概率论与数理统计中的数学建模案例.pdf

收稿日期 作者简介 孙建英 女 汉族 山东烟台人 青岛理工大学琴岛学院讲师 硕士 主要从事应用数学方向研究 第 卷 第 期 长 春 工 业 大 学 学 报 自然科学版 年 月 概率论与数理统计中的数学建模案例 孙建英 青岛理工大学琴岛学院 基础部 山东 青岛 摘 要 通过 个数学建模案例说明数学建模在概率论与数理统计中的应用 培养了学生的 应用能力 激发了学习兴趣 提高了教学质量 关键词 概率论与数理统计 数学建模 案例 中图分类号 文献标志码 文章编号 引 言 概率论与数理统计 与 高等数学 线性代 数 并称为理工类高等本科院校的三大基础学科 它的重要性已不言而喻 尤其是随着计算机的迅 猛普及 概率统计在经济 管理 金融 保险 医学 生物等方面的应用更是得到了长足的发展 但是 概率论与数理统计中有很多抽象的概念 定理 学 生理解起来都比较困难 更别提应用自如了 而且 现在很多院校使用的教材从知识的讲解角度来 讲 虽无可挑剔 堪为经典 但是案例过于陈旧 数 量不足 这就要求高校教师要不断地自我学习 更 新案例 使学生深刻体会到概率论与数理统计这 门学科强大的生命力和发展动力 文中将数 学建模的案例和思想引入概率论与数理统计课堂 中 教学中从问题到理论 再从理论到应用 让学 生体会到 学以致用 的真正含义 从而激发学生 的学习兴趣和探索精神 数学建模案例在概率论与数理统计中 的应用 案例 概率论与数理统计课程的引入 兴趣是最好的老师 紧紧抓住学生的好奇 心 是概率论与数理统计课程第一堂课要做的事 情 概率论最早起源于历史上两位伟大的数学家 帕斯卡和费马关于赌资分配问题的一次伟大的通 信 我们把它变成这样一个简单的数学模型 甲 乙两个人去射击 各自押了 元钱 看谁能射 中靶心 规则是先正中靶心三局的赢得全部赌资 结果三局后 赌局被迫中断了 此时 乙一胜两负 问如何分配这 元赌资 这个问题可以留给学 生们课下讨论 学完等可能事件的概率后 就会发 现进行五局比赛后 一定能分出胜负 已经进行了 三局 剩下的两局共有四种情况 甲赢的情况有三 种 所以甲乙按照 来分赌资 甲分得 元 乙分得 元 案例 全概率公式和贝叶斯公式的应用 概率中的很多问题与人们的生活是息息相关 的 像常说的 三个臭皮匠顶个诸葛亮 可以用 独立事件的概率来分析 狼来了 的故事就可以 用全概率和贝叶斯公式来分析 把 狼来了 这个 故事抽象成这样一个数学模型 假设小孩第一次 喊狼来了时是半真半假的 他说假话时 狼真的来 的概率为 他说真话时 狼真来的概 率 为 当他说了两次假话后 村民还会相信狼真的 来了吗 解 设 表示 小孩第 次喊话时 狼没来 表示 小孩第 次说谎 则 村民第一次受骗的概率为 村民第一次受骗后 小孩说谎的概率就上升 为 村民第二次受骗的概率为 同时小孩说谎的概率就上升为 大家说 村民们受了两次骗后 第三次还会去 帮助这个爱说谎的孩子吗 案例 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理的 应用 保险问题近几年一直是个热点话题 保险公 司确定的远远高于保险费的赔偿金会不会导致保 险公司赔本 保险公司如何来确定每个人交付的 保险费 我们把这些问题抽象成这样一个数学模 型 某保险公司开办一年人身保险业务 被保险 人每年交付保险费 元 若一年内发生重大人 身事故 保险公司支付 万元赔偿金 已知一个人 一年内发生重大人身事故的概率为 如今 有 人参加保险 问保险公司盈利的概率为 多少 解 设 为一年中发生重大人身事故的人 数 则 由棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理得 保险公司盈 利的概率为 槡 槡 这是一个很经典的案例 我们可以把它扩充 的更丰富一些 就能用一个简单的案例却让学生 多角度 深层次地把握这个知识 思考如下 问题 保险公司一年内从该项业务得到的 收益在 万元到 万元之间的概率为多少 问题 从保险公司的角度 如果每个人要 交的保险金为 元 要保证公司这个业务盈利的 可能性大于 那么这个 该如何确定 问题 要保证公司这个业务盈利超过 万元 则如何确定每个人要交的保险金 元 结 语 数学建模进入大学课堂的 多年 可以说已 从星星之火迅速发展成为燎原之势 除了数学建 模大赛的推动外 数学建模这门课程本身的这种 提出问题 分析问题 模型建立 模型求解 模型检 验 修正模型等解决问题的思想越来越被广大的 教育工作者所接受 并广泛应用到各自的专业领 域里 取得了良好的效果 但是在运用过程 中 教师们也要把握住几点 如何把这些案例恰如其分地引入到课堂 上 既能帮助学生们理解和应用所学到的知识 又 不喧宾夺主地占用过多的课堂时间 不能把概率 论和数理统计课堂变成数学建模课 第 期 孙建英 概率论与数理统计中的数学建模案例 除了课堂上 课外也可以布置一些开放性 的数学建模案例 通过学生们自己动手查资料 讨 论 激发他们自主学习的兴趣 还能进一步巩固课 堂知识 对教师们也提出了更高的要求 教师们自 己也要广泛地涉猎其它专业领域 寻找合适的案 例更新自己的案例库 提高教学水平和科研能力 参考文献 王新春 肖继光 刘晓红 案例在概率论教学中的应 用 河北理工大学学报 社会科学版 葛玉丽 徐少贤 邵曙光 在概率统计教学中融入数 学建模思想的教学探讨 南阳师范学院学报 霍玉洪 切比雪夫不等式及其应用 长春工业大 学学报 自然科学版 陈海杰 沙荣方 刘明华 应用案例分析提高概率论 与数理统计教学效果 东北农业大学学报 社会 科学版 王昕 程希明 概率论与数理统计案例教学探析 沈阳师范大学学报 自然科学版 侯嫚丹 数学建模思想融入概