【志鸿优化设计】（湖南专用）高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案 理.doc

第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算1了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数4能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数1导数的概念一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 _，称其为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0.2导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导这样，对开区间(a，b)内每一个值x，都对应一个确定的导数f(x)于是在区间(a，b)内_构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数，记为f(x)或y.3导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在xx0处的切线的斜率相应地，切线方程为_4基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nq*)f(x)_f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)axf(x)_f(x)exf(x)_f(x)logaxf(x)_f(x)ln xf(x)_5导数的运算法则(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)_(g(x)0)6复合函数的导数设uv(x)在点x处可导，yf(u)在点u处可导，则复合函数yfv(x)在点x处可导，且f(x)_，即yx_.1若函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则等于()a4 b4xc42x d42x22一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是()a0秒b1秒末c2秒末d1秒末和2秒末3曲线yx3在点p处的切线的斜率为3，则点p的坐标为()a(1,1)b(1，1)c(1,1)或(1，1)d(1，1)4若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()a1 b2 c2 d05若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为_6ysin 2x的导数为_一、根据导数的定义求函数的导数【例1】已知f(2)2，f(2)3，则 1的值为()a1 b2 c3 d4方法提炼1根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法确定yf(x)在xx0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法2求函数yf(x)在xx0处的导数的求解步骤：请做演练巩固提升1二、利用求导公式、法则求导【例2】求下列函数的导数：(1)y(2x3)2；(2)ytan x；(3)y.方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式请做演练巩固提升2三、导数的几何意义【例31】已知曲线yx3.(1)求曲线在点p(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点p(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程【例32】若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()方法提炼1求曲线yf(x)在xx0处的切线方程(1)求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)即为曲线yf(x)在xx0处的切线斜率；(2)由切点(x0，f(x0)和斜率f(x0)，用点斜式写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)，再化为一般式即可特别地，如果曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为xx0.2求曲线yf(x)过点p(x0，y0)的切线方程可设切点为(x1，y1)，由解出x1，进而确定过点p的切线方程为yy0f(x1)(xx0)，再化为一般式即可3“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条请做演练巩固提升4对“在某点处”与“过某点”字眼的区分【典例】 若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()a1或b1或c或d或7解析：因为点(1,0)不在曲线yx3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线yax2x9相切求a的值设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.又(1,0)在切线上，则x00或x0.当x00时，由y0与yax2x9相切可得a；当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1，所以选a.答案：a答题指导：1在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点2解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握；(3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握1(湖南师大附中2013届第二次月考试题)若函数yx21(0x2)的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是()a. b.c. d.2yx2cos x的导数y_.3若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_4(2012安徽高考)设定义在(0，)上的函数f(x)axb(a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx，求a，b的值参考答案基础梳理自测知识梳理1 2f(x)3yf(x0)f(x0)(xx0)4nxn1cos xsin xaxln a(a0)ex(a0，且a1)5(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)6f(u)v(x)yuux基础自测1c解析：yf(1x)f(1)2(1x)2114x2(x)2，42x.2d解析：st3t22t，vs(t)t23t2.令v0，得t23t20，t11，t22.3c解析：y3x2，3x23.x1.当x1时，y1，当x1时，y1.4b解析：f(x)4ax32bx为奇函数，f(1)f(1)2.54xy30解析：设切点为(x0，y0)，y4x3,4x034，x01.y01.l的方程为4xy30.6y2cos 2x考点探究突破【例1】 c解析：令xx2，则 1 1f(2)1213.【例2】 解：(1)y(4x212x9)8x12.(2)y.(3) y()(x22x5)(2x2).(3)y()(x22x5)(2x2).【例31】 解：(1)p(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点p(2,4)处的切线的斜率为：y|x24.曲线在点p(2,4)处的切线方程为：y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点p(2,4)的切线相切于点a，则切线的斜率为：y|xx0x02.切线方程为yx02(xx0)，即yx02xx03.点p(2,4)在切线上，42x02x03，即x033x0240，x03x024x0240，x02(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，则x021，x01，切点为(1,1)或，切线方程为y1x1或yx1，即xy20或3x3y20.【例32】 a解析：因为函数yf(x)的导函数yf(x)在区间a，b上是增函数，即在区间a，b上各点处的斜率k是递增的，由题图易知选a.演练巩固提升1d解析：因为yx22x，又0x2，所以1y0.故ktan 1,0)又因为0，)，则，所以的最小值是.22xcos xx2sin x解析：y(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x3(，0)解析：f(x)3ax2(x0)，若函数存在垂直于y轴的切线，即3ax20有解，a.x0，0.a0.4解：(1)(方法一)由题设和基本不等式可知