高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题课件 北师大版选修21(1).ppt

1 1命题 1 理解命题的概念及其构成 会判断一个命题的真假 2 理解四种命题及其关系 掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断 1 命题可以判断真假 用文字或符号表述的语句叫作命题 其中判断为真的语句叫作真命题 判断为假的语句叫作假命题 做一做1 1 下列语句中 不能称为命题的是 a 5 12b x 0c 若a b 则a b 0d 三角形的三条中线交于一点解析 分析各语句能否判断真假 选项a判断为假 选项c d判断为真 而选项b中 在给x赋值之前 不能判断x 0的真假 所以x 0不是命题 答案 b 做一做1 2 有下列命题 关于x的方程mx2 2x 1 0是一元二次方程 抛物线y ax2 2x 1与x轴至少有一个交点 互相包含的两个集合相等 空集是任何集合的真子集 其中真命题有 a 1个b 2个c 3个d 4个解析 命题 中 当m 0时 方程是一元一次方程 命题 中 由题设知a 0 则 4 4a 的值可能为正数 可能为负数 也可能为零 故交点个数可能为2 0 1 命题 中 空集不是空集的真子集 命题 为真命题 答案 a 2 命题的结构形式数学中 通常把命题表示为 若p 则q 的形式 其中p是条件 q是结论 说明 数学中有些命题虽然不是 若p 则q 的形式 但是把它的表述作适当的改变 也可以写成 若p 则q 的形式 例如 对顶角相等 可改写为 若两个角是对顶角 则这两个角相等 3 四种命题 说明 关于四种命题的进一步理解 1 一个命题的四种形式是相对而言的 其中任何一个都可以看作原命题 而其他三个命题分别是它的逆命题 否命题和逆否命题 2 对于表面上不是 若p 则q 形式的命题 要写出其他三种命题 应将其改写成 若p 则q 的形式 这样便于分清原命题的条件和结论 3 当一个命题含有前提时 若要写出其他三种命题 则前提不变 仍作前提 4 将命题中的条件 结论进行否定时 要注意某些词语的否定形式 下面给出一些常见的关键词及其否定形式 做一做2 1 已知a b c r 命题 若a b c 3 则a2 b2 c2 3 的否命题是 a 若a b c 3 则a2 b2 c2 3b 若a b c 3 则a2 b2 c2 3c 若a b c 3 则a2 b2 c2 3d 若a2 b2 c2 3 则a b c 3答案 a 做一做2 2 命题 若x21或x1d 若x 1或x 1 则x2 1解析 根据逆否命题的定义 可知把原命题的条件 结论都否定后再交换 即 若x 1或x 1 则x2 1 故d正确 答案 d 4 四种命题之间的相互关系5 四种命题真假性之间的关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 2 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有必然关系 做一做3 判断下列命题的真假 并写出它们的逆命题 否命题 逆否命题 同时判断这些命题的真假 1 若a b 则ac2 bc2 2 若四边形的对角互补 则该四边形是圆的内接四边形 分析 各命题已具备 若p 则q 的形式 因此可直接写出它们的其他三种命题 并利用四种命题之间的关系判断真假 解 1 该命题为假命题 逆命题 若ac2 bc2 则a b 真命题 否命题 若a b 则ac2 bc2 真命题 逆否命题 若ac2 bc2 则a b 假命题 2 该命题为真命题 逆命题 若四边形是圆的内接四边形 则该四边形的对角互补 真命题 否命题 若四边形的对角不互补 则该四边形不是圆的内接四边形 真命题 逆否命题 若四边形不是圆的内接四边形 则该四边形的对角不互补 真命题 题型一 题型二 题型三 例1 判断下列语句是不是命题 若是 判断其真假 1 矩形是平行四边形 2 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 3 一个数不是合数就是质数 4 大角所对的边大于小角所对的边 分析 根据命题的定义进行判断 解 1 是命题且为真命题 2 不是命题 原语句是疑问句 没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出判断 不是命题 3 是命题且为假命题 1既不是合数也不是质数 4 是命题且为假命题 必须在同一个三角形或全等三角形中才有 大角所对的边大于小角所对的边 题型一 题型二 题型三 反思判断一个语句是不是命题的三个关键点 1 