【志鸿优化设计】（湖北专用）高考数学一轮复习 选考部分坐标系与参数方程教学案 理 新人教A版选修4－4.doc

选修44坐标系与参数方程考纲要求1理解坐标系的作用2了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况3能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化4能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系与直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义5了解参数方程，了解参数的含义6能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程1极坐标系在平面内取一个定点o，叫做_；自极点o引一条射线ox，叫做_；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系设m是平面内一点，极点o与点m的距离|om|叫做点m的_，记为；以极轴ox为始边，射线om为终边的角xom叫做点m的极角，记为，有序数对(，)叫做点m的极坐标，记作_极坐标系的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可由极径的意义知0，当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)(0)建立_关系，约定极点的极坐标是极径_，极角可取任意角2直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位设m是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则xcos ，ysin ；也可化为关系式2x2y2，tan (x0)3直线的参数方程(1)过点p0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是(t为参数)，通常称该方程为直线l的参数方程的标准形式，其中t表示p0(x0，y0)到l上一点p(x，y)的有向线段的数量t0时，的方向向上；t0时，的方向向下；t0时，p与p0重合(2)直线l的参数方程的一般形式是(t为参数)，该直线倾斜角的正切为tan (0或90时例外)当且仅当a2b21且b0时，上式中的t才具有(1)中的t所具有的几何意义4圆的参数方程圆心在m0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为_5椭圆的参数方程椭圆1的参数方程为_1若直线(t为参数)与直线4xky1垂直，则常数k_.2已知直线l：xy20与圆c：(为参数)，它们的公共点个数为_3(2012陕西高考)直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_4已知直线l：(t为参数)，圆c的极坐标方程为2cos.(1)则圆心c到直线l的距离为_；(2)若直线l被圆c截得的弦长为，则a_.5已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)圆o1和圆o2的极坐标方程化为直角坐标方程分别为_；(2)经过两圆交点的直线的极坐标方程为_一、平面直角坐标系下的伸缩变换【例1】 在同一直角坐标系中，将直线x2y2变成直线2xy4，所满足图象变换的伸缩变换为_方法提炼求满足图象变换的伸缩变换，可先求出变换公式，分清新旧坐标，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得变换规则请做演练巩固提升1二、如何求曲线的极坐标方程【例2】 过原点的一动直线交圆x2(y1)21于点q，在直线oq上取一点p，使p到直线y2的距离等于|pq|.用极坐标法求动直线绕原点一周时p点的轨迹方程为_方法提炼求曲线极坐标方程的基本步骤是：(1)建立适当的极坐标系；(2)在曲线上任取一点p(，)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标，表示上述等式，并化简得极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程请做演练巩固提升2三、极坐标方程的应用【例3】 已知极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合曲线c的极坐标方程为2cos 2sin ，曲线l的极坐标方程是(cos 2sin )2，则(1)曲线c和l的直角坐标方程分别为_；(2)设曲线c和l相交于a，b两点，则|ab|_.方法提炼1极坐标与直角坐标互化公式：xcos ，ysin 成立的条件是直角坐标的原点为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位2用极坐标法可使几何中的一些问题得出更直接、简单的解法，但解题的关键是选取适当极坐标系，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些特别提醒：极坐标与直角坐标的区别有：多值性：在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系在极坐标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极坐标是“一对多”的关系但不同的极坐标可以写出统一的表达式如果(，)是点m的极坐标，那么(，2k)或(，(2k1)(kz)都可以作为点m的极坐标请做演练巩固提升3四、参数方程及其应用【例41】 (2012广东九校联考)已知曲线c的参数方程是(为参数)，且曲线c与直线xy0相交于两点a，b，则线段ab的长是_【例42】 