【志鸿全优设计】高中数学 第二章2.1.4 函数的奇偶性讲解与例题 新人教B版必修1.doc

2.1.4函数的奇偶性1奇、偶函数的概念名称定义奇函数设函数yf(x)的定义域为d，如果对d内的任意一个x，都有xd，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数偶函数设函数yg(x)的定义域为d，如果对d内的任意一个x，都有xd，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数谈重点 对函数奇偶性的理解(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则x必然在定义域中，因此，函数yf(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的前提条件是定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性如函数y2x在(，)上是奇函数，但在2,3上则无奇偶性可言(2)函数按奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数(3)既奇又偶函数的表达式如f(x)0(xa)，定义域a是关于原点对称的非空数集如函数f(x)0(2x2)是既奇又偶函数；再如函数f(x)，定义域为0且f(x)0，所以该函数也是既奇又偶函数(4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)0.(5)函数的奇偶性与单调性的差异奇偶性反映的是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)，才能说f(x)是奇(偶)函数用定义判断函数奇偶性的一般步骤(1)求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数，若定义域关于原点对称，则进行下一步(2)求f(x)并判断f(x)与f(x)的关系若f(x)f(x)，则函数为偶函数；若f(x)f(x)，则函数为奇函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则函数既不是奇函数又不是偶函数(3)得出结论【例11】下列说法正确的是()a若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数b若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称c若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数d若函数f(x)的定义域为r，且f(0)0，则f(x)是奇函数解析：a奇偶函数的定义域一定关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如yx1.b c奇函数若在原点处有定义，则f(0)0，反之不一定成立，如yx2.d答案：b【例12】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)f(x)x22|x|1，x1,1解：(1)由得x1，函数f(x)的定义域为1，不关于原点对称故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)由得x21，即x1.函数f(x)的定义域是1,1，关于原点对称又f(x)0，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数的定义域为1,1，关于原点对称又f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，f(x)是偶函数2奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数析规律 巧用奇、偶函数的图象特征由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数(，0(或0，)上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形【例21】奇函数f(x)的定义域是2,2且其图象的一部分如图所示，则不等式f(x)0的解集是_解析：由于f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，补全其图象，如图所示，从图上可以看出f(x)0的解集是(1,0)(1,2)答案：(1,0)(1,2)【例22】已知，如图为某函数yf(x)的图象(关于原点对称)，且f(2)2，求f(2)的值是多少？解：函数yf(x)的图象关于原点对称，函数yf(x)是奇函数又f(2)2，f(2)f(2)2.【例23】如图，给出了偶函数yf(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小分析：方法一：方法二：解：方法一：函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，如图由图象可知f(1)f(3)方法二：由题图可知f(1)f(3)又函数yf(x)是偶函数，f(1)f(1)，f(3)f(3)，f(1)f(3)析规律 奇、偶函数图象的作用(1)由函数图象的对称性判断函数的奇偶性也是一种常用的奇偶性判断方法，称作图象法(2)如果已知一个函数是奇函数或偶函数，则只要将它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象3判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法其步骤是：画出函数f(x)的图象；判断函数图象关于原点或y轴是否对称；如果图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；如果图象关于原点和y轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果图象关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数(3)性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数【例3】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)x32x；(3)f(x)x21.解：(1)函数的定义域为(，1)(1，)不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)函数的定义域为r.