山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 立体几何（2）（含解析）.doc

点、线、面的位置关系1、在四棱锥pabcd中，底面是边长为2的菱形，dab60，对角线ac与bd交于点o，po平面abcd，pb与平面abcd所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若e是pb的中点，求异面直线de与pa所成角的余弦值解(1)在四棱锥pabcd中，po面abcd，pbo是pb与面abcd所成的角，即pbo60，boabsin 301，poob，pobotan 60，底面菱形的面积s2222.四棱锥pabcd的体积vpabcd22.(2)取ab的中点f，连接ef，df，e为pb中点，efpa，def为异面直线de与pa所成角(或其补角)在rtaob中，aoabcos 30op，在rtpoa中，pa，ef.在正abd和正pdb中，dfde，在def中，由余弦定理，得cosdef.即异面直线de与pa所成角的余弦值为.2、在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱a1b1，a1d1的中点，则a1b与ef所成角的大小为_解析如图，连接b1d1，d1c，b1c.由题意知ef是a1b1d1的中位线，所以efb1d1.又a1bd1c，所以a1b与ef所成的角等于b1d1与d1c所成的角因为d1b1c为正三角形，所以b1d1c.故a1b与ef所成角的大小为.答案3(2013浙江卷)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()a若m，n，则mn b若m，m ，则c若mn，m，则n d若m，则m解析本题可借助特殊图形求解，画一个正方体作为模型(如图)设底面abcd为，侧面a1add1为.当a1b1m，b1c1n时，显然a不正确；当b1c1m时，显然d不正确；当b1c1m时，显然b不正确故选c.答案c4对于不同的直线m，n和不同的平面，有如下四个命题：若m，mn，则n；若m，mn，则n；若，则；若m，mn，n，则.其中真命题的个数是()a1 b2 c3 d4解析本题可借助特殊图形求解画一个正方体作为模型(如图)设底面abcd为.当a1b1m，b1c1n，显然符合的条件，但结论不成立；当a1am，acn，显然符合的条件，但结论不成立；与底面abcd相邻两个面可以两两垂直，但任何两个都不平行；由面面垂直的判定定理可知，是正确的只有正确，故选a.答案a5已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：若ml，nl，则mn；命题q：若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题为真命题的是()apq bpqcp(q) d(p)q解析命题p中，m，n可能平行、还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题所以p和q都为真命题，故p(q)为真命题选c.答案c4如图，在正方体abcda1b1c1d1中，(1)求a1c1与b1c所成角的大小；(2)若e，f分别为ab，ad的中点，求a1c1与ef所成角的大小解：(1)如图，连接ac，ab1，由abcda1b1c1d1是正方体，知aa1c1c为平行四边形，所以aca1c1，从而b1c与ac所成的角就是a1c1与b1c所成的角由ab1c中，由ab1acb1c可知b1ca60，即a1c1与b1c所成角为60.(2)如图，连接bd，由(1)知aca1c1.ac与ef所成的角就是a1c1与ef所成的角ef是abd的中位线，efbd.又acbd，acef，即所求角为90.efa1c1.即a1c1与ef所成的角为90. 直线、平面平行的判定与性质考点：有关线面、面面平行的命题真假判断1、(1)(2013广东卷)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()a若，m，n，则mn b若，m，n，则mnc若mn，m，n，则 d若m，mn，n，则(2)设m，n表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是()a若m，mn，则nb若m，n，m，n，则c若，m，mn，则nd若，m，nm，n，则n解析(1)a中，m与n可垂直、可异面、可平行；b中m与n可平行、可异面；c中，若，仍然满足mn，m，n，故c错误；故d正确(2)a错误，n有可能在平面内；b错误，平面有可能与平面相交；c错误，n也有可能在平面内；d正确，易知m或m，若m，又nm，n，n，若m，过m作平面交平面于直线l，则ml，又nm，nl，又n，l，n.