在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为cos，则直线l被曲线c所截得的弦长为_方法提炼1直线的参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题在解决这类问题时，充分利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组找交点等繁琐的运算，使问题得到简化直线的参数方程有多种形式，只有标准式中的参数才具有明确的几何意义2把参数方程化为普通方程，消参数的方法有：代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法等普通方程化为参数方程：关键是如何引入参数若动点坐标x，y与旋转角有关时，通常选择角为参数；与运动有关的问题，通常选择时间为参数等在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致提醒：将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数，简称为“消参”把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性请做演练巩固提升4极坐标与参数方程的综合应用【典例】(10分)已知曲线c的极坐标方程是1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)(1)写出直线l与曲线c的直角坐标方程；(2)若将曲线c上任意一点保持纵坐标不变，横坐标缩为原来的后，得到曲线c，设曲线c上任一点为m(x，y)，求x2y的最小值规范解答：(1)直线l的直角坐标方程为xy20，曲线c的普通方程为x2y21.(4分)(2)曲线c的普通方程为4x2y21.令xcos ，ysin ，x2ycos 2sin sin()(8分)x2y的最小值为.(10分)答题指导：1.研究含有极坐标方程和参数方程的题目时，可先将它们同时化为直角坐标方程，再借助于直角坐标方程研究它们的性质2本题第(2)问还可利用线性规划及直线与椭圆相切等知识来解决1设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线ysin x的方程变为_2将极坐标系的极轴与直角坐标系的x轴的非负半轴重合，并取相同的单位长度和角度，则过曲线cos sin 1和曲线(t为参数)的交点且与极轴平行的直线的极坐标方程为_3(2012湖南高考)在极坐标系中，曲线c1：(cos sin )1与曲线c2：a(a0)的一个交点在极轴上，则a_.4已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线c的极坐标方程为4cos .(1)若直线l的斜率为1，则直线l与曲线c交点的极坐标为_；(2)若直线l与曲线c相交弦长为2，则直线l的参数方程为_5已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线c的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，m点坐标为(0,2)，直线l与曲线c交于a，b两点(1)直线l的普通方程为_，曲线c的直角坐标方程为_；(2)线段ma，mb长度分别记|ma|，|mb|，则|ma|mb|_.参考答案基础梳理自测知识梳理1极点极轴极径m(，)一一对应04.(为参数)5.(为参数)基础自测16解析：将化为普通方程yx，该直线的斜率为k1；当k0时，直线4xky1的斜率为k2，由k1k21，得k6.当k0时，显然不成立22解析：将圆的参数方程化为普通方程为(x1)2(y1)22，易知直线经过圆心，故直线与圆相交，即公共点个数为2.3.解析：直线2cos 1即为2x1，圆2cos ，即为(x1)2y21，由此可求得弦长为.4(1)(2)0或2解析：(1)把化为普通方程为x2y2a0，把2cos化为普通方程为x2y22x2y0，圆心到直线的距离为.(2)由已知，22()2，a22a0，a0或a2.5(1)x2y24，x2y22x2y20(2)sin解析：(1)2，24，即x2y24.22cos2，222.x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.考点探究突破【例1】 解析：设伸缩变换为可将其代入第二个方程，得2xy4，把x2y2化为2x4y4，比较系数得1，4.此时，即把直线x2y2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2xy4.【例2】 x2y24或x0解析：以o为极点，ox为极轴，建立极坐标系，如图所示，过p作pr垂直直线y2，则|pq|pr|.设p(，)，q(0，)，则有02sin .|pr|pq|，|2sin |2sin |.2或sin 1.即为点p的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2y24或x0.【例3】 (1)(x1)2(y1)22x2y20(2)解析：(1)由cos x，sin y，得曲线c直角坐标方程(x1)2(y1)22，l的直角坐标方程x2y20.(2)设圆c的圆心c(1，1)到直线l的距离为d，则d，所以|ab|2.【例41】 2解析：曲线c：(为参数)表示以(2,0)为圆心，为半径的圆则圆心到直线xy0的距离d1，直线被c截得的弦长|ab|222.【例42】 解析：将方程(t为参数)化为普通方程3x4y10，将方程cos化为普通方程x2y2xy0，此圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离d，弦长22.演练巩固提升1y3sin 2x解析：由得将其代入ysin x，得ysin 2x，即y3sin 2x.2sin 1解析：曲线cos sin 1在直角坐标系下的方程为xy1，曲线的普通方程为yx1，两直线的交点坐标为即得(0,1)，与极轴平行的方程为y1，则该直线的极坐标方程为sin 1.3解析：把曲线c1：(cos sin )1化成直角坐标方程，得xy1；把曲线c2：a(a0)化成直角坐标方程，得x2y2a2.c1与c2的一个交点在极轴上，xy1与x轴交点在c2上，即20a2.又a0，a.4(1)(0,0)，(2)(t为参数)或(t为参数)解析：(1)直线l的方