【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 阶段检测四 立体几何初步　空间向量在立体几何中的应用试题 理（含解析）新人教A版.doc

阶段检测四立体几何初步空间向量在立体几何中的应用(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块共有()a3块 b4块 c5块 d6块2(2012株洲模拟)已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面，有下列命题：若l，m，且，则lm若l，m，且lm，则若m，n，m，n，则若，m，n，nm，则n其中真命题的个数是()a4 b3 c2 d13(2012广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件4如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是()5若圆锥的侧面展开图是圆心角为120、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是()a32 b21c53 d436如图，下列四个正方体图形中，a，b为正方体的两个顶点，m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是()a b c d7设有如下三个命题：甲：相交直线l，m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l，m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交当甲成立时()a乙是丙的充分而不必要条件b乙是丙的必要而不充分条件c乙是丙的充分且必要条件d乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件8如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：点m到ab的距离为；三棱锥cdne的体积是；ab与ef所成的角是.其中正确命题的个数是()a0 b1 c2 d39一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是()a96 b16 c24 d4810在正四面体pabc中，点d，e，f分别是ab，bc，ca的中点，则下面四个结论不成立的是()abc平面pdf bdf平面paec平面pdf平面abc d平面pdf平面pae11(2012北京模拟)如图，四边形abcd中，abadcd1，bd，bdcd.将四边形abcd沿对角线bd折成四面体abcd，使平面abd平面bcd，则下列结论正确的是()aacbdbbac90cca与平面abd所成的角为30d四面体abcd的体积为12在正方体abcda1b1c1d1中，点m，n分别在线段ab1，bc1上，且ambn.以下结论：aa1mn；a1c1mn；mn平面a1b1c1d1；mn与a1c1异面，其中有可能成立的个数为()a4 b3 c2 d1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中横线上)13已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是_14(2012辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_15在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱a1b1，a1d1的中点，则a1b与ef所成角的大小为_16某几何体的三视图如图，则该几何体体积的最大值为_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)如图，在四面体abcd中，e，g分别为bc，ab的中点，f在cd上，h在ad上，且有dffcdhha23.求证：ef，gh，bd交于一点18(12分)如图，在四棱台abcda1b1c1d1中，d1d平面abcd，底面abcd是平行四边形，ab2ad，ada1b1，bad60.(1)证明：aa1bd；(2)证明：cc1平面a1bd.19(12分)(2012上海高考改编)如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，d是pc的中点已知bac，ab2，ac2，pa2.求：(1)三棱锥pabc的体积；(2)异面直线bc与ad所成的角的余弦值20(12分)如图，四棱锥sabcd中，底面abcd是边长为4的正方形，o是ac与bd的交点，so平面abcd，e是侧棱sc的中点，直线sa和ao所成角的大小是45.(1)求证：直线sa平面bde；(2)求直线bd与平面sbc所成角的正弦值21(12分)已知如图所示的abcd中，bc2，bdcd，正方形adef所在平面与平面abcd垂直，g，h分别是df，be的中点(1)求证：gh平面cde；(2)记cdx，v(x)表示四棱锥fabcd的体积，求v(x)的表达式；(3)当v(x)取最大值时，求平面ecf与平面abcd所成二面角的平面角的正弦值22(12分)如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，m是bd的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示(1)求出该几何体的体积；(2)若n是bc的中点，求证：an平面cme；(3)求证：平面bde平面bcd.参考答案 1b2c解析：中l与m可能相交；对；中要求m与n为两相交直线时才成立；为面面垂直的性质定理，正确3a解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立4c解析：根据斜二测画法规则将直观图还原，可知选c.5d解析：设圆锥的底面半径为r，依题意可得扇形的弧长为l，从而圆锥的底面半径为rl2l，圆锥的高为l，所以圆锥的侧面积s侧l，圆锥的表面积s表2l2.