山东省淄博市高三数学一模试卷 文（含解析）.doc

2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题每小题5分共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（） a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限2集合a=x|y=，b=y|y=log2x，x0，则ab等于（） a r b c ，使得y|y=f（x），xa=a，则称函数f（x）为“同域函数”，区间a为函数f（x）的一个“同城区间”给出下列四个函数：f（x）=cosx；f（x）=x21；f（x）=|x21|；f（x）=log2（x1）存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16已知函数f（x）=sinxsin（+x）cos2x（0），其图象两相邻对称轴间的距离为（）求的值；（）设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sina）与向量=（3，sinb）共线，求a，b的值17如图，在四棱锥eabcd中，平面ead平面abcd，dcab，bccd，eaed，ab=4，bc=cd=ea=ed=2，f是线段eb的中点（）证明：cf平面ade；（）证明：bdae18某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为a，b，c，d，e五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为b的考生有20人（）求该小组同学中“几何”科目成绩为a的人数；（）若等级a，b，c，d，e分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；（）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为a，在至少一科成绩为a的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为a的概率19在数列an中，a1=，其前n项和为sn，且sn=an+1（nn*）（）求an，sn；（）设bn=log2（2sn+1）2，数列cn满足cnbn+3bn+4=1+n（n+1）（n+2）2bn，数列cn的前n项和为tn，求使4tn2n+1成立的最小正整数n的值20设函数f（x）=x2ax+lnx（a为常数）（）当a=3时，求函数f（x）的极值；（）当0a2时，试判断f（x）的单调性；（）对任意x0，使不等式f（x0）mlna对任意a（0，）恒成立，求实数m的取值范围21已知f1，f2分别是椭圆c1：+=1（ab0）的左、右焦点，f2是抛物线c2：y2=2px（p0）的焦点，p（，m）是c1与c2在第一象限的交点，且|pf2|=（）求c1与c2的方程；（）过f2的直线交椭圆于m，n两点，t为直线x=4上任意一点，且t不在x轴上（i）求的取值范围；（ii）若ot恰好一部分线段mn，证明：tf2mn2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题每小题5分共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（） a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限考点： 复数的代数表示法及其几何意义专题： 数系的扩充和复数分析： 复数的分母实数化，然后判断复数对应的点所在象限解答： 解：因为复数=1+i，所以复数在复平面内对应的点为（1，1）在第二象限故选：b点评： 本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力2集合a=x|y=，b=y|y=log2x，x0，则ab等于（） a r b c 考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 求出a和b，再利用两个集合的交集的定义求出 ab解答： 解：集合a=x|y=x|x0，集合b=y|y=log2x，x0=r，因为ab，所以ab=a=x|x0，故选：c点评： 本题考查函数的定义域及值域、两个集合的交集的定义和求法，属基础题3某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数是86，则x+y的值为（） a 7 b 8 c 9 d 10考点： 茎叶图专题： 概率与统计分析： 根据茎叶图中的数据，结合众数与中位数的概念，求出x与y的值即可解答： 解：根据茎叶图中的数据，得；甲班学生成绩的众数是83，x=3；乙班学生成绩的中位数是86，y=6；x+y=3+6=9故选：c点评： 本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了众数与中位数的应用问题，是基础题目4已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（2）=（） a 1 b 1 c 5 d 5考点： 函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（2）+（2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（2）的值解答： 解：令y=g（x）=f（x）+x，f（2）=1，g（2）=f（2）+2=1+2=3，函数g（x）=f（x）+x是偶函数，g（2）=3=f（2）+（2），解得f（2）=5故选d点评： 