答案(1)d(2)d2、(1)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面，的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m，n，l，则mn.其中真命题的个数为()a3 b2 c1 d0解析：中，当与相交时，也能存在符合题意的l，m；中，l与m也可能异面；中，l，l，mlm，同理ln，则mn，正确答案：c考点二：线面平行的判定与性质 1、如图，直三棱柱abcabc，bac90，abac，aa1，点m，n分别为ab和bc的中点(1)证明：mn平面aacc；(2)求三棱锥amnc的体积(1)证明：连接ab，ac，如图，由已知bac90，abac，三棱柱abcabc为直三棱柱，所以m为ab中点又因为n为bc的中点，所以mnac.又mn平面aacc，ac平面aacc，因此mn平面aacc.(2)解：连接bn，如图，由题意anbc，平面abc平面bbccbc，所以an平面nbc.又anbc1，2、如图，在四面体abcd中，f，e，h分别是棱ab，bd，ac的中点，g为de的中点证明：直线hg平面cef.证明：法一：如图1，连接bh，bh与cf交于k，连接ek.f，h分别是ab，ac的中点，k是abc的重心，.又据题设条件知，ekgh.ek平面cef，gh平面cef，直线hg平面cef. 法二如图2，取cd的中点n，连接gn、hn.g为de的中点，gnce.ce平面cef，gn平面cef，gn平面cef.连接fh，enf，e，h分别是棱ab，bd，ac的中点，fhbc，enbc，fhen，四边形fhne为平行四边形，hnef.ef平面cef，hn平面cef，hn平面cef.hngnn，平面ghn平面cef.gh平面ghn，直线hg平面cef.考点三面面平行的判定与性质1、(2013陕西卷)如图，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o是底面中心，a1o底面abcd，abaa1.(1)证明：平面a1bd平面cd1b1；(2)求三棱柱abda1b1d1的体积(1)证明由题设知，bb1dd1，四边形bb1d1d是平行四边形，bdb1d1.又bd平面cd1b1，bd平面cd1b1.a1d1b1c1bc，四边形a1bcd1是平行四边形，a1bd1c.又a1b平面cd1b1，a1b平面cd1b1.又bda1bb，平面a1bd平面cd1b1.(2)解a1o平面abcd，a1o是三棱柱abda1b1d1的高又aoac1，aa1，a1o1.又sabd1，2、在正方体abcda1b1c1d1中，m，n，p分别是c1c，b1c1，c1d1的中点，求证：平面pmn平面a1bd.证明法一如图，连接b1d1，b1c.p，n分别是d1c1，b1c1的中点，pnb1d1.又b1d1bd，pnbd.又pn平面a1bd，pn平面a1bd.同理mn平面a1bd.又pnmnn，平面pmn平面a1bd.3、(2012山东卷，文)如图1，几何体eabcd是四棱锥，abd为正三角形，cbcd，ecbd.(1)求证：bede；(2)若bcd120，m为线段ae的中点，求证：dm平面bec.图1 图2 (1)如图2，取bd的中点o，连接co，eo.由于cbcd，所以cobd，(1分)又ecbd，eccoc，co，ec平面eoc，所以bd平面eoc，因此bdeo，(3分)又o为bd的中点，所以bede.(5分)(2)法一如图3，取ab的中点n，连接dm，dn，mn，因为m是ae的中点，所以mnbe.(6分)又mn平面bec，be平面bec，mn平面bec.(7分)又因为abd为正三角形，所以bdn30，又cbcd，bcd120，因此cbd30，所以dnbc.(9分)又dn平面bec，bc平面bec，所以dn平面bec.又mndnn，故平面dmn平面bec，(11分)又dm平面dmn，所以dm平面bec.(12分)法二：如图4，延长ad，bc交于点f，连接ef.因为cbcd，bcd120，所以cbd30.(7分)因为abd为正三角形，所以bad60，abc90，因此afb30，所以abaf.(9分)又abad，所以d为线段af的中点(10分)连接dm，由点m是线段ae的中点，因此dmef.(11分)又dm平面bec，ef平面bec，所以dm平面bec.4、(2013福建)如图，在四棱锥pabcd中，abdc，ab6，dc3，若m为pa的中点，求证：dm平面pbc.证明法一取pb中点n，连接mn，cn.在pab中，m是pa的中点，mnab，且mnab3，又cdab，cd3，mncd，四边形mncd为平行四边形，dmcn.又dm平面pbc，cn平面pbc，dm平面pbc.法二取ab的中点e，连接me，de.