方法一：f(x)(x)32(x)(x32x)f(x)，函数f(x)x32x是奇函数方法二：f1(x)x3是奇函数，f2(x)2x也是奇函数，f(x)f1(x)f2(x)x32x是奇函数(3)函数的定义域为r.方法一：f(x)(x)21x21f(x)，函数f(x)x21是偶函数方法二：画出yx21的图象，如图，由图可知其图象关于y轴对称函数f(x)x21是偶函数辨误区 判断奇偶性应先考虑定义域本题(1)易错解为：f(x)2x，f(x)2xf(x)，则函数f(x)是奇函数，其原因是没有讨论函数的定义域避免出现此类错误的方法是讨论函数的奇偶性要遵守定义域优先的原则4分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数分段函数不是几个函数，而是一个函数因此其判断方法也是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(x)与f(x)的关系首先要特别注意的是x与x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f(x)与f(x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较例如：判断函数f(x)的奇偶性解：函数的定义域是(，0(0，)r.当x0时，有f(x)x(x1)，x0，f(x)(x)(x1)x(1x)x(x1)f(x)当x0时，有f(x)x(x1)，x0，f(x)x(x1)x(x1)f(x)当x0时，f(0)0，f(0)0f(0)综上所得，对xr，总有f(x)f(x)成立f(x)是奇函数【例41】已知函数是奇函数，则m_.解析：当x0时，x0，f(x)(x)22(x)x22x.f(x)为奇函数，f(x)f(x)x22x.f(x)x22xx2mx，m2.答案：2【例42】判断函数的奇偶性解：方法一：函数的定义域为(，0)(0，)，当x0时，x0，f(x)(x)21f(x)当x0时，x0，f(x)(x)21x21f(x)综上所述，在(，0)(0，)上总有f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数方法二：作出函数的图象，如图所示函数的图象关于原点对称，所以是奇函数点技巧 分段函数奇偶性的判断技巧(1)分段函数的奇偶性应分段说明f(x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数；(2)若能画出分段函数的图象，可利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性5抽象函数奇偶性的判断对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(x)的式子再利用奇偶性的定义加以判断【例5】函数f(x)，xr，若对任意实数a，b都有f(ab)f(a)f(b)，求证：f(x)为奇函数证明：令a0，则f(b)f(0)f(b)，f(0)0.又令ax，bx，代入f(ab)f(a)f(b)，得f(xx)f(x)f(x)即f(x)f(x)0，f(x)f(x)f(x)为奇函数6利用函数的奇偶性求函数解析式奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称当函数f(x)具有奇偶性时，已知函数f(x)在y轴一侧的解析式，就可得到在y轴另一侧的解析式，具体做法如下：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内；(2)要利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x) 的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)；(4)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0.若做选择题或填空题，还可以采用如下办法：(1)直接代换法：若图象关于原点对称，只需把原函数中的x和y分别换成“x”和“y”；若关于y轴对称，只需把原函数中的x变为“x”即可(2)特殊点对称法：在函数yf(x)图象上找若干个(个数视yf(x)的形式而定)特殊点(a，f(a)，(b，f(b)，若yf(x)为奇函数，则(a，f(a)，(b，f(b)，一定在另一半图象上；若yf(x)是偶函数，则(a，f(a)，(b，f(b)，也一定在另一半图象上设出其解析式，利用待定系数法求解【例61】已知函数f(x)是定义在r上的偶函数，当x(，0)时，f(x)xx4；当x(0，)时，f(x)_.解析：方法一：由于是填空题，故可采用直接代换法，将x用x代替，即答案为xx4.方法二：设x(0，)，则x(，0)，则f(x)x(x)4xx4.yf(x)是偶函数，f(x)f(x)从而在区间(0，)上的函数表达式为f(x)xx4.答案：xx4【例62】若f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)x(2x)，求函数f(x)的解析式分析：解：f(x)是定义在r上的奇函数，f(x)f(x)，f(0)0.当x0时，x0，则f(x)x(2x)f(x)，f(x)x(x2)故辨误区 定义在r上的奇函数易忽略的结论f(x)在定义域内的解析式是分段给出的，要写成分段函数的形式，另外不要忽略当x0时，f(x)0.7函数的奇偶性与单调性的综合应用函数yf(x)的奇偶性与其单调性的关系：(1)如果函数yf(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a，b)(0ab)和(b，a)上具有“相同”的单调性证明：当f(x)在区间(a，b)上是增函数时，设bx1x2a，则ax2x1b.由于f(x)在区间(a，b)上是增函数，则有f(x1)f(x2)又函数yf(x)是奇函数，所以f(x1)f(x2)所以f(x1)f(x2)所以f(x)在区间(b，a)上也是增函数同理可证，当f(x)在区间(a，b)(0ab)上是减函数时，f(x)在区间(b，a)上也是减函数(2)如果函数yf(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a，b)(0ab)和(b，a)上具有“相反”的单调性证明略，与(1)的证明类似这样，就可以利用函数yf(x)的奇偶性与其单调性的关系解决有关问题了【例7】函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(2)0，求不等式fx(x1)0的解集