【志鸿全优设计】八年级数学上册 第二章 6 实数例题与讲解 北师大版.doc

6实数1实数的概念及分类(1)有理数和无理数统称实数(2)实数的分类：我们所学习的实数范围大、类别多，按照不同的标准就有不同的分类方法，总体来说有两种情况：按定义来分类按正、负数来分类实数分类是一个重要的数学思想，对实数分类时要做到按同一标准，既不重复，又不遗漏对啊! 还要注意：0既不是正数，也不是负数，它是一个中性数，它在实数里扮演着重要角色. 我们通常把正实数和0合称为非负数，把负实数和0合称为非正数.【例1】 把下列各数填入相应的集合内：0，0.，1.234 56，49.(1)有理数集合：；(2)无理数集合：；(3)正实数集合：；(4)负实数集合：分析：实数按照不同的分类标准有两种分类方法，将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合解：(1)有理数集合：，0.，49，.(2)无理数集合：，1.234 56，(3)正实数集合：，0.，1.234 56，.(4)负实数集合：，49，点技巧 实数的有关性质解答本题时要注意以下几点：(1)对于，虽然有负号，但是最终化为正数，虽然含有根号，但是可以开得尽方，所以它既是正数又是有理数；(2)0既不是正数又不是负数；(3)一切分数都是有理数2.实数的性质在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样(1)相反数：实数a的相反数是a,0的相反数是0，具体地，若a与b互为相反数，则ab0；反之，若ab0，则a与b互为相反数如：与，与均互为相反数(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a的绝对值可表示为|a|就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|0，并且若|x|a(a0)，则xa.例如：|，|，|，|()，.(3)倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab1；反之，若ab1，则a与b互为倒数这里应特别注意的是0没有倒数(4)实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个负实数，绝对值大的反而小；数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大在进行实数比较大小时，我们会经常用到估算法、乘方法、作商法、求差法等等，由于方法多种多样，所以要根据实际采用适当的方法，亦可分别尝试应用【例21】 解答下列问题：(1)求的绝对值；(2)若某数的绝对值是，求这个数；(3)已知|x|，求实数x；(4)设a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的倒数是其本身，化简(ab)m|m|.分析：(1)6，6的绝对值是6；(2)(3)在解决时要考虑到正负两种情形；(4)由a与b互为相反数可得ab0，由c与d互为倒数可得cd1，由m的倒数是其本身可得m1，然后化简可解解：(1)|6|6.(2)|，|，绝对值是的数是.(3)|x|，x.(4)由题意，得ab0，cd1，m1.当m1时，原式10110；当m1时，原式10(1)|1|112.注：(2)(3)两题实质是一样的，只是表达形式不同，解题时要防止丢掉负实数【例22】比较下列各组数的大小：(1)3.141 5和；(2)2和3.分析：解：(1)|3.141 5|3.141 5，|3.141 592，3141 5，3.141 5.(2)(2)241144，(3)29545,4455，23.点技巧 比较负无理数的大小(1)比较两个负实数大小时，应先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小；(2)因为2和3都是无理数，整数部分很难确定，所以可以利用乘方法，乘方大的这个数就大3实数与数轴上点的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数即实数和数轴上的点是一一对应的因此，数轴正好可以被实数填满【例3】 大家知道，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，请你在数轴上画出表示的点分析：考虑到()2943222，可以利用勾股定理在数轴上作出长为的线段，从而找到表示的点解：作法如下：(1)在数轴上找到一点a，使oa3；(2)过a作at垂直于数轴，垂足为a，在at上截取ab2；(3)连接ob；(4)以o为圆心，ob为半径作弧，弧与数轴的交点c即为表示的点点评：在数轴上作无理数一般是借助勾股定理4实数的运算(1)运算法则、运算律有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方(2)运算顺序在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行5.与a的算术平方根之区别与a的算术平方根是代数中两个十分重要的概念，两者有非常密切的联系，但也有所区别，主要表现在以下几方面：(1)是一种代数式，而a的算术平方根是一种运算.(a0)是一种代数式，一种含有二次根号“”的代数式而算术平方根是指一种运算，一种与平方互为逆关系的运算(2)比a的算术平方根内涵更丰富.虽然建立在a的算术平方根上，但它比a的算术平方根的含义更丰富对于来说，它表示的意义仍然是非负数a的算术平方根用的形式表示一个非负数的算术平方根具有形式简洁、含义深刻等优点，通过二次根式探索、表达算术平方根的性质更是如鱼得水、简便之极(3)算术平方根不一定带根号如3是9的算术平方根【例4】 对于题目“化简并求值：，其中a”，甲、乙二人的解答不同甲的解答是：aa；乙的解答是：aa.谁的解答是错误的？为什么？分析：甲、乙二人的解答区别在于的化简，其值是非负数由于a，所以结果应是a.解：乙的解答是错误的理由：a，则a0，a.注意：|a|与在化简时一定要考虑其值的非负性6实数在生活中的应用实数是日常生活、生产中必不可少的数，它们与我们的生活息息相关，因此，与实数相关的问题自然成为中考命题的热点数学知识生活化是近几年来中考热点之一，实数也不例外，将生活中的实数搬进中考已成为中考的一个亮点【例5】 教生物的老师