高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第11节 第二课时 利用导数研究函数的极值与最值课件 理 新人教版.ppt

第二课时利用导数研究函数的极值与最值 易混易错辨析 考点专项突破 考点一 利用导数研究函数极值问题 考查角度1 根据函数图象判断函数极值 例1 2018 内蒙古赤峰市模拟 设函数f x 在r上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图象如图所示 则下列结论中一定成立的是 考点专项突破在讲练中理解知识 a 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 b 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 c 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 d 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 解析 由题图可知 当x0 当 22时 f x 0 由此可以得到函数f x 在x 2处取得极大值 在x 2处取得极小值 故选d 考查角度2 求函数的极值 2 求函数f x 的单调区间与极值 反思归纳利用导数研究函数极值的一般步骤 1 确定函数定义域 2 求导数f x 及f x 0的根 3 根据方程f x 0的根将函数定义域分成若干个区间 列出表格 检查导函数f x 零点左右f x 的值的符号 如果左正右负 那么y f x 在这个根处取极大值 如果左负右正 那么y f x 在这个根处取极小值 如果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 例3 2017 河南信阳质检 已知函数f x x alnx a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程 2 求函数f x 的极值 当a 0时 由f x 0 解得x a 因为x 0 a 时 f x 0 所以f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 反思归纳函数解析式中含参数的函数极值 需分类讨论 分类讨论标准主要有以下方面 1 f x 0的根是否存在 2 f x 0根的大小 3 f x 0的根与定义域的关系等 考查角度3 已知极值求参数 例4 1 导学号38486063已知函数f x x x c 2在x 2处有极大值 则实数c的值为 a 2或6 b 2 c d 6 2 已知函数f x lnx ax2 2x有两个极值点 则a的取值范围是 a 1 b 0 2 c 0 1 d 0 3 反思归纳 1 已知函数极值点x0 求解析式中的参数 常利用f x0 0列方程求参数 求出参数后还要检验所求参数值是否满足x0的极值点特征 2 函数y f x 在区间 a b 上存在极值点 则转化为函数y f x 在区间 a b 内存在变号零点 考点二 利用导数研究函数最值 例5 设函数f x 1 1 a x x2 x3 其中a 0 1 讨论f x 在其定义域上的单调性 2 当x 0 1 时 求f x 取得最大值和最小值时的x的值 解 2 因为a 0 所以x10 当a 4时 x2 1 由 1 知 f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在x 0和x 1处分别取得最小值和最大值 当0 a 4时 x2 1 由 1 知 f x 在 0 x2 上单调递增 在 x2 1 上单调递减 因此f x 在x x2 处取得最大值 又f 0 1 f 1 a 所以当0 a 1时 f x 在x 1处取得最小值 当a 1时 f x 在x 0和x 1处同时取得最小值 当1 a 4时 f x 在x 0处取得最小值 反思归纳求可导函数f x 的最值的步骤设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求f x 在 a b 内的极值 若函数f x 中含有参数 则需要讨论参数的范围 从而决定极值存在的位置 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 得出函数f x 在 a b 上的最值 跟踪训练1 导学号38486064 2017 河南开封质检 已知函数f x x2eax 其中a 0 e为自然对数的底数 1 讨论函数f x 的单调性 解 1 f x x ax 2 eax 当a 0时 f x x2 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 2 求函数f x 在区间 0 1 上的最大值 解 2 当a 0时 f x 在区间 0 1 上单调递增 最大值是f 1 1 当 2 a 0时 f x 在区间 0 1 上单调递增 最大值是f 1 ea 考点三 利用导数研究生活中的优化问题 例6 2017 大同质检 如图 在半径为10的半圆形 o为圆心 铁皮上截取一块矩形材料abcd 其中a b在直径上 c d在圆周上 将所截得的矩形铁皮abcd卷成一个以ad为母线的圆柱形罐子的侧面 不计剪裁与拼接损耗 记圆柱形罐子的体积为v 设ad x 则vmax 反思归纳求实际问题中的最大值或最小值时 一般是先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 然后利用求函数最值的方法求解 注意结果与实际情况相结合 用导数求解实际问题中的最大 小 值时 如果函数在开区间内只有一个极值点 那么依据实际意义 该极值点也就是最值点 跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为v立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将v表示成r的函数v r 并求该函数的定义域 2 讨论函数v r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 备选例题 例题 2016 山东卷 设f x xlnx ax2 2a 1 x a r 1 令g x f x 求g x 的单调区间 2 已知f x 在x 1处取得极大值 求实数a的取值范围 解 2 由 1 知 f 1 0 当a 0时 f x 单调递增 所以当x 0 1 时 f x 0 f x 单调递增 所以f x 在x 1处取得极小值 不合题意 易混易错辨析用心练就一双慧眼 忽视f x0 0是x x0为极值点的必要不充分条件而致误 典例 已知函数f x x3 ax2 bx a2 7a在x 1处取得极大值10 则a b的值为 错解 函数f x x3 ax2 bx a2 7a的导数为f x 3x2 2ax b 由在x 1处取得极大值10 可得f 1 10 且f 1 0 即为1 a b a2 7a 10 3 2a b 0 将b 3 2a代入第一式可得a2 8a 12 0 得a 2 b 1或a 6 b 9 所以a b 1或3 易错分析 由于f x0 0是x x0为极值点的必要不充分条件 因此本题中由f 1 0及f 1 10求得a b的值后还要验证所得结果是否满足x 1为函数的极大值点 正解 函数f x x3 ax2 bx a2 7a的导数为f x 3x2 2ax b 由在x 1处取得极大值10 可得f 1 10 且f 1 0 即为1 a b a2 7a 10 3 2a b 0 将b 3 2a代入第一式可得a2 8a 12 0 解得