一般来说 陈述句才是命题 祈使句 疑问句 感叹句等都不是命题 2 该语句表述的结构可以判断真假 含义模糊不清 无法判断真假的语句不是命题 3 对于含有变量的语句 要注意根据变量的取值范围 看能否判断真假 若能 就是命题 否则就不是命题 题型一 题型二 题型三 变式训练1 判断下列命题的真假 2 正项等差数列的公差大于零 3 能被2整除的数一定不是素数 2 正项等差数列的公差不一定大于零 例如 常数列2 2 2 2 的公差为零 3 2能被2整除 但2是素数 解 1 为假命题 2 为假命题 3 为假命题 题型一 题型二 题型三 例2 指出下列命题中的条件p和结论q 1 若a b c成等差数列 则2b a c 2 若两个三角形相似 则它们的对应角相等 3 偶函数的图像关于y轴成轴对称图形 4 菱形的对角线互相垂直 分析 一般而言 若 如果 只要 后面是条件 则 那么 就有 后面是结论 解 1 条件p a b c成等差数列 结论q 2b a c 2 条件p 两个三角形相似 结论q 对应角相等 3 条件p 一个函数是偶函数 结论q 这个函数的图像关于y轴成轴对称图形 4 条件p 一个四边形是菱形 结论q 这个四边形的对角线互相垂直 题型一 题型二 题型三 反思当一个命题的条件和结论不明显时 我们可以把它的表述作适当改变 写成 若p 则q 的形式 例如 3 改写成 若一个函数是偶函数 则它的图像关于y轴成轴对称图形 4 改写成 若一个四边形是菱形 则它的对角线互相垂直 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 例3 已知函数f x 在 上是增函数 a b r 对命题 若a b 0 则f a f b f a f b 1 写出其逆否命题 判断其真假 并证明你的结论 2 写出其逆命题 判断其真假 并证明你的结论 分析根据四种命题之间的关系写逆否命题 逆命题 用互为逆否命题的两个命题同真假来证明结论 题型一 题型二 题型三 解 1 逆否命题 若f a f b f a f b 则a b 0 是真命题 证明 因为a b 0 所以a b b a 因为f x 在 上是增函数 所以f a f b f b f a 所以f a f b f a f b 即原命题为真命题 又因为互为逆否命题的两个命题同真假 所以其逆否命题为真命题 题型一 题型二 题型三 2 逆命题 若f a f b f a f b 则a b 0 是真命题 证明 由a b 0 则a b b a 因为f x 在 上是增函数 所以f a f b f b f a 所以f a f b f a f b 所以其否命题为真命题 又因为互为逆否命题的两个命题同真假 所以其逆命题为真命题 反思当直接证明某一个命题的真假发生困难时 通常转化为判断它的逆否命题的真假 题型一 题型二 题型三 变式训练3 求证 若p2 q2 2 则p q 2 证明设原命题为 若p2 q2 2 则p q 2 则其逆否命题为 若p q 2 则p2 q2 2 所以原命题为真命题 即若p2 q2 2 则p q 2 12345 1 已知下列语句 你准备考北京大学吗 斜率相同的直线平行 这里的景色真美 x3 5 5 其中不是命题的是 a b c d 解析 是疑问句 是感叹句 无法判断真假 答案 b 12345 2 有下列四个语句 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题 全等三角形的面积相等 的否命题 若q 1 则x2 2x q 0有实根 的逆否命题 不等边三角形的三个内角相等 的逆命题 其中真命题为 a b c d 解析 若三角形不全等 则面积不相等 为假命题 三个内角相等的三角形为不等边三角形 为假命题 而 为真命题 故选c 答案 c 12345 3命题 若a b都是奇数 则ab必为奇数 的等价命题是 a 若ab是奇数 则a b都是奇数b 若ab不是奇数 则a b不都是奇数c 若a b都是奇数 则ab不是奇数d 若a b不都是奇数 则ab不是奇数解析 根据原命题与其逆否命题等价进行判断 答案 b 12345 4 下列说法中正确的是 a 若一个命题的逆命题为真 则它的逆否命题一定为真b a b 与 a c b c 不等价c 若cosx cosy 则x y 的逆否命题为真命题d 若一个命题的否命题为真 则它的逆命题一定为真解析 a选项显然不正确 b选项 a b a c b c c选项 cosx cosy不一定得到x y 也可以是x 2 y 所以该命题为假命题 其逆否命题也为假命题 d选项 一个命题的逆命题与其否命题是互为逆否命题 具有相同的真假性 答案 d 12345 5 命题 已知a b为实数 若x