针对训练2从近两年的高考试题来看，离散型随机变量的均值与方差是高考的热点，题型为解答题，属中档题，常与排列组合、概率等知识综合命题，既考查基本概念，又注重考查基本运算能力和逻辑推理、理解能力1袋中有同样的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量的概率分布；(2)随机变量的数学期望与方差2在某一有奖销售中，每10万份奖券中有1个一等奖(奖金10 000元)，2个二等奖(每个奖金5 000元)，500个三等奖(每个奖金100元)，10 000个四等奖(每个奖金5元)，试求每张奖券奖金的期望值如果每张奖券3元，销售一张平均获利多少(假设所有奖券全部售完)?参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)x1p1x2p2xnpnx1p1x2p2xnpn(2)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn(3)2(1)pp(1p)(2)(3)npnp(1p)基础自测18.2解析：由题意知e()70.380.3590.2100.158.2.2.解析：e(x)，e(y)e(2x3)2e(x)33.3解：由条件知解得a，b，c.4解：(1)的分布列为01234pe()012341.5，v()(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由v()a2v()，得a22.7511，即a2.又e()ae()b，当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.或即为所求考点探究突破【例1】解：(1)任意投放共有4364种方法，若第1个盒子为空盒，则小球可随机地投入编号2,3,4的3个盒子中，有3327种方法，故所求的概率为.(2)小球最多的盒子中小球的个数x的取值为1,2,3.则p(x1)；p(x2)；p(x3).故x的概率分布如表所示.x123p所以x的数学期望为e(x)123.【例2】解：(1)x的所有可能取值有6,2,1，2.p(x6)0.63，p(x2)0.25，p(x1)0.1，p(x2)0.02.故x的分布列为x6212p0.630.250.10.02(2)e(x)60.6320.2510.1(2)0.024.34(万元)(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为e(x)60.72(10.70.01x)x(2)0.014.76x(0x0.29)，依题意，知e(x)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03.所以三等品率最多为3%.演练巩固提升针对训练1解：(1)随机变量可取的值为2,3,4，p(2)；p(3)；p(4)，所以随机变量的概率分布列为x234p(x)(2)随机变量的