所以，表面积与侧面积的比值为43.6d解析：中面mnp面ab，ab面mnp；中mpab，ab面mnp.7c解析：当甲成立，即“相交直线l，m都在平面内，并且都不在平面内”时，若“l，m中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“l，m中至少有一条与平面相交”也成立，故选c.8d解析：将展开图还原到正方体，如图所示则m到ab的距离为mc，正确；vcdne1，正确；efmc，mcab，ab与ef所成的角为，正确9d解析：由题意可知：球的直径就是三棱柱的高，正三棱柱底面内切圆就是球的大圆又v球r3，r2,2r4h.如图，odr2，ob4.be6，bd2，bc4.v三棱柱sh46448.10c解析：p点到平面abc上的射影为abc的中心，它不在df上，故平面pdf不垂直于平面abc.11b解析：abad1，bd，bada.又面abd面bcd，且cdbd，cd面abd.cdab，ba面acd.baac，即bac90.12a解析：取特殊值，使m，n分别为线段ab1，bc1上的中点，取b1b的中点为e，连接ne，em，则neb1c1，mea1b1，又nemee，b1c1a1b1b1，故平面mne平面a1b1c1d1，对；又a1a平面a1b1c1d1，故a1a平面mne，对；连接a1b，m是a1b的中点，m在a1b上，mn是a1c1b的中位线，mna1c1，对；当n与b重合，m与a重合，此时mn与a1c1异面，对132解析：圆锥底面半径为1，则圆锥侧面积srl2.1412解析：如图所示，由已知得该几何体为一组合体，上面是底面圆半径为1，高为1的圆柱，下面是长为4，宽为3，高为1的长方体，如图所示故所求体积v12143112.15.解析：连接b1d1，d1c，b1c.由题意ef是a1b1d1的中位线，所以efb1d1.又a1bd1c，所以a1b与ef所成的角等于b1d1与d1c所成的角因为d1b1c为等边三角形，所以b1d1c.故a1b与ef所成角的大小为.16.解析：由三视图知该几何体为三棱锥，记为sabc，其中sa面abc，底面abc为直角三角形bac90，设ab1，sax，acy，则x2y26.利用不等式得x2y262xy，xy3.又体积vabacsaxy3.17证明：连接ge，fh.因为e，g分别为bc，ab的中点，所以geac.又因为dffcdhha23，所以fhac.所以fhge，gh，ef不平行所以e，f，h，g四点共面所以四边形efhg是一个梯形设gh和ef交于一点o.因为o在平面abd内，又在平面bcd内，所以o在这两个平面的交线上因为这两个平面的交线是bd，且交线只有这一条，所以点o在直线bd上这就证明了gh和ef的交点也在bd上，所以ef，gh，bd交于一点18证明：(1)因为ab2ad，所以设ada，则ab2a.又因为bad60，所以在abd中，由余弦定理得：bd2(2a)2a22a2acos 603a2，所以bda.所以ad2bd2ab2，故bdad.又因为d1d平面abcd，所以d1dbd.又因为add1dd，所以bd平面add1a1，故aa1bd.(2)连接ac，设acbdo，连接a1o，由底面abcd是平行四边形得：o是ac的中点，由四棱台abcda1b1c1d1知：平面abcd平面a1b1c1d1，因为这两个平面同时都和平面acc1a1相交，交线分别为ac、a1c1，故aca1c1.设ada，则ab2a，bca，abc120，所以可由余弦定理计算得aca.又因为a1b1a，b1c1a，a1b1c1120，所以可由余弦定理计算得a1c1a，所以a1c1oc且a1c1oc，故四边形occ1a1是平行四边形，所以cc1a1o.又cc1平面a1bd，a1o平面a1bd，所以cc1平面a1bd.19解：(1)sabc222，三棱锥p-abc的体积为vsabcpa22.(2)取pb的中点e，连接de，ae，则edbc，所以ade(或其补角)是异面直线bc与ad所成的角在ade中，de2，ae，ad2，cosade，因此，异面直线bc与ad所成的角的余弦值是.20解：(1)连接oe，四边形abcd是正方形，o是ac的中点又e是侧棱sc的中点，oesa.又oe平面bde，sa平面bde，直线sa平面bde.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则d(0，2，0)，b(0,2，0)，s(0,0,2)，c(2，0,0)(0，4，0)，(2，2，0)，(0,2，2)设平面sbc的法向量为n(x，y,1)，则有即解得n(1,1,1)直线bd与平面sbc所成的角记为，则sin .21(1)证法1：efad，adbc，efbc且efadbc.四边形efbc是平行四边形h为fc的中点又g是fd的中点，hgcd.hg平面cde，cd平面cde，gh平面cde.证法2：连接ea，adef是正方形，g是ae的中点在eab中，ghab.又abcd，ghcd.hg平面cde，cd平面cde，gh平面cde.(2)解：平面adef平面abcd，交线为ad，且faad，fa平面abcd.bdcd，bc2，cdx，fa2，bd(0x2)sabcdcdbdx.v(x)sabcdfax(0x2)(3)解：要使v(x)取得最大值，即使x(0x2)取得最大值，x2(4x2)24，当且仅当x24x2，即x时v(x)取得最大值解法1：在平面dbc内过点d作dmbc于m，连接em，bced，bc平面emd.bcem.emd是平面ecf与平面abcd所成二面角的平面角，当v(x)取得最大值时，cd，db，dmbc1，em.sinemd.即平面ecf与平面abcd所成二面角的平面角的正弦值为.解法2：以点d为坐标原点，dc所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示，则d(0,0,0)，c(，0,0)，b(0，0)，e(0,0,2)，(0,0,2)，(，0，2)，(0，2)，设平面ecf与平面abcd所成的二面角为，平面ecf的法向量n(a，b，c)，由n，n，得a2c0，b2c0.令c1得n(，1)又平面abcd的法向量为，cos ，sin .即当v(x)取最大值时，平面ecf与平面abcd所成二面角的平面角的正弦值为.22(1)解：由题意可知：在四棱锥