山东省淄博六中高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

山东省淄博六中2015届高三上 学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）复数的虚部是（）a1b1cidi2（5分）下列有关命题的说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件c命题“xr，使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”d命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题3（5分）已知函数y=（）x2与y=x3图象的交点坐标为（x0，y0），则x0所在的大致区间（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）4（5分）若实数x，y满足，则z=的最大值为（）a1b2c1d5（5分）集合a=（x，y）|函数y=f（x），x（0，1），b=（x，y）|x=a，ar，a是常数，则ab中元素个数是（）a至少有1个b有且只有1个c可能2个d至多有1个6（5分）如图1所示，长方体ac1沿截面a1c1mn截得几何体dmnd1a1c1，它的正视图、侧视图均为图2所示的直角梯形，则该几何体的体积为（）abc14d107（5分）已知双曲线渐近线方程：y=2x，焦点是f（0，），则双曲线标准方程是（）a=1b=1c=1d=18（5分）设sn是等比数列an的前n项和，且32a2+a7=0，则=（）a11b5c8d119（5分）（+）8的展开式中x2的系数为（）abcd710（5分）f（x）是定义在d上的函数，若存在区间m，nd，使函数f（x） 在m，n上的值域恰为km，kn，则称函数f（x） 是k型函数给出下列说法：f（x）=3+是1型函数；若函数y=x2+x是3型函数，则m=4，n=0；函数f（x）=x23x+4是2型函数；若函数y=（a0）是1型函数，则nm的最大值为则以上说法正确的个数是（）a1b2c3d4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则整数m=12（5分）已知正数x，y满足 x+y+=10，则x+y的最大值为13（5分）在某项测量中，测量结果服从正态分布n（1，2）（0），若在（0，2）内取值的概率为0.7，则在（0，1）内取值的概率为14（5分）若函数f（a）=（2+sinx）dx，则f（）=15（5分）棱长为1的正方体ac1，动点p在其表面上运动，且与点a的距离是，点p的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答过程需写出必要的文字说明，只有最后结果不得分）16（12分）已知向量=（cosx，sinx），（cosx，cosx）（0），函数f（x）=的最小正周期为（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且满足a+c=8，b=7，f（）=，求abc的面积17（12分）如图三棱柱abca1b1c1中，底面abc侧面aa1c1c，aa1c是正三角形，abbc且ab=bc又三棱锥aa1bc的体积是（1）证明：aca1b；（2）求直线bc和面aba1所成角的正弦18（12分）某高中进行高中生歌唱比赛，在所有参赛成绩中随机抽取100名学生的成绩，按成绩分组：第1组75，80），第2组80，85），第3组85，90），第4组90，95），第5组95，100得到的频率分布直方图如图所示现在组委会决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试（1）求3，4，5组各应该抽取多少人进入第二轮面试；（2）学校决定在（1）中抽取的这6名学生中随机抽取2名学生接受考官d的面试，设第3组中有名学生被考官d面试，求的分布列和数学期望19（12分）已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为sn，若s5=70，且a2，a7，a22成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为tn，求证：tn20（13分）设函数f（x）=alnx+bx，g（x）=x2（1）若f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是y=3x4，求a，b的值（2）若f（1）=g（1），f（1）=g（1），是否存在实数k和m，使得不等式f（x）kx+m，g（x）kx+m都在各自定义域内恒成立，若存在，求出k和m的值，若不存在，说明理由21（14分）已知点f1（0，），f2（0，），曲线r上任意一点p满足|pf1|+|pf2|=4，抛物线x2=2py，（p0）（1）若抛物线的焦点在曲线r上，求曲线r的标准方程和抛物线标准方程；（2）设抛物线的焦点是f（0，），在抛物线上是否存在点m，使得以点m为切点的切线与曲线r相交于a，b两点，且以ab为直径的圆过坐标原点o？