本题主要考查了函数的奇偶性，以及抽象函数及其应用，同时考查了转化的思想，属于基础题5将函数y=sin（2x）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（） a x= b x= c x= d x=考点： 函数y=asin（x+）的图象变换分析： 根据本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程解答： 解：将函数y=sin（2x）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为 y=sin=sin（2x+）令2x+=k+，kz，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：a点评： 本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题6已知命题p：a1或b2，命题q：a+b3，则p是q的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据充分必要条件的定义集合不等式的性质从而得到答案解答： 解：命题q：a+b3，命题p：a1或b2，p：a=1且b=2，q：a+b=3，pq，反之不成立，例如a=，b=因此命题q是p的充分不必要条件故选：b点评： 本题考查了命题之间的关系、充分必要条件的判定，考查了推理能力和计算能力，属于基础题7函数y=的图象大致是（） a b c d 考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 由f（x）=f（x）知函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除bc，再研究函数xsinx单调性选出答案解答： 解：f（x）=f（x），故函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除bc，（xsinx）=1cosx0，当x0时，函数xsinx单调递增，故单调递减，d不符合，a符合，故选：a点评： 本题主要考查函数的性质，对于函数图象的选择题，可结合排除法与函数的性质，灵活解题8曲线f（x）=ex+x2+x+1上的点到直线2xy=3的距离的最小值为（） a b c d 2考点： 点到直线的距离公式专题： 导数的综合应用分析： f（x）=ex+2x+1，设与直线2xy=3平行且与曲线f（x）相切于点p（s，t）的直线方程为：2xy+m=0，由es+2s+1=2解得s=0可得切点p，因此曲线f（x）=ex+x2+x+1上的点到直线2xy=3的距离的最小值为点p到直线2xy=3的距离解答： 解：f（x）=ex+2x+1，设与直线2xy=3平行且与曲线f（x）相切于点p（s，t）的直线方程为：2xy+m=0，则es+2s+1=2解得s=0切点为p（0，2），曲线f（x）=ex+x2+x+1上的点到直线2xy=3的距离的最小值为点p到直线2xy=3的距离d=故选：b点评： 本题考查了导数的几何意义、相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（） a b c d 考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体，从而求出该几何体的体积解答： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体；正方体的体积为v正方体=111=1，正四棱锥的体积为v正四棱锥=11=；该几何体的体积为v=v正方体v正四棱锥=1=故选：d点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求空间几何体的体积的应用问题，是基础题目10过双曲线=1（a0，b0）的左焦点f1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点p，切点为t，pf1的中点m在第一象限，则以下结论正确的是（） a ba=|mo|mt| b ba|mo|mt| c ba|mo|mt| d ba=|mo|+|mt|考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先从双曲线方程得：a，b连ot，则otf1t，在直角三角形otf1中，|f1t|=b连pf2，m为线段f1p的中点，o为坐标原点得出|mo|mt|=|pf2|（|pf1|f1t|）=（|pf2|pf1|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案解答： 解：连ot，则otf1t，在直角三角形otf1中，|f1t|=b连pf2，m为线段f1p的中点，o为坐标原点，|om|=|pf2|，|mo|mt|=|pf2|（|pf1|f1t|）=（|pf2|pf1|）+b=（2a）+b=ba故选a点评： 本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有3个考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 本题考查条件结构，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x与2的大小选择相应的解析式，根据函数值求出自变量即可解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，当x2时，由y=x21=3可得x=2或2；当x2时，由y=log2x=3可知x=8；即输出结果为3时，则输入的实数x的值是8，2或2故答案为：3点评： 