概率与数理统计第五章.ppt

第五章参数估计 5 1点估计 5 2点估计量优劣的评价标准 5 3区间估计 5 1点估计 5 1 1矩估计 5 1 2最大似然估计 5 1 1矩估计 总体矩 样本矩 原点矩 中心矩 矩估计法是用相应的样本矩来估计总体矩 用样本矩的函数来估计总体矩的相应函数的一种估计方法 例5 1 解析 总体的一阶原点矩 样本均值即样本的一阶原点矩 总体的二阶中心矩 样本的二阶中心矩 不论总体服从什么分布 只要其均值和方差存在 都有 5 1 1矩估计 解 因为 由矩估计 即 解得 矩估计量 矩估计值 5 1 1矩估计 解 因为 由矩估计 即 解得 5 1 1矩估计 5 1 1矩估计 5 1 2最大似然估计 引例 甲箱子 乙箱子 随机抽取一箱 任取一球为白球 估计此白球来自哪个箱子 A 分析 若取出的是甲箱子 则A的概率为0 99 若取出的是乙箱子 则A的概率为0 01 现A已经发生了 则白球最像取自甲箱子 从而推断白球来自于甲箱子 最大似然 5 1 2最大似然估计 一 最大似然估计的基本思想 在一次试验中 若事件A发生了 则我们有理由认为该事件发生的概率较大 若样本的观测值为 则我们有理由认为该样本取到的概率较大 从而可选取总体中适当的参数 使取到该样本值的概率达到最大 5 1 2最大似然估计 例5 4设总体的分布律为 来自总体 样本观测值为 用最大似然估计的思想来估计参数 解 样本独立性 样本与总体同分布 记 最大似然函数 取自然对数 求导 并令导数为零 解得 5 1 2最大似然估计 二 最大似然估计的基本步骤 1 写出似然函数 2 取自然对数 3 求导并令导数等于0 即 4 求出驻点 得到参数的最大似然估计值和估计量 离散型总体 总体分布律 连续型总体 总体概率密度 5 1 2最大似然估计 例5 5总体其密度函数为 解 似然函数 取对数得 求导 并令其为零 解得 5 1 2最大似然估计 5 1 2最大似然估计 例5 6总体其密度函数为 解 似然函数 取对数得 求导 单减 即的最小值为最大似然估计值 将观测值按大小排序 所以 5 2点估计量优劣的评价标准 估计量的评价一般有三个标准 无偏性 有效性 一致性 5 2 1无偏性 定义 的估计量 若 则称为的无偏估计量 否则称为有偏估计量 例5 7 为无偏估计量 5 2 1无偏性 证明 1 样本均值是的无偏估计量 2 修正样本方差是的无偏估计量 证明 1 由于样本与总体同分布 所以 所以样本均值是的无偏估计量 5 2 1无偏性 2 所以样本方差是的无偏估计量 5 2 1无偏性 5 2 2有效性 定义 都是总体中未知参数的无偏估计量 若 设统计量和 则称是比有效的估计量 例5 9 为无偏估计量 是比更有效的估计量 5 2 3一致性 定义 的估计量 如果对于任意给定的 均有 则称是参数的一致估计量 若总体的数学期望和方差都存在 则由切比雪夫大数定律有 这说明样本均值是总体均值的一致估计量 5 3区间估计 5 3 1置信区间和置信度 5 3 2正态总体参数的区间估计 一 单个正态总体参数的区间估计 二 两个正态总体参数的区间估计 5 3 1置信区间和置信度 定义 设为总体分布中的未知参数 是取自总体的样本 对给定的数 若存在 满足 则称随机区间为置信区间 称为置信度 注意 1 由样本观测值得到的 称为置信区间的一个实现 2 置信度是随机区间包含未知参数的概率 3 置信度越大 区间长度越大 估计精度越低 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 一 单个正态总体未知参数的区间估计 设总体 是取自总体的样本 和分别是样本均值和样本方差 1 总体方差已知时的置信区间 置信区间 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 例5 9土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验 已知这批材料的抗断强度 现从中抽取容量为9的样本 测得观测值并计算得 试计算总体均值的0 95的置信区间 解 总体方差已知 且 置信下限 置信上限 所以总体均值的0 95的置信区间为 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 2 总体方差未知时的置信区间 置信区间 当总体方差未知时 用代替 构造统计量 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 例5 10为考察某地区寿险投保者的年龄 从该地区寿险投保人中随机抽取了容量为16的样本 测得年龄如下 35 40 45 39 28 35 40 37 42 29 44 38 34 43 36 41设投保人的年龄服从正态分布 试求总体均值的0 95的置信区间 解 总体方差未知 且 置信下限 置信上限 所以总体均值的0 95的置信区间为 查表可得 计算样本数据可得 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 3 总体方差的置信区间 置信区间 样本方差是的无偏估计量 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 例5 11为考察某地区寿险投保者的年龄 从该地区寿险投保人中随机抽取了容量为16的样本 测得年龄如下 35 40 45 39 28 35 40 37 42 29 44 38 34 43 36 41设投保人的年龄服从正态分布 试求总体均值的0 95的置信区间 解 置信下限 置信上限 所以总体均值的0 95的置信区间为 查表可得 计算样本数据可得 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 二 两个正态总体未知参数的区间估计 设总体 是取自总体的样本 和分别是样本均值和样本方差 设总体 是取自总体的样本 和分别是样本均值和样本方差 且两样本相互独立 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 1 方差和已知时的置信区间 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 的置信区间置信度为的置信区间为 例5 12设来自总体的一样本容量为15的样本 其 来自总体的一样本容量为20的样本 其 且两样本相互独立 试求的90 的置信区间 解 置信下限 置信上限 所以的0 90的置信区间为 查表可得 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 置信区间的意义 1 若的置信区间的下限大于零 则在相应的置信度下认为 2 若的置信区间的上限小于零 则在相应的置信度下认为 3 若的置信区间内含有零点 则在相应的置信度下认为和没有显著差异即 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 2 方差未知时的置信区间 置信区间 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 解 置信下限 置信上限 查表可得 例5 13甲乙两种稻种分别播种在10块试验田中 每块试验田甲 乙稻种各种一半 假设两稻种产量均服从正态分布 且方差相等 收获后10块试验田的产量如下 单位 kg 甲 140137136140145148140135144141乙 135118115140128131130115131125求出两稻种产量的均值差的置信度为0 95的置信区间 计算得 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 3 方差比的置信区间 置信区间为 5 3 2正态总体未知参数的区间估计 解 置信下限 置信上限 查表可得 例5 14甲乙两种稻种分别播种在10块试验田中 每块试验田甲 乙稻种各种一半 假设两稻种产量均服从正态分布 且方差相等 收获后10块试验田的产量如下 单位 kg 甲 140137136140145148140135144141乙 135118115140