在梯形abcd中，becd，且becd，四边形bcde为平行四边形，debc，又de平面pbc，bc平面pbc，de平面pbc.又在pab中，mepb，me平面pbc，pb平面pbc，me平面pbc，又demee，平面dme平面pbc.又dm平面dme，dm平面pbc.5(2014青岛一模)四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，n是pb中点，过a，n，d三点的平面交pc于m.(1)求证：pd平面anc；(2)求证：m是pc中点证明(1)连接bd，ac，设bdaco，连接no，abcd是平行四边形，o是bd中点，在pbd中，又n是pb中点，pdno，又no平面anc，pd平面anc，pd平面anc.(2)底面abcd为平行四边形，adbc，又bc平面admn，ad平面admn，bc平面admn，因平面pbc平面admnmn，bcmn，又n是pb中点，m是pc中点6.如图，已知abcda1b1c1d1是棱长为3的正方体，点e在aa1上，点f在cc1上，g在bb1上，且aefc1b1g1，h是b1c1的中点(1)求证：e，b，f，d1四点共面；(2)求证：平面a1gh平面bed1f.证明(1)aeb1g1，bga1e2，bga1e，a1gbe.又同理，c1fb1g，四边形c1fgb1是平行四边形，fgc1b1d1a1，四边形a1gfd1是平行四边形a1gd1f，d1feb，故e、b、f、d1四点共面(2)h是b1c1的中点，b1h.又b1g1，.又，且fcbgb1h90，b1hgcbf，b1ghcfbfbg，hgfb.又由(1)知a1gbe，且hga1gg，fbbeb，平面a1gh平面bed1f直线、平面垂直的判定与性质考点：空间垂直关系的判定1设，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()a若，n，mn，则mb若m，n，mn，则nc若n，n，m，则md若m，n，mn，则解析与，两垂直平面的交线垂直的直线m，可与平行或相交，故a错；对b，存在n情况，故b错；对d；存在情况，故d错；由n，n，可知，又m，所以m，故c正确答案c2已知平面，和直线l，m，且lm，m，l，给出下列四个结论：；l；m；.其中正确的是()a b c d解析如图，由题意，l，l，由，m，且lm，l，即正确；由l，l，由l，得，即正确；而条件不充分，不能判断答案b3关于直线l，m及平面，下列命题中正确的是 ()a若l，m，则lmb若l，m，则lmc若l，l，则d若l，ml，则m答案c4设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是()am，n，且，则mnbm，n，且，则mncm，n，mn，则dm，n，m，n，则解析a中的直线m，n也有可能异面，所以不正确b正确c中，不一定垂直，错误d中当m，n相交时，结论成立，当m，n不相交时，结论不成立所以选b.答案b5设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若，m，n，则mn；若，m，n，则mn；若，m，n，则mn；若，m，n，则mn.上面命题中，所有真命题的序号为_解析只要画出两个平行平面，可以发现分别在两个平面内的直线是可以异面的，即m与n可以异面，不一定平行；满足条件的两条直线m和n也可以相交或异面，不一定平行答案 考点二：直线与平面垂直的判定和性质1、如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点证明：(1)cdae；(2)pd平面abe.证明(1)在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，cd平面abcd，pacd.accd，paaca，cd平面pac.而ae平面pac，cdae.(2)由paabbc，abc60，可得acpa.e是pc的中点，aepc.由(1)，知aecd，且pccdc，ae平面pcd.而pd平面pcd，aepd.pa底面abcd，paab.又abad且paada，ab平面pad，而pd平面pad，abpd.又abaea，pd平面abe.2、如图，直四棱柱abcda1b1c1d1中，abcd，adab，ab2，ad，aa13，e为cd上一点，de1，ec3.证明：be平面bb1c1c.证明：过b作cd的垂线交cd于f，则bfad，efabde1，fc2.在rtbef中，be.在rtcfb中，bc.在bec中，因为be2bc29ec2，故bebc.由bb1平面abcd，得bebb1，又bb1bcb，所以be平面bb1c1c.考点三平面与平面垂直的判定与性质1、如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，abbcaa1，且acbc，点d是ab的中点求证：平面abc1平面b1cd.