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数学文化论文“数学魔图”探秘 幻方及其应用概述专业：数学教育班级：数教091班姓名：洪 峰 学号：200900400100118“数学魔图”探秘 幻方及其应用概述摘 要：幻方素来被称为“娱乐数学第一名题”，又称“数学魔图”。它从古代开始就影响着人类的生活。历史上很多数学家也对它展开了深入的研究。时至今日，关于它的故事和传说始终萦绕在人们心间。本文将从幻方的定义、类型、发展、构造方法和应用范围等几方面介绍这一传奇事物。关键词：幻方；定义；发展；应用说到九宫数和幻方大多数人都不陌生，在金庸先生著名的武侠小说射雕英雄传中就有郭靖在黄蓉的指导下为英姑指点九宫数的排列：“二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”这当然只是金庸武侠小说中的一个小插曲。事实上根据论说和星子的记载，传说在约3000年前的夏禹治水的时代有“神龟”背附神奇的星点图案出现在洛水，所以这个图案就被称为“洛书”。“洛书”上的星点图案用数字表示再引入方格图案便形成了后来的九宫格或九宫数，也就是三阶幻方。它是世界上最早的幻方。那么，什么是幻方呢？就让我们来认识一下它吧。一、幻方的定义溯源幻方也称纵横图、魔方、魔阵，它是科学的结晶与吉祥的象征，发源于我国古代的洛书九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作大戴礼明堂篇中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对我国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。在远古传说中，于治国安邦上也具有积极的寓意！包括洛书在内的幻方自古以来在亚、欧、美洲不少国家都被作为驱邪避凶的吉祥物，这种古代地域广泛的图腾应该说是极其少见的。1975年上海人民出版社出版的自然辩证法丛书自然科学大事年表，对于幻方作了特别的述说：“公元前一世纪，大戴礼记载，中国古代有象征吉祥的河图洛书纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现。”还附了全书唯一的插图！2500年前，孔子在他研究易经的著作系词上传中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的庄子天运，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家程大位在算法统宗中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治，这是借鉴思维的开端。这种活化思维的方式已成为科学灵感的来源之一。从洛书发端的幻方在数千年后的今天更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题。十三世纪，我国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。目前，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。1977年，4阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿！二、 幻方的种类、发展和构造方法按照幻方的定义，当N依次取值时就构成不同的幻方。早在南宋时期，我国著名的数学家杨辉就在他的续古摘奇算法中给出了3至10阶的幻方。如三阶幻方，又称九宫图，也就是“洛书”；四阶幻方，又称“花十六图”或“四四图”，五阶幻方，又叫“五五图”；六阶幻方，又叫“六六图”；七阶幻方，又叫“衍数图”，因古人有“大衍之数五十，其用四十有九”之说；八阶幻方，又叫“易数图”，因为88=64，而古书周易中恰好给出了64卦，故称64为“易数”；九阶幻方，又叫“九九图”；十阶幻方，又叫“百子图”。以上这类是普通幻方，只满足幻方的基本条件。根据奇偶，幻方又可分为奇数阶幻方和偶数阶和幻方。若还有进一步的特点，就更加神奇，可称为“幻中之幻”。例如：对称幻方，也叫关联幻方，是指方阵中凡是对中心处于对称位置的2个元素之和全都相等，等于(N2+1)的这样一种幻方。另外还有“泛对角幻方”、“棋盘上的幻方”、“亲子幻方”、奇偶数分居的“对称镶边幻方”、“T型幻方”等，以及“普朗克幻方”、“素数幻方”、“合数幻方”、“乘幻方”等非正规幻方。幻方进一步发展演变，还产生了幻圆、幻星、幻矩形和“魔蜂窝”等。在这基础上再演变，甚至向空间再进一步“幻中之幻”，又产生了“颠倒幻方”、“易位幻方”、“泛数字幻方”、“双幻方”、“幻立方（魔方）”、幻曲面、“四维魔方”等。三、幻方的应用过去，幻方仅作为一种游戏，近代已经发现，幻方在哲学、美学、美术设计、计算机程序设计、图论、人工智能、对策论、组合分析等方面有广泛的应用。幻方可以应用于哲理思想的研究。在数学中，幻方蕴涵的哲理思想是最为丰富的。易经是一本哲学书，它几乎影响了国内外的各种哲学思想。而易学家们通过多方面研究发现，易学来源于河图洛书，而洛书就是三阶幻方。幻方的布局规律、构造原理蕴涵着一种概括天地万物的生存结构，是说明宇宙产生和发展的数学模型。幻方也可以应用于美术设计。幻方可大量应用于美术设计，西方建筑学家勃拉东发现幻方的对称性相当丰富，它采用幻方组成许多美丽的图案，他把图案中的那些方阵内的线条称为“魔线”，并应用于轻工业品、封面包装设计中，德国著名画家和数学家丢勒的作品忧郁中，因有一个能指明制作年代的幻方而闻名于世，艺术美与理性美的和谐组合，往往成为流芳千古的佳作。关于“魔线”图，日本幻方专家阿部乐方也做过许多工作，我国河南安阳一位教师姬广忠，曾研究出各种魔线图，奉献给了中央工艺美术学院。北京丁宝训在幻方专辑登载了17幅“魔线图”，都十分漂亮。幻方中数学布局十分对称均衡，又有丰富的变化，因而将其数字按序联起来，可形成一幅幅奇特的“魔方阵构造图”，经彩色处理可获得十分漂亮的美术图案，这种图案在表现出多样的对称美的同时，又有幻方原理的理性规律，因此耐人寻味，堪称天斧之工。幻方有美学价值。数学是美的，幻方更美。幻方是数学按着一种规律布局成的一种体系，每个幻方不仅是一个智力成就，而且还是一个艺术佳品，都以整齐划一，均衡对称、和谐统一的特性，迸发出耀人的数学美的光辉，具有很高的美学价值。在数学美学当中，把幻方中的美学价值推为至上，由于数学中的各个内容均同数字有密切联系，因而幻方这种美的结构均可渗透在各种数学知识当中，显示出多样的妙趣来，使我们在幻方的欣赏中了解数学知识的许多奥妙。幻方有智力开发功能。幻方由于比较简单，容易入门，很快能引起青少年的探讨兴趣。可以说幻方在智力开发方面已产生十分重要的作用。挖掘中国数学史，我们便会看到，趣味数学、计算工具、棋类游戏都与幻方有着内在的联系。在算法的历史上，先有九宫算，后有太乙算、算盘、电子计算机，在游戏的发展史上，最先有重排九宫，后有象棋、围棋、华容道游戏等。围棋盘是一个19阶方阵，象棋盘是一个八阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵)，它们的走法原理均同幻方的布