江苏省常州市潞城中学八年级数学下册 11 反比例函数难题拓展 （新版）苏科版.doc

反比例函数 知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：一、 利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设p为双曲线上任意一点，过点p作x轴、y轴的垂线pm、pn，垂足分别为m、n，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形pmon的面积为s=|pm|pn|=|y|x|=|xy| xy=k 故s=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积s为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形abo中，面积s=结论3：在直角三角形acb中，面积为s=2|k|结论4：在三角形amb中，面积为s=|k|例题讲解【例1】如右图，已知p10a1，p2a1a2都是等腰直角三角形，点p1、p2都在函数y=（x0）的图象上，斜边oa1、a1a2都在x轴上则点a2的坐标为 .1、如例1图，已知p1oa1，p2a1a2，p3a2a3pnan-1an都是等腰直角三角形，点p1、p2、p3pn都在函数y=（x0）的图象上，斜边oa1、a1a2、a2a3an-1an都在x轴上则点a10的坐标为 2、已知点a（0,2）和点b（0，-2），点p在函数y=的图像上，如果pab的面积为6，求p点的坐标。【例2】如右图，已知点（1,3）在函数y=（x0）的图像上，矩形abcd的边bc在x轴上，e是对角线bd的中点，函数y=（k0）的图象又经过a,e两点，点e的横坐标为m，解答下列各题1.求k的值2.求点c的横坐标（用m表示）3.当abd=45时，求m的值1121、已知：如图，矩形abcd的边bc在x轴上，e是对角线ac、bd的交点，反比例函数y=（x0）的图象经过a，e两点，点e的纵坐标为m（1）求点a坐标（用m表示）（2）是否存在实数m，使四边形abcd为正方形，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由2、如图1，矩形abcd的边bc在x轴的正半轴上，点e（m，1）是对角线bd的中点，点a、e在反比例函数y=的图象上（1）求ab的长；（2）当矩形abcd是正方形时，将反比例函数y=的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y= 的图象（如图2），求k1的值；（3）直线y=-x上有一长为动线段mn，作mh、np都平行y轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线y=于点h、p，问四边形mhpn能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点m的坐标；若不能，请说明理由【例3】在平面直角坐标系中，已知a(1,0),b(0,1)，矩形ompn的相邻两边om，on分别在x，y轴的正半轴上，o为原点，线段ab与矩形ompn的两边mp,np的交点分别为e,f,aofboe（顶点依次对应）（1）求foe；（2）求证：矩形opmn的顶点p必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式。如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1分别交x轴、y轴于a，b两点，点p（a，b）是反比例函数y=在第一象限内的任意一点，过点p分别作pmx轴于点m，pny轴于点n，pm，pn分别交直线ab于e，f，有下列结论：af=be；图中的等腰直角三角形有4个；soef=（a+b-1）；eof=45其中结论正确的序号是【例4】已知：如右图，已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图像经过（a，b），（a+1，b+k）.（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点a在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点a的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点p，使aop为等腰三角形？若存在，把符合条件的p点坐标都求出来；若不存在，请说明理由已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点a、b的坐标：（3）根据函数图象，求不等式2x-1的解集；（4）在（2）的条件下，x轴上是否存在点p，使aop为等腰三角形？若存在，把符合条件的p点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。 一、 巩固练习：解答题1、已知反比例函数y=图象过第二象限内的点a（-2，m），作abx轴于b，rtaob面积为3；若直线y=ax+b经过点a，并且经过反比例函数y=的图象上另一点c（n，-1）（1）反比例函数的解析式为y=-，m=3，n=6；（2）求直线y=ax+b的解析式；（3）设直线y=ax+b与x轴交于m，求am的长；（4）根据图象写出使反比例函数y=值大于一次函数y=ax+b的值的x的取值范围。2、已知如图：矩形abcd的边bc在x轴上，e为对角线bd的中点，点b、d的坐标分别为b（1，0），d（3，3），反比例函数y=的图象经过a点，（1）写出点a和点e的坐标；（2）求反比例函数的解析式；3、如右图已知反比例函数y=（k0）的图像经过点a（-，m），过a点作abx轴于点b,且aob的面积为。 123(1)求k和m的值(2)若一次函数y=ax+1的图像经过点a，并且与x轴相交于点m,求amo和|ao|:|am|的值二、 拓展训练4、已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点（1）求反比例函数的解析式；（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为a（1，m），请问：在x轴上是否存在点b，使aob为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点b的坐标；（3）若直线y=-x+交x轴于c，交y轴于d，点p为反比例函数y=（x0）的图象上一点，过p作y轴的平行线交直线cd于e，过p作x轴的平行线交直线cd于f，求证：decf为定值过手练习1、已知：如右图已知反比例函数y