证明abca1b1c1是棱柱，且abbcaa1bb1，四边形bcc1b1是菱形，b1cbc1.由aa1平面abc，aa1bb1，得bb1平面abc.ab平面abc，bb1ab，又abbc，且acbc，abbc，而bb1bcb，bb1，bc平面bcc1b1，ab平面bcc1b1，而b1c平面bcc1b1，abb1c，而abbc1b，ab，bc1平面abc1.b1c平面abc1，而b1c平面b1cd，平面abc1平面b1cd.2、如图，在长方体abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，m是棱cc1的中点证明：平面abm平面a1b1m.证明由长方体的性质可知a1b1平面bcc1b1，又bm平面bcc1b1，所以a1b1bm.又cc12，m为cc1的中点，所以c1mcm1.在rtb1c1m中，b1m，同理bm，又b1b2，所以b1m2bm2b1b2，从而bmb1m.又a1b1b1mb1，所以bm平面a1b1m，因为bm平面abm，所以平面abm平面a1b1m.考点四：平行、垂直关系的综合问题1、 如图，在四棱锥pabcd中，abac，abpa，abcd，ab2cd，e，f，g，m，n分别为pb，ab，bc，pd，pc的中点(1)求证：ce平面pad；(2)求证：平面efg平面emn.证明(1)如图，取pa的中点h，连接eh，dh.因为e为pb的中点，所以ehab，且ehab.又abcd，且cdab，所以eh綉cd.所以四边形dceh是平行四边形所以cedh.又dh平面pad，ce平面pad，所以ce平面pad.(2)因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpa.又abpa，且ef，pa共面，所以abef.同理可证abfg.又effgf，ef平面efg，fg平面efg，因此ab平面efg.又m，n分别为pd，pc的中点，所以mndc.又abdc，所以mnab，因此mn平面efg.又mn平面emn，所以平面efg平面emn.2、如图，ab是圆o的直径，pa垂直圆o所在的平面，c是圆o上的点(1)求证：bc平面pac；(2)设q为pa的中点，g为aoc的重心，求证：qg平面pbc.证明(1)由ab是圆o的直径，得acbc，由pa平面abc，bc平面abc，得pabc.又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac.(2)连接og并延长交ac于m，连接qm，qo，由g为aoc的重心，得m为ac中点由q为pa中点，得qmpc，又o为ab中点，得ombc.因为qmmom，qm平面qmo，mo平面qmo，bcpcc，bc平面pbc，pc平面pbc.所以平面qmo平面pbc.因为qg平面qmo，所以qg平面pbc3.如图，在四棱锥pabcd中，abcd，abad，cd2ab，平面pad底面abcd，paad.e和f分别是cd和pc的中点求证：(1)pa底面abcd；(2)be平面pad；(3)平面bef平面pcd.证明(1)因为平面pad平面abcdad.又平面pad平面abcd，且paad.所以pa底面abcd.(2)因为abcd，cd2ab，e为cd的中点，所以abde，且abde.所以abed为平行四边形所以bead.又因为be平面pad，ad平面pad，所以be平面pad.(3)因为abad，且四边形abed为平行四边形所以becd，adcd.由(1)知pa底面abcd，所以pacd.所以cd平面pad，从而cdpd，且cd平面pcd，又e，f分别是cd和cp的中点，所以efpd，故cdef.由ef，be在平面bef内，且efbee，cd平面bef.所以平面bef平面pcd.4在如图的多面体中，ae底面befc，adefbc，beadefbc，g是bc的中点(1)求证：ab平面deg；(2)求证：eg平面bdf.证明(1)adef，efbc，adbc.又bc2ad，g是bc的中点，ad綉bg，四边形adgb是平行四边形，abdg.ab平面deg，dg平面deg，ab平面deg.(2)连接gf，四边形adfe是矩形，dfae，ae底面befc，df平面bcfe，eg平面bcfe，dfeg.ef綉bg，efbe，四边形bgfe为菱形，bfeg，又bfdff，bf平面bfd，df平面bfd，eg平面bdf.5.如图，在五面体abcdef中，点o是矩形abcd的对角线的交点，abf是等边三角形，棱efbc，且efbc.(1)求证：eo面abf；(2)若efeo，证明：平面efo平面abe.证明(1)取ab的中点m，连接fm，om.o为矩形abcd的对角线的交点，ombc，且ombc，又efbc，且efbc，omef，且omef，四边形efmo为平行四边形，eofm，又fm平面abf，eo平面abf，eo平面abf.