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由山东省淄博六中2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）复数的虚部是（）a1b1cidi考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的运算将复数进行横截距解答：解：=，则复数的虚部为1，故选：a点评：本题主要考查复数的有关概念，比较基础2（5分）下列有关命题的说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件c命题“xr，使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”d命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题考点：命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断 分析：对于a：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x21，则x1”，故错误对于b：因为x=1x25x6=0，应为充分条件，故错误对于c：因为命题的否定形式只否定结果，应为xr，均有x2+x+10故错误由排除法即可得到答案解答：解：对于a：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”因为否命题应为“若x21，则x1”，故错误对于b：“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件因为x=1x25x6=0，应为充分条件，故错误对于c：命题“xr，使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”因为命题的否定应为xr，均有x2+x+10故错误由排除法得到d正确故答案选择d点评：此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点3（5分）已知函数y=（）x2与y=x3图象的交点坐标为（x0，y0），则x0所在的大致区间（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）考点：幂函数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域 专题：函数的性质及应用分析：构造函数f（x）=x3，判断函数f（x）的零点在哪个区间即可解答：解：根据题意，设f（x）=x3，则f（0）=03=40，f（1）=13=10，f（2）=23=70；函数f（x）存在零点x0（1，2），即函数y=（）x2与y=x3图象的交点横坐标x0所在的区间为（1，2）故选：b点评：本题考查了根据根的存在性定理判断函数零点的问题，是基础题目4（5分）若实数x，y满足，则z=的最大值为（）a1b2c1d考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论解答：解：z=1+，设k=，则k的几何意义是点p到定点q（1，1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知aq的斜率最大，此时a（1，0），k=，则z=的最大值1，故选：d点评：本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键5（5分）集合a=（x，y）|函数y=f（x），x（0，1），b=（x，y）|x=a，ar，a是常数，则ab中元素个数是（）a至少有1个b有且只有1个c可能2个d至多有1个考点：交集及其运算 专题：集合分析：由函数的定义，当a（0，1）时，ab中有唯一的元素，当a（0，1）时，ab为空集解答：解：由函数的定义，当a（0，1）时，ab中有唯一的元素，当a（0，1）时，ab为空集ab元素个数是至多有1个故选：d点评：本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用6（5分）如图1所示，长方体ac1沿截面a1c1mn截得几何体dmnd1a1c1，它的正视图、侧视图均为图2所示的直角梯形，则该几何体的体积为（）abc14d10考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知可得几何体dmnd1a1c1是三棱台，由已知中它的正视图、侧视图均为图2所示的直角梯形，代入台体体积公式可得答案解答：解：由已知可得几何体dmnd1a1c1是三棱台，又它的正视图、侧视图均为图2所示的直角梯形，故棱台的上下底面面积分别为：和2，高为4，故棱台的体积v=，故选：a点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状7（5分）已知双曲线渐近线方程：y=2x，焦点是f（0，），则双曲线标准方程是（）a=1b=1c=1d=1考点：双曲线的标准方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：双曲线焦点在y轴上，设双曲线的方程为=1（a0，b0），求出渐近线方程，可得c=，=2，再由a，b，c的关系解得a，b，即可得到双曲线的方程解答：解：双曲线焦点在y轴上，设双曲线的方程为=1（a0，b0），则渐近线方程为y=x，由题意可得c=，=2，又10=a2+b2，解得a=2，b=，则双曲线方程为=1故选a点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题8（5分）设sn是等比数列an的前n项和，且32a2+a7=0，则=（）a11b5c8d11考点：等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由已知32a2+a7=0求得等比数列的公比，然后由等比数列的前n项和求得的值解答：解：数列an为等比数列，且32a2+a7=0，得，q5=32，即q=2则=故选：d点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础题9（5分）（+）8的展开式中x2的系数为（）abcd7考点：二项式系数的性质 专题：计算题；二项式定理分析：由二项式定理，可得（+）8的展开式的通项，在其中令x的指数为0，解可得r的值，将r的值代入通项可得答案解答：解：由二项式定理，可得（+）8的展开式的通项为tr+1=c8r（）8r（）r=（）rc8rx4r；令4r=2，解可得r=2；则r=2时，t3=c82x2=7x2；即其展开式中x2的系数为7；故选：d点评：本题考查二项式定理的运用，解题的关键在于准确运用二项式展开式的通项10（5分）f（x）是定义在d上的函数，若存在区间m，nd，使函数f（x） 