【志鸿全优设计】高中数学 第二章2.2.2 反证法讲解与例题 新人教A版选修22.doc

2.2.2反证法问题导学一、用反证法证明否定性命题活动与探究1(1)已知函数f(x)ax(a1)，证明：方程f(x)0没有负数根(2)已知数列an的通项公式是ann，求证：数列an中任意不同的三项都不可能是等比数列迁移与应用1证明抛物线没有渐近线2已知a是整数，a3a2a是偶数，求证：a也是偶数当要证结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题时，由于此类命题的反面比较具体，因而适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾二、用反证法证明至多、至少问题活动与探究2(1)已知下列三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围(2)若a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x，求证：a，b，c中至少有一个大于0迁移与应用1已知a，b，c，dr，且abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数2已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于常见的“原结论词”与“假设词”原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个假设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有(n1)个至少有(n1)个原结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立假设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立原结论词都是一定是p或qp且q假设词不都是不一定是p且qp或q三、用反证法证明几何问题活动与探究3用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半迁移与应用1求证：两条相交直线有且只有一个交点2求证：过直线a外一点p，有且只有一条直线与这条直线平行使用反证法要注意：(1)用反证法证明问题的第一步是“假设”，这一步一定要准确，否则后面的证明毫无意义(2)反证法的“归谬”要合理(3)反证法的适用范围：否定性命题命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明的要讨论的情况多或者复杂，而反面情况少或者简单的问题共有n种情况，现要证明其中的一种情况成立时，可以想到用反证法把其他的(n1)种情况都排除，从而肯定这种情况成立四、用反证法证明唯一性命题活动与探究4已知函数yf(x)在区间a，b上的图象连续不间断，且f(x)在a，b上单调，f(a)0，f(b)0求证：函数yf(x)在a，b上有且只有一个零点迁移与应用1过平面内的一点a作直线a，使得a，求证：直线a是唯一的2证明方程2x3有且只有一个根(1)证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便(2)证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性答案：课前预习导学【预习导引】(1)间接证明(2)不成立原命题成立(3)已知条件假设定义、公理、定理、事实预习交流(1)提示：不是，反证法是在假设原结论不成立的条件下推出矛盾的，也就是说，之所以推出了矛盾，就是因为我们假设了原结论不成立，故在用反证法时，必须把结论的否定作为条件使用，否则，就不是反证法(2)提示：提示：否定唯一至少或至多课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：(1)用反证法，假设方程f(x)0有负根，利用根的范围产生矛盾(2)该问题是一个否定性命题，可假设在an中存在某不同的三项构成等比数列，然后推得矛盾，从而证明原命题的正确性证明：(1)假设存在x00满足f(x0)0，则a1，且x00，01，01，即x02，与假设x00矛盾，故方程f(x)0没有负数根(2)假设an存在不同的三项ap，aq，ar(p，q，r互不相等)构成等比数列则aapar，即(p)(r)(q)2，pr(pr)3q22q3，(prq2)(pr2q)0由于p，q，rn*，prq20且pr2q0于是pr20，得(pr)20，故prq这与p，q，r互不相等相矛盾，因此假设不成立，即an中任意不同的三项都不可能是等比数列迁移与应用1证明：设抛物线的方程是y22px(p0)假设抛物线有渐近线，渐近线的方程是yaxb，易知a，b都不为0因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组的两组解的倒数都是0将代入，得a2x22(abp)xb20设x1，x2是的两个根，由韦达定理可知x1x2，x1x2，则0，0，由可推得p0，这与假设p0矛盾所以抛物线没有渐近线2证明：假设a不是偶数，由于a是整数，所以a必为奇数，故可设a2k1(kz)，因此a3a2a(2k1)3(2k1)2(2k1)8k312k26k14k24k12k18