高考数学大一轮复习 不等式选讲 第1节 绝对值不等式课件 文 新人教A版.ppt

第1节绝对值不等式 最新考纲1 理解绝对值的几何意义 并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件 a b a b a b r a b a c c b a b r 2 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 ax b c ax b c x c x b a 1 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a的解集 知识梳理 a a 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 c ax b c ax b c或ax b c 2 含有绝对值的不等式的性质 1 如果a b是实数 则 a b 当且仅当时 等号成立 2 如果a b c是实数 那么 当且仅当时 等号成立 a b ab 0 a c a b b c a b b c 0 1 思考辨析 在括号内打 或 1 若 x c的解集为r 则c 0 2 不等式 x 1 x 2 2的解集为 3 对 a b a b 当且仅当a b 0时等号成立 4 对 a b a b 当且仅当 a b 时等号成立 5 对 a b a b 当且仅当ab 0时等号成立 答案 1 2 3 4 5 诊断自测 2 不等式 x 1 x 5 2的解集是 a 4 b 1 c 1 4 d 1 5 解析 当x 1时 原不等式可化为1 x 5 x 2 4 2 不等式恒成立 x 1 当1 x 5时 原不等式可化为x 1 5 x 2 x 4 1 x 4 当x 5时 原不等式可化为x 1 x 5 2 该不等式不成立 综上 原不等式的解集为 4 答案a 3 选修4 5p19习题t9改编 若关于x的不等式 a x 1 x 2 存在实数解 则实数a的取值范围是 解析由于 x 1 x 2 x 1 x 2 3 x 1 x 2 的最小值为3 要使原不等式有解 只需 a 3 则a 3或a 3 答案 3 3 4 若不等式 kx 4 2的解集为 x 1 x 3 则实数k 解析 kx 4 2 2 kx 4 2 2 kx 6 不等式的解集为 x 1 x 3 k 2 答案2 故原不等式得证 考点一绝对值不等式的解法 例1 1 2016 全国 卷 已知函数f x x 1 2x 3 1 在图中画出y f x 的图象 2 求不等式 f x 1的解集 故y f x 的图象如图所示 2 由f x 的解析式及图象知 当f x 1时 可得x 1或x 3 例1 2 2017 全国 卷 已知函数f x x2 ax 4 g x x 1 x 1 1 当a 1时 求不等式f x g x 的解集 2 若不等式f x g x 的解集包含 1 1 求a的取值范围 解 1 当a 1时 f x x2 x 4 f x g x x2 x x 1 x 1 4 0 当x 1时 f x g x x2 x 4 0 当 1 x 1时 f x g x x 2 x 1 0 则 1 x 1 当x 1时 f x g x x2 3x 4 0 解得 1 x 4 又x 1 不等式此时的解集为空集 2 依题意得 x2 ax 4 2在 1 1 上恒成立 则x2 ax 2 0在 1 1 上恒成立 故a的取值范围是 1 1 规律方法1 本题利用分段函数的图形的几何直观性 求解不等式 体现了数形结合的思想 2 解绝对值不等式的关键是去绝对值符号 常用的零点分段法的一般步骤 求零点 划分区间 去绝对值符号 分段解不等式 求各段的并集 此外 还常用绝对值的几何意义 结合数轴直观求解 训练1 已知函数f x x 2 1 求不等式f x x2 4 0的解集 2 设g x x 7 3m 若关于x的不等式f x 0 即 x 2 4 x2 当x 2时 不等式可化为x2 x 6 0 解得x 2 当x0 解得x2或x x 2 x 7 在x r上有解 又 x 2 x 7 x 2 x 7 9 所以3m 9 解得m 3 故实数m的取值范围是 3 考点二绝对值不等式性质的应用 因为 1 4ab 2 4 a b 2 1 8ab 16a2b2 4 a2 2ab b2 16a2b2 4a2 4b2 1 4a2 1 4b2 1 0 所以 1 4ab 2 4 a b 2 故 1 4ab 2 a b 例2 2 对于任意的实数a a 0 和b 不等式 a b a b m a 恒成立 记实数m的最大值是m 1 求m的值 2 一题多解 解不等式 x 1 x 2 m 解 1 不等式 a b a b m a 恒成立 因为 a b a b a b a b 2 a 当且仅当 a b a b 0时等号成立 因此m 2 2 不等式 x 1 x 2 m 即 x 1 x 2 2 法一由于 x 1 x 2 表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和 法二 当x 1时 不等式为 x 1 x 2 2 当1 x 2时 不等式为 x 1 x 2 2 即1 x 2 当x 2时 不等式为 x 1 x 2 2 规律方法1 求含绝对值的函数最值时 常用的方法有三种 1 利用绝对值的几何意义 2 利用绝对值三角不等式 即 a b a b a b 3 利用零点分区间法 2 含绝对值不等式的证明中 要注意绝对值三角不等式的灵活应用 训练2 对于任意实数a b 已知 a b 1 2a 1 1 且恒有 4a 3b 2 m 求实数m的取值范围 解因为 a b 1 2a 1 1 则 4a 3b 2 的最大值为6 所以m 4a 3b 2 max 6 m的取值范围是 6 考点三绝对值不等式的综合应用 例3 2017 全国 卷 已知函数f x x 1 x 2 1 求不等式f x 1的解集 2 若不等式f x x2 x m的解集非空 求m的取值范围 当x 1时 f x 3 1无解 当 1 x 2时 2x 1 1 解得x 1 则1 x 2 当x 2时 f x 3 1恒成立 x 2 综上知f x 1的解集为 x x 1 2 不等式f x x2 x m等价于f x x2 x m 得m x 1 x 2 x2 x有解 规律方法1 例3第 1 问分段讨论 求得符合题意的x取值范围 最后取并集 2 1 不等式恒成立问题 解集非空 不能成立 问题 转化为最值问题解决 2 本题分离参数m 利用绝对值不等式的性质求解 避免分类讨论 优化了解题过程 训练3 2016 全国 卷 已知函数f x 2x a a 1 当a 2时 求不等式f x 6的解集 2 设函数g x 2x 1 当x r时 f x g x 3 求实数a的取值范围 解 1 当a