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解析几何 第八章 第53讲曲线与方程 栏目导航 1 曲线与方程一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下关系 1 曲线上点的坐标都是 的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是 的点 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 曲线可以看作是符合某条件的点的集合 也可看作是适合某种条件的点的轨迹 因此 此类问题也叫轨迹问题 这个方程 曲线上 2 求曲线方程的基本步骤 2 和点o 0 0 a c 0 距离的平方和为常数c c 0 的点的轨迹方程为 2x2 2y2 2cx c2 c 0 3 ma和mb分别是动点m x y 与两定点a 1 0 和b 1 0 的连线 则使 amb为直角的动点m的轨迹方程是 解析点m在以a b为直径的圆上 但不能是a b两点 x2 y2 1 x 1 y2 8x x 0 5 圆的方程为x2 y2 4 抛物线过点a 1 0 b 1 0 且以圆的切线为准线 则抛物线焦点的轨迹方程是 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式 由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线 再设出标准方程 用待定系数法求解 一定义法求轨迹方程 例1 已知圆m x 1 2 y2 1 圆n x 1 2 y2 9 动圆p与圆m外切并且与圆n内切 圆心p的轨迹为曲线c 求c的方程 二直接法求轨迹方程 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略 1 题中给出等量关系 求轨迹方程 直接代入即可得出方程 2 题中未明确给出等量关系 求轨迹方程 可利用已知条件寻找等量关系 得出方程 例2 2016 全国卷 已知抛物线c y2 2x的焦点为f 平行于x轴的两条直线l1 l2分别交c于a b两点 交c的准线于p q两点 1 若f在线段ab上 r是pq的中点 证明ar fq 2 若 pqf的面积是 abf的面积的两倍 求ab中点的轨迹方程 三相关点法求轨迹方程 1 已知点a 4 4 b 4 4 直线am与bm相交于点m 且直线am的斜率与bm的斜率之差为 2 点m的轨迹为曲线c 则曲线c的轨迹方程为 x2 4y x 4 2 已知圆c的方程为 x 3 2 y2 100 点a的坐标为 3 0 m为圆c上任一点 线段am的垂直平分线交cm于点p 则点p的轨迹方程为 错因分析 要注意参数的取值影响x y的取值范围 曲线的方程与方程的曲线要对应 易错点轨迹方程与实际的轨迹不对应 例1 如图 在正方形oabc中 o为坐标原点 点a的坐标为 10 0 点c的坐标为 0 10 分别将线段oa和ab十等分 分点分别记为a1 a2 a9和b1 b2 b9 连接obi 过ai作x轴的垂线与obi交于点pi i n 1 i 9 求证 点pi i n 1 i 9 都在同一条抛物线上 并求p的轨迹方程 解析由题意得
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