k316k212k32(4k38k26k)3，由于2(4k38k26k)是偶数，所以2(4k38k26k)3是奇数，即a3a2a是奇数，这与a3a2a是偶数相矛盾，故假设不成立，即a也是偶数活动与探究2思路分析：(1)利用反证法求出三个方程都无实根的范围，利用补集求解(2)利用反证法设三个数都小于0，推出矛盾解：(1)若方程没有一个有实根，则解得即a1故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是(2)证明：设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，abc0而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23abc0，这与abc0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0迁移与应用1证明：假设a，b，c，d都是非负数，即a0，b0，c0，d0由于abcd1，所以(ab)(cd)(acbd)(adbc)1，于是acbd1(adbc)1，这与acbd1相矛盾，故假设不成立，即a，b，c，d中至少有一个是负数2证明：假设三式同时大于0a1，1a0同理，三式相加得，与矛盾，原命题成立活动与探究3思路分析：本题主要考查反证法依据题意，写出已知、求证，再用反证法，即否定结论，把假设和已知条件结合起来去推出矛盾解：已知：如图，在abc中，a90，d是bc的中点求证：adbc证明：假设adbc若adbc由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”知bac90，与题设矛盾adbc若adbcbddcbc，在abd中，adbd，从而bdab，同理ccad，b+cbad+cad，即b+cbacb+c180bac，180bacbac，则bac90，与题设矛盾由知adbc迁移与应用1解：已知：存在直线a，b并且a与b相交，求证：直线a与b有且只有一个交点证明：若结论不成立，则有两种情况：没有交点；不止有一个交点假设直线a，b没有交点，那么ab，这与已知矛盾；假设直线a，b不止有一个交点，则至少有两个交点p，p，这样经过点p，p就有两条直线a，b，这与两点确定一条直线矛盾由和可知，假设错误，所以两条相交直线有且只有一个交点2证明：点p在直线a外，点p和直线a确定一个平面，设该平面为，在平面内，过点p作直线b，使得ba，则过点p有一条直线与a平行假设过点p还有一条直线c(不同于直线b)与a平行，ab，ac，bc，这与b，c相交于点p矛盾，故假设不成立即过直线a外一点p，有且只有一条直线与a平行活动与探究4思路分析：由函数零点存在性判定定理易证存在性，对于唯一性可用反证法证明证明：由于yf(x)的图象在a，b上连续不间断，又f(a)0，f(b)0，即f(a)f(b)0，故yf(x)在区间a，b上一定存在零点x0下面用反证法证明只有一个零点x0假设yf(x)在a，b上还存在一个零点x1(x1x0)，则f(x1)0由函数f(x)在a，b上单调且f(a)0，f(b)0知f(x)在a，b上单调递减若x1x0，则f(x1)f(x0)，即00，矛盾，若x1x0，则f(x1)f(x0)，即00，矛盾，因此假设不成立，即f(x)的零点是唯一的迁移与应用1证明：假设这样的直线a不唯一，则过点a至少还有一条直线b，使得b直线a，b是相交直线，两直线a，b可以确定一个平面设和相交于过点a的直线ca，b，ac，bc这样在平面内，过点a就有两条直线a，b垂直于直线c，这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾，所以假设不成立，故直线a是唯一的2证明：2x3，xlog23，这说明方程有一个根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3有两个根为b1，b2(b1b2)则,，两式相除得如果b1b20，则，这与相矛盾；如果b1b20，则，这与相矛盾；如果b1b20，则b1b2，这与b1b2相矛盾如果方程2x3的根多于两个，同样可以推出矛盾故2x3有且只有一个根当堂检测1用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60”，反证假设正确的是()a假设三内角都大于60b假设三内角都不大于60c假设三内角至多有一个大于60d假设三内角至多有两个大于60答案：b解析：“至少有一个大于”的反面为“都不大于”，故选b项2如果两个数之和为正数，则这两个数()a一个是正数，一个是负数 b两个都是正数c至少有一个是正数 d两个都是负数答案：c解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾3命题“关于x的方程axb(a0)的解是唯一的”的结论的否定是_答案：无解或至少两解解析：方程解的情况有：无解；唯一解；两个或两个以上的解4设实数a，b，c满足abc1，则a，b，c中至少有一个数不小于_答案：解析：假设a，b，c都小于，则abc1，与abc1矛盾故a，b，c中至少有一个不小于5完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是由数字1,2，7任意排成的一个数列，求证：乘积p(a11)(a22)(a