在m，n上的值域恰为km，kn，则称函数f（x） 是k型函数给出下列说法：f（x）=3+是1型函数；若函数y=x2+x是3型函数，则m=4，n=0；函数f（x）=x23x+4是2型函数；若函数y=（a0）是1型函数，则nm的最大值为则以上说法正确的个数是（）a1b2c3d4考点：函数的值域 专题：函数的性质及应用分析：根据题意中信息题型的特点，逐步对每个命题进行分析，然后对应信息求出是否与信息相冲突，最后根据各个函数求出结果，确定结论解答：解：由题意知k0当存在直线y=kx与曲线y=f（x）至少有两个交点时，函数就是k型函数：由解得：x=1或4f（x）在x1，0）（0，4上的值域是：f（x）（，14，+）故不是1型函数；：若函数是3型函数，则解得：x1=4，x2=0，即m=4，n=0故对；：由x23x+4=2x得到x25x+4=0，0有两解，故对；：若函数是1型函数，则有两个不同的解，即a2x2（a2+a）x+1=0有两个不同的解m和n由0得：a3或a1，所以nm=（当a=3时取等号），所以nm的最大值为；故对故选：c点评：本题考查的知识要点：信息题型在函数中的应用，主要考查学生多信息的应用和感知能力，及相关的运算能力属于中等题型二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则整数m=4考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：由z=3，得p=93=36，模拟执行程序，依次写出每次循环得到的p，k的值，当p=36，k=4时，由题意，应该满足条件km，退出循环计算输出z=3解答：解：由z=3，可得p=93=36，模拟执行程序，可得：p=1，k=0不满足条件km，p=1，k=1不满足条件km，p=3，k=2不满足条件km，p=332=33，k=3不满足条件km，p=3333=36，k=4此时，由题意，应该满足条件km，退出循环，计算并输出z=3则整数m=4故答案为：4点评：本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构，根据题意正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题12（5分）已知正数x，y满足 x+y+=10，则x+y的最大值为8考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：本题的关键是把（x+y）当做一个整体，通过基本不等式，化为关于（x+y）的不等式，进而求解解答：解：因为，所以即，化简得因为，（当且仅当 y=3x 时取等号）所以（1）式化为（x+y）2+6+1010（x+y）即（x+y）210（x+y）+160解得2x+y8，由，解得所以 当x=2，y=6时，x+y的最大值为8点评：本题为基本不等式的应用与不等式解法的综合，属中档题13（5分）在某项测量中，测量结果服从正态分布n（1，2）（0），若在（0，2）内取值的概率为0.7，则在（0，1）内取值的概率为0.35考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：根据服从正态分布n（1，2），得到曲线的对称轴是直线x=1，根据所给的在（0，2）内取值的概率为0.7，根据正态曲线的对称性知在（0，1）内取值的概率解答：解：服从正态分布n（1，2）曲线的对称轴是直线x=1，在（0，2）内取值的概率为0.7，根据正态曲线的性质知在（0，1）内取值的概率为0.7=0.35故答案为：0.35点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题，这种题目的特点是运算量小，几乎不用运算就可以得到结果14（5分）若函数f（a）=（2+sinx）dx，则f（）=+1考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：利用微积分基本定理即可得出解答：解：=+1故答案为+1点评：熟练掌握微积分基本定理是解题的关键15（5分）棱长为1的正方体ac1，动点p在其表面上运动，且与点a的距离是，点p的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度解答：解：由题意，此问题的实质是以a为球心、为半径的球在正方体abcda1b1c1d1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：abcd、aa1dd1、aa1bb1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、a1b1c1d1、b1bcc1、d1dcc1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=，故各段弧圆心角为这条曲线长度为3+3=故答案为：点评：本题以正方体为载体，考查轨迹，考查曲线的周长，有一定的难度三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答过程需写出必要的文字说明，只有最后结果不得分）16（12分）已知向量=（cosx，sinx），（cosx，cosx）（0），函数f（x）=的最小正周期为（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且满足a+c=8，b=7，f（）=，求abc的面积考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形分析：（1）首先利用已知条件利用向量的坐标和向量的数量积求出函数的关系式，进一步通过三角函数关系式的恒等变换，把函数变形成正弦型函数，进一步利用函数的周期求出函数的解析式，最后求出函数的单调区间（2）利用（1）的结论，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果解答：解：（1）向量=（cosx，sinx），=（cosx，cosx）则：f（x）= 