(2)由(1)知四边形efmo为平行四边形，又efeo，四边形efmo为菱形，连接em，则有foem，又abf是等边三角形，且m为ab中点，fmab，易知moab，且momfm，ab面efmo，abfo.abemm，fo平面abe.又fo平面efo，平面efo平面abe.6如图，在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，abad，bad60，e，f分别是ap，ad的中点求证：(1)直线ef平面pcd；(2)平面bef平面pad.证明(1)如图，在pad中，因为e，f分别为ap，ad的中点，所以efpd.又因为ef平面pcd，pd平面pcd，所以直线ef平面pcd.(2)连接bd.因为abad，bad60，所以abd为正三角形因为f是ad的中点，所以bfad.因为平面pad平面abcd，bf平面abcd，平面pad平面abcdad，所以bf平面pad.又因为bf平面bef，所以平面bef平面pad.7.如图1，在边长为1的等边三角形abc中，d，e分别是ab，ac上的点，adae，f是bc的中点，af与de交于点g.将abf沿af折起，得到如图2所示的三棱锥abcf，其中bc.(1)证明：de平面bcf；(2)证明：cf平面abf；(3)当ad时，求三棱锥fdeg的体积vfdeg.(1)证明在等边abc中，adae，在折叠后的图形中，仍有adae，abac，因此，从而debc.因为de平面bcf，bc平面bcf，所以de平面bcf.(2)证明在折叠前的图形中，因为abc为等边三角形，bfcf，所以afbc，则在折叠后的图形中，afbf，afcf，又bfcf，bc.，所以bc2bf2cf2，所以 bfcf.又bfaff，bf平面abf，af平面abf，所以cf平面abf.(3)解由(1)知，平面deg平面bcf，由(2)知afbf，afcf，又bfcff，所以af平面bcf，所以af平面deg，即gf平面deg.在折叠前的图形中，ab1，bfcf，af.由ad知，又dgbf，所以，所以dgeg，ag，所以fgafag.故v三棱锥fdegv三棱锥edfgdgfgge2.考点五线面角、二面角的求法1、如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点(1)求pb和平面pad所成的角的大小；(2)证明ae平面pcd；(3)求二面角apdc的正弦值(1)解在四棱锥pabcd中，因pa底面abcd，ab平面abcd，故paab.又abad，pacda，从而ab平面pad，故pb在平面pad内的射影为pa，从而apb为pb和平面pad所成的角在rtpab中，abpa，故apb45.所以pb和平面pad所成的角的大小为45.(2)证明在四棱锥pabcd中，因pa底面abcd，cd平面abcd，故cdpa.由条件cdac，paaca，cd平面pac.又ae平面pac，aecd.由paabbc，abc60，可得acpa.e是pc的中点，aepc.又pccdc，综上得ae平面pcd.(3)解过点e作empd，垂足为m，连接am，如图所示由(2)知，ae平面pcd，am在平面pcd内的射影是em，则ampd.因此ame是二面角apdc的平面角由已知，可得cad30.设aca，可得paa，ada，pda，aea.在rtadp中，ampd，ampdpaad，则ama.在rtaem中，siname.所以二面角apdc的正弦值为.规律方法 (1)求直线与平面所成的角的一般步骤：找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角2、在正方体abcda1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的余弦值为() a. b.c. d.解析如图，连接bd交ac于o，连接d1o，由于bb1dd1，dd1与平面acd1所成的角就是bb1与平面acd1所成的角易知dd1o即为所求设正方体的棱长为1，则dd11，do，d1o，cosdd1o.bb1与平面acd1所成角的余弦值为.答案d3如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd为矩形，sa平面abcd，二面角scda的平面角为45，m为ab的中点，n为sc的中点(1)证明：mn平面sad；(2)证明：平面smc平面scd；(3)记，求实数的值，使得直线sm与平面scd所成的角为30.(1)证明如图，取sd的中点e，连接ae，ne，则necdam，necdam，四边形amne为平行四边形，mnae.mn平面sad，ae平面sad，mn平面sad.(2)证明sa平面a