本题考查条件结构，以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题，属于基础题12在约束条件下，目标函数z=3x+2y的最大值是7考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可解答： 解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点b时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即b（1，2），此时zmin=31+22=7，故答案为：7点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键13若直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切，则k=2考点： 圆的切线方程专题： 直线与圆分析： 联立方程组消y的x的一元二次方程，由=0解方程可得解答： 解：联立消去y并整理得（k2+1）x2+6kx+8=0，由直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切可得=36k232（k2+1）=0，解得k=2故答案为：2点评： 本题考查直线与圆的位置关系，属基础题14已知向量满足，则的夹角为考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题： 平面向量及应用分析： 利用向量数量积运算及其性质即可得出解答： 解：向量满足，=，化为=，=故答案为：点评： 本题考查了向量数量积运算及其性质，属于基础题15对于函数f（x），若存在区间a=，使得y|y=f（x），xa=a，则称函数f（x）为“同域函数”，区间a为函数f（x）的一个“同城区间”给出下列四个函数：f（x）=cosx；f（x）=x21；f（x）=|x21|；f（x）=log2（x1）存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）考点： 函数的值域专题： 函数的性质及应用分析： 根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数不存在同域区间解答： 解：f（x）=，x时，f（x），所以存在同域区间；f（x）=x21，x时，f（x），所以存在同域区间；f（x）=|x21|，x时，f（x），所以存在同域区间；f（x）=log2（x1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间故答案为：点评： 考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法三、解答题：本大题共6小题，共75分.16已知函数f（x）=sinxsin（+x）cos2x（0），其图象两相邻对称轴间的距离为（）求的值；（）设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sina）与向量=（3，sinb）共线，求a，b的值考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数专题： 三角函数的图像与性质；解三角形分析： （）化简函数解析式可得f（x）=sin（2x）1，由其图象两相邻对称轴间的距离为，可得最小正周期为t=，即可解得（）由（）可知sin（2c）=1，解得c=，由已知可得b3a=0，由余弦定理，又已知c=，即可解得7=a2+b2ab，联立方程可解得a，b的值解答： 解：（）f（x）=sinxsin（+x）cos2x=sinxcosx=sin2xcos2x1=sin（2x）1其图象两相邻对称轴间的距离为最小正周期为t=，=1（）由（）可知：f（x）=sin（2x）1sin（2c）=10c，2c，2c=，即c=由已知可得sinb3sina=0，在abc中，由正弦定理可得b3a=0由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosc，又已知c=7=a2+b2ab由联立，可解得：a=1，b=3点评： 本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，考查了余弦定理的应用，三角函数周期公式的应用，属于基本知识的考查17如图，在四棱锥eabcd中，平面ead平面abcd，dcab，bccd，eaed，ab=4，bc=cd=ea=ed=2，f是线段eb的中点（）证明：cf平面ade；（）证明：bdae考点： 直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离分析： （）取ae得中点g，连结fg，dg，将问题转化为证明四边形cfgd是平行四边形即可；（）由数量关系可得bdad，从而由面面垂直的性质即得结论解答： 证明：（）取ae得中点g，连结fg，dg，则有fgab且fg=ab=2，又因为dcab，cd=2，所以fgdc，fgdc，所以四边形cfgd是平行四边形所以cfgd，又因为gd平面ade，cf平面ade，所以cf平面ade；（）因为bccd，bc=cd=2，所以bd=同理eaed，ea=ed=2，所以ad=又因为ab=4，及勾股定理知bdad，又因为平面ead平面abcd，平面ead平面abcd=ad，bd平面abcd，所以bd平面ead，又因为ae平面ead，所以bdae点评： 