【志鸿优化设计】（湖北专用）高考数学一轮复习 第五章平面向量5．1平面向量的概念及其线性运算教学案 理 新人教A版 .doc

第五章平面向量51平面向量的概念及其线性运算1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念和向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念名称定义备注向量既有_又有_的量，向量的大小叫做向量的_(或_)平面向量是自由向量零向量长度为_的向量，其方向是任意的记作_单位向量长度等于_的向量非零向量a的单位向量为共线向量(平行向量)_向量叫做共线向量(平行向量)0与任一向量_(共线)相等向量长度_且方向_的向量记作ab(两向量只有相等或不等，不能比较大小)相反向量长度_且方向_的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_.减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|_.(2)当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当0时，a_.(a)_；()a_；(ab)_.3.平面向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：_.1给出下列命题：向量与向量的长度相等，方向相反；0；a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；与是共线向量，则a，b，c，d四点共线，其中不正确的个数是()a2 b3 c4 d52已知o，a，b是平面上的三个点，直线ab上有一点c，满足20，则等于()a2b2cd3平面向量a，b共线的充要条件是()aa，b方向相同ba与b中至少有一个为零向量cr，使bad存在不全为零的实数1，2，使1a2b04已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，共线的三点是_5在平行四边形abcd中，e为dc边的中点，且a，b，则_(用a，b表示)一、向量的概念【例1】判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向；(2)若|a|b|，则ab；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)如果ab，bc，那么ac；(6)若ab，bc，则ac；(7)若四边形abcd是平行四边形，则，；(8)ab的充要条件是|a|b|且ab.方法提炼1平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法2几个重要结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)平行向量与起点无关请做演练巩固提升1二、向量的线性运算【例21】在abc中，a60，a的平分线ad交边bc于d，已知ab3，且(r)，则ad的长为()a1 b c2 d3【例22】如图所示，下列结论不正确的是()ab；ab；ab；ab.a b c d方法提炼1平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量的和用平行四边形法则，差用三角形法则2两个重要结论(1)向量的中线公式：若p为线段ab的中点，则()(2)向量加法的多边形法则an1an.提醒：当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了请做演练巩固提升2,3三、向量的共线问题【例31】设e1，e2是两个不共线向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：a，b，d三点共线；(2)若3e1ke2，且b，d，f三点共线，求k的值【例32】设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线方法提炼1向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线3向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2使1a2b0成立若1a2b0当且仅当120时成立，则向量a，b不共线提醒：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上请做演练巩固提升5以向量为背景的新定义问题【典例】 设a1，a2，a3，a4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(r)，(r)，且2，则称a3，a4调和分割点a1，a2.已知平面上的点c，d调和分割点a，b，则下面说法正确的是()ac可能是线段ab的中点bd可能是线段ab的中点cc，d可能同时在线段ab上dc，d不可能同时在线段ab的延长线上解析：由(r)，(r)知：四点a1，a2，a3，a4在同一条直线上，且不重合因为c，d调和分割点a，b，所以a，b，c，d四点在同一直线上，设c，d，则2，选项a中c，此时d不存在，故选项a不正确；同理选项b也不正确；选项c中，0c1,0d1，2，也不正确，故选d.答案：d答题指导：1可通过特例、验证等方法理解新定义问题2化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决3“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办1给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小(3)a0(为实数)，则必为零(4)，为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的个数为()a1 b2 c3 d42已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abc等于()aa bbcc d03已知abc和点m满足0，若存在实数m使得m成立，则m()a2 b3c4 d54(2012四川高考)设a，b都是非零向量下列四个条件中，使成立的充分条件是()a|a|b|且abbabcabda2b5若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上？参考答案基础梳理自测知识梳理1大小方向模长度001个单位方向相同或相反的非零平行相等相同相等相反2baa(bc)|a|相同相反0()aaaab3存在唯一的实数，使ba基础自测1b解析：中0，而不等于0；中a或b为零向量满足a与b平行，但不能说a与b方向相同或相反，因为零向量方向是任意的；中与所在直线还可能平行，故错2a解析：依题意得2()()0，所以2.3d解析：a中，a，b同向，则a，b共线，但a，b共线，a，b不一定同向b中，若a，b两向量中至少有一个为零向量，则a，b共线，但a，b共线时，a，b不一定是零向量c中，当ba时，a与b一定共线，但a，b共线时，若b0，a0，则ba不成立排除a，b，c，故选d.4a，b，d解析：3a6b，3，a，b，d三点共线5ba解析：ba.考点探究突破【例1】 解：(1)不正确，零向量方向是任意的；(2)不正确；两向量模相等方向不一定相同；(3)不正确；要看向量方向是否相同；(4)不正确；(5)不正确；(6)正确；(7)不正确；(8)不正确，ab，两向量方向不一定相同【例21】 c解析：如图所示，因为b，d，c三点共线，所以1，即.在ab上取一点e使，在ac上取一点f使，由，可知四边形aedf为平行四边形，又badcad30，所以aedf为菱形因为，ab3，所以菱形的边长为2.在adf中，所以adsin 1202.故选c.【例22】 d解析：由ab，知ab.正确；由ab，从而错误；b，故ab，正确；2bab，错误故正确的结论为，故选d.【例31】 解：(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2，又有公共点b，a，b，d三点共线(2)由(1)可知e14e2，且3e1ke2，由b，d，f三点共线，所以存在实数，使得，即3e1ke2e14e2，得解得k12，k12.【例32】 (1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.与共线它们有公共点b，a，b，d三点共线(2)解：kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，k(k1)0.k1.演练巩固提升1c解析：(1)错，两向量共线要看其方向而不是起点与终点；(2)对，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；(3)错，当a0时，不论为何值，a0；(4)错当0时，ab，此时，a与b可以是任意向量2d解析：ab与c共线，存在实数1，使得ab1c.又b