高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第6节 数学归纳法课件 理.ppt

第6节数学归纳法 最新考纲1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 1 数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 知识梳理 第一个值n0 n0 n n k 1 2 数学归纳法的框图表示 常用结论与微点提醒 1 数学归纳法证题时初始值n0不一定是1 2 推证n k 1时一定要用上n k时的假设 否则不是数学归纳法 诊断自测1 思考辨析 在括号内打 或 1 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 解析对于 2 有些命题也可以直接证明 对于 3 数学归纳法必须用归纳假设 对于 4 由n k到n k 1 有可能增加不止一项 答案 1 2 3 4 解析三角形是边数最少的凸多边形 故第一步应检验n 3 答案c 答案d 5 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 当第二步假设n 2k 1 k n 命题为真时 进而需证n 时 命题亦真 解析由于步长为2 所以2k 1后一个奇数应为2k 1 答案2k 1 6 2017 宁波调研 用数学归纳法证明 当n为正偶数时 xn yn能被x y整除 第一步应验证n 时 命题成立 第二步归纳假设成立应写成 解析因为n为正偶数 故第一个值n 2 第二步假设n取第k个正偶数成立 即n 2k 故应假设成x2k y2k能被x y整除 答案2x2k y2k能被x y整除 考点一用数学归纳法证明等式 证明 1 当n 1时 左边 右边 所以等式成立 规律方法 1 用数学归纳法证明等式问题 要 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是多少 2 由n k时等式成立 推出n k 1时等式成立 一要找出等式两边的变化 差异 明确变形目标 二要充分利用归纳假设 进行合理变形 正确写出证明过程 不利用归纳假设的证明 就不是数学归纳法 训练1 求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 证明 1 当n 1时 等式左边 2 右边 2 故等式成立 2 假设当n k k n 时等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 那么当n k 1时 左边 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2k 1 3 5 2k 1 2k 1 2 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 所以当n k 1时等式也成立 由 1 2 可知 对所有n n 等式成立 考点二用数学归纳法证明不等式 例2 2017 浙江五校联考 等比数列 an 的前n项和为sn 已知对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0 且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法 构造函数法等证明方法 考点三归纳 猜想 证明 规律方法 1 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理论证结论的正确性 2 归纳 猜想 证明 的基本步骤是 试验 归纳 猜想 证明 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 训练3 设函数f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f x 是f x 的导函数 1 令g1 x g x gn