【志鸿全优设计】八年级数学上册 第二章 7 二次根式例题与讲解 北师大版.doc

7二次根式1二次根式的定义一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数【例11】 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？，.解：二次根式有：，；不是二次根式的有：，.析规律 二次根式的条件二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.【例12】 当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x10时，才有意义解：由3x10，得x.因此当x时，在实数范围内有意义点技巧 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数一定要大于或等于0.2积的算术平方根用“，或”填空_，_，_.根据上面的计算我们可得出：即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积【例2】 化简：(1)；(2)；(3)；(4).分析：利用(a0，b0)直接化简即可解：(1)3412.(2)4936.(3)91090.(4)3.点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式3商的算术平方根填空：(1)_，_；(2)_，_；(3)_，_；(4)_，_.规律：_；_；_；_.通过计算容易得出上面的式子都是相等的因此，即：商的算术平方根等于各算术平方根的商【例3】 化简：(1)；(2)；(3)；(4).分析：直接利用(a0，b0)就可以达到化简之目的解：(1).(2).(3).(4).4最简二次根式最简二次根式应满足以下两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式所以，化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式【例4】 把下列根式化成最简二次根式：(1)，(2)，(3)，(4).解：(1)2.(2)2.(3).(4).点评：化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，应利用二次根式的有关性质化掉分母中的根号5二次根式的乘除二次根式的乘法：二次根式的除法：即：二次根式相乘除，只把被开方数相乘除，结果仍然作为被开方数【例5】 计算：(1)；(2)；(3)；(4).分析：直接利用(a0，b0)和(a0，b0)计算即可解：(1).(2).(3)2.(4)2.6二次根式的加减计算下列各式：(1)2x3x；(2)2x23x25x2；(3)x2x3y；(4)3a22a2a3.上面的题目，实际上为同类项合并同类项合并就是字母不变，系数相加减计算下列各式：(1)23；(2)235；(3)2；(4)32.分析：(1)如果我们把当成x，不就转化为上面的问题了吗？23(23)5.(2)把当成y；235(235)48.(3)把当成z；223(123)6.(4)把看为x，看为y.32(32).因此，二次根式的被开方数相同的话是可以合并的二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并【例6】 计算：(1)；(2)；(3)393；(4)()()分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解：(1)23(23)5.(2)48(48)12.(3)3931236(1236)15.(4)()()4226.7化简(1)计算：4，0.2，20，观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a0时，a.(2)计算：4，0.2，20，观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a0时，a.(3)计算：0，当a0时，0.(4)将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：|a|【例71】 化简：(1)；(2)；(3)；(4).分析：因为(1)932，(2)(4)242，(3)2552，(4)(3)232，所以都可运用a(a0)去化简解：(1)3.(2)4.(3)5.(4)3.【例72】 先化简再求值：当a9时，求a的值，甲、乙两人的解答如下：甲的解答为：原式aa(1a)1；乙的解答为：原式aa(a1)2a117.两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_答案：甲甲没有先判定1a是正数还是负数8二次根式的混合运算计算：(1)6x3y；(2)(2xy)zx；(3)(2x2y3xy2)xy.(4)(2x3y)(2x3y)；(5)(2x1)2(2x1)2.如果把上面的x，y，z改写成二次根式，以上的运算规律是否仍成立？仍成立整式运算中的x，y，z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式【例8】 计算：(1)()；(2)(43)2；(3)(6)(3)；(4)