由最小正周期是及0得到：解得：=1所以：f（x）=令：解得：所以函数的单调递增区间为：（kz）（2）由已知f（）=得：解得：由于b是三角形的内角，所以：由于：a+c=8，b=7，所以：b2=a2+c22accosb=（a+c）23ac所以：ac=5点评：本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，余弦定理的应用，三角形面积的应用，属于基础题型17（12分）如图三棱柱abca1b1c1中，底面abc侧面aa1c1c，aa1c是正三角形，abbc且ab=bc又三棱锥aa1bc的体积是（1）证明：aca1b；（2）求直线bc和面aba1所成角的正弦考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：计算题；空间角分析：（1）取ac的中点o，证明ac平面a1bo，即可证明aca1b；（2）求出ac，建立坐标系，求出面aba1法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线bc和面aba1所成角的正弦解答：（1）证明：取ac的中点o，ab=bc，boac（1分）又aa1c是正三角形，a1oac，boa1o=o，（2分）ac平面a1bo（3分）又a1b平面a1bo，aca1b（4分）（2）解：设ac=a，则三棱锥aa1bc的体积是，=，a=3（6分）建系如图，则a（0，0），b（0，0，），c（0，0），a1（，0，0），=（，0），=（0，），=（，0），=（0，），（8分）设面aba1法向量为=（x，y，z），则得：=（，1，1）（10分）设直线bc和面aba1所成角为，则sin=（12分）点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键18（12分）某高中进行高中生歌唱比赛，在所有参赛成绩中随机抽取100名学生的成绩，按成绩分组：第1组75，80），第2组80，85），第3组85，90），第4组90，95），第5组95，100得到的频率分布直方图如图所示现在组委会决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试（1）求3，4，5组各应该抽取多少人进入第二轮面试；（2）学校决定在（1）中抽取的这6名学生中随机抽取2名学生接受考官d的面试，设第3组中有名学生被考官d面试，求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）由频率分布直方图分别求出第三组、第四组、第五组的频率，从而求出3，4，5组各有30，20，10人，由此能求出3，4，5组各应该抽取多少人进入第二轮面试（2）由（1）可得6人中有3人是第三组的，所以=0，1，2，由超几何分布原理可得：p（=k）=，k=0，1，2，由此能求出的分布列和数学期望解答：解：（1）由频率分布直方图可得第三组的频率是0.065=0.3，（1分）第四组的频率是0.045=0.2，（2分）第五组的频率是0.025=0.1，（3分）则3，4，5组各有30，20，10人第三组应抽取：=3人，4分第四组应抽取：人，5分第五组应抽取：=1人（6分）（2）由（1）可得6人中有3人是第三组的，所以=0，1，2，（7分）由超几何分布原理可得：p（=k）=，k=0，1，2，的分布列为012p（10分）期望：e=1（12分）点评：本题考查分层抽样、频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意超几何分布原理的合理运用19（12分）已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为sn，若s5=70，且a2，a7，a22成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为tn，求证：tn考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由题意得，由此能求出an=4n+2（2）由a1=6，d=4，得sn=2n2+4n，=，从而tn=，由此能证明tn解答：解：（1）由题意得，解得a1=6，d=4，an=6+（n1）4=4n+2（2）a1=6，d=4，sn=6n+=2n2+4n，=，tn=，（tn）min=t1=故tn点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用20（13分）设函数f（x）=alnx+bx，g（x）=x2（1）若f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是y=3x4，求a，b的值（2）若f（1）=g（1），f（1）=g（1），是否存在实数k和m，使得不等式f（x）kx+m，g（x）kx+m都在各自定义域内恒成立，若存在，求出k和m的值，若不存在，说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（1）由求导公式求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义和条件列出方程组，求出a、b的值；（2）由求导公式求出函数f（x）、g（x），由条件列出方程组求出a、b的值，判断出（1，1）是f（x）和g（x）的公共点，并求出在该点处的公切线方程，将条件转化为：f（x）2x1和g（x）2x1同时成立，根据二次函数的图象和性质，以及构造函数法、导数法进行证明解答：解：（1）由题意得f（x）=alnx+bx，则，因为f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是y=3x4，所以，即，解得（3分）（2）由题意得，g（