本题考查线面垂直的判定及面面垂直的性质，作出恰当的辅助线、找到所给数据中隐含的条件是解决本题的关键，属中档题18某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为a，b，c，d，e五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为b的考生有20人（）求该小组同学中“几何”科目成绩为a的人数；（）若等级a，b，c，d，e分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；（）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为a，在至少一科成绩为a的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为a的概率考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图专题： 概率与统计分析： （）易得小组共80人，可得“几何”科目成绩为a的人数为80（10.3750.3750.150.025）=6；（）由平均数的定义可得平均分为：10.2+20.1+30.375+40.25+50.075=2.9；（）记得到成绩为a的8人编号为18，其中14号时两科成绩等级都是a的同学，列举可得总的基本事件数共28个，其中两人的两科成绩均为a的共6个，由概率公式可得解答： 解：（）“代数”科目的成绩为b的考生有20，该小组有200.25=80（人）该小组同学中“几何”科目成绩为a的人数为80（10.3750.3750.150.025）=800.075=6（人）；（）等级a，b，c，d，e分别对应5分、3分、2分、1分，该小组考生“代数”科目的平均分为：10.2+20.1+30.375+40.25+50.075=2.9；（）两科考试中共有12人次得分等级为a，又恰有4人两科成绩等级均为a，还有4人有且只有一个科目得分等级为a，记得到成绩为a的8人编号为18，其中14号时两科成绩等级都是a的同学，则在至少一科成绩为a的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，构成的基本事件有：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（1，7）（1，8），（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（2，7）（2，8），（3，4）（3，5）（3，6）（3，7）（3，8），（4，5），（4，6）（4，7）（4，8），（5，6）（5，7）（5，8），（6，7）（6，8）共28个，其中两人的两科成绩均为a的为（1，2）（1，3）（1，4），（2，3）（2，4），（3，4）共6个，所求概率为p=点评： 本题考查列举法求基本事件数及事件发生的概率，涉及分布直方图，属基础题19在数列an中，a1=，其前n项和为sn，且sn=an+1（nn*）（）求an，sn；（）设bn=log2（2sn+1）2，数列cn满足cnbn+3bn+4=1+n（n+1）（n+2）2bn，数列cn的前n项和为tn，求使4tn2n+1成立的最小正整数n的值考点： 数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： （）由sn=an+1，得，两式作差后可得数列an是首项为，公比为2 的等比数列，由等比数列的通项公式得，代入sn=an+1求得sn；（）把sn代入bn=log2（2sn+1）2，结合cnbn+3bn+4=1+n（n+1）（n+2）2bn求得cn，然后利用裂项相消法及等比数列的前n项和得答案解答： 解：（）由sn=an+1，得，两式作差得：an=an+1an，即2an=an+1（n2），又，得a2=1，数列an是首项为，公比为2的等比数列，则，；（）bn=log2（2sn+1）2=，cnbn+3bn+4=1+n（n+1）（n+2）2bn，即，+（21+20+2n2）=由4tn2n+1，得，即，n2014使4tn2n+1成立的最小正整数n的值为2015点评： 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和、裂项相消法求数列的和及等比数列的前n项和，是中档题20设函数f（x）=x2ax+lnx（a为常数）（）当a=3时，求函数f（x）的极值；（）当0a2时，试判断f（x）的单调性；（）对任意x0，使不等式f（x0）mlna对任意a（0，）恒成立，求实数m的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性专题： 综合题；导数的综合应用分析： （）先对f（x）求导，根据导数研究函数的单调性，进而求出函数的极值；（）利用基本不等式确定导函数在0a2时的正负，然后判断f（x）的单调性；（）采用分离参数m的方法转化成求函数g（a）=在（0，）上的最值问题解答： 解：依题意f（x）=，（）函数的定义域为（0，+），当a=3时，f（x）=x23x+lnx，f（x）=，当时，f（x）0；f（x）单调递减；当0x，或x1时，f（x）0；f（x）单调递增；所在f（x）极小值=f（1）=2，f（x）极大值=f（）=（）函数的定义域为（0，+），f（x）=2x+a，因为2x+，（当且仅当x=时，等号成立）因为0a2，所以f（x）=2x+a0在（0，+）上恒成立，故f（x）在（0，+）上是增函数（）当a（0，）时，由（）知，f（x）在上单调递增，所以f（x）max=f（1）=1a故问等价于：当a（0，）时，不等式1amlna恒成立，即m恒成立记g（a）=，则g（a）=，令m（a）=alna1+a，m（a）=lna0，所以m（a）在a（0，）上单调递增，m（a）m（）=，故g（a）0，所以g（a）=在a（0，）上单调递减，所以m=，即实数m的取值范围为（点评： 本题考查了用导数研究函数的极值、最值及单调性问题，还考查了恒成