【志鸿全优设计】高中数学 第二章2.2 一次函数和二次函数讲解与例题 新人教B版必修1.doc

2.2一次函数和二次函数1一次函数的性质与图象(1)一次函数的概念函数ykxb(k0)叫做一次函数，又叫做线性函数；它的定义域为r，值域为r.一次函数ykxb(k0)的图象是直线，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距对一次函数的概念要注意以下三点：k0.若k0，则函数就成为常数函数x的最高次项次数为1.否则，也不是一次函数b为任意常数(2)一次函数的性质一次函数ykxb(k0)分类k0k0图象定义域rr一次函数ykxb(k0)值域rr单调性在(，)上递增在(，)上递减奇偶性b0时为奇函数，b0时既不是奇函数也不是偶函数特殊点与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，b)斜率k(x2x1)(3)图象的画法因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两个点，再连成直线即可(4)图象的特点正比例函数ykx的图象是经过原点(0,0)的一条直线一次函数ykxb的图象是经过y轴上点(0，b)的一条直线(5)画法技巧画正比例函数ykx的图象，通常取(0,0)，(1，k)两点，然后连线画一次函数ykxb的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b)，然后连线原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确但由于多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x和y都是整数的点谈重点 对截距b含义的理解(1)b的取值范围：br.(2)b的几何意义：直线ykxb与y轴的交点的纵坐标(3)点(0，b)是直线ykxb与y轴的交点当b0时，此交点在y轴的正半轴上；当b0时，此交点在y轴的负半轴上；当b0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数(4)截距与距离是两个不同的概念截距可正可负可以为零，但距离不可能为负【例11】一次函数ykxk，若y随x的增大而增大，则它的图象过()a第一、二、三象限b第一、三、四象限c第一、二、四象限 d第二、三、四象限解析：由题意知k0，所以k0，故ykxk的图象过第一、三、四象限答案：b【例12】函数的解析式为x2y70，则其对应直线的斜率与纵截距分别为()a b1，7c1， d解析：x2y70，斜率，纵截距，故选a.答案：a【例13】在同一直角坐标系内画出一次函数y2x1和y2x1的图象解：列表x00.5y10x00.5y10描点(0,1)，(0.5,0)，(0,1)，(0.5,0)连线，即得y2x1和y2x1的图象，如图【例14】已知一次函数的图象经过a(3,5)和b(4，9)两点，求该一次函数的解析式分析：一次函数的图象是一条直线，可设解析式为ykxb(k0)，又因为其图象过a，b两点，所以a，b两点的坐标适合方程，由此解出k和b.解：设这个一次函数的解析式为ykxb(k0)当x3时，y5；当x4时，y9，得7k14，k2.把k2代入，得b1.这个一次函数的解析式为y2x1.2二次函数的定义函数yax2bxc(a0)叫做二次函数，它的定义域是r.特别地，当bc0，则函数变为yax2(a0)点技巧 学习二次函数的定义应注意的两点(1)对二次函数的定义，要特别注意a0这个条件函数yax2bxc只有在a0的条件下才是二次函数，且x的最高次数是2，b，c可取任意实数(2)任何一个二次函数的解析式都可化成yax2bxc(a0)的形式，因此把yax2bxc(a0)叫做二次函数的一般形式3二次函数的图象变换及参数a，b，c，h，k对其图象的影响(1)函数yx2和yax2(a0)的图象之间的关系二次函数yax2(a0)的图象可由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到，参数a的取值不同，函数及其图象也有区别，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小当a0时，二次函数yax2的图象开口向上，当a0时，图象开口向下而且，当a0时，a的值越大，函数yax2的图象开口越小，a的值越小，函数yax2的图象开口越大；当a0时，a的值越小，函数yax2的图象开口越小，a的值越大，函数yax2图象开口越大也就是说，|a|越大，抛物线的开口越小；反之，|a|越小，抛物线的开口越大(2)函数yax2和ya(xh)2k(a0)的图象之间的关系函数ya(xh)2k(a0)的图象可以由函数yax2(a0)的图象向左(h0)或向右(h0)平移|h|个单位长度，再向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位长度得到h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”可简记为“左加右减，上加下减”由于只进行了图象的平移变换，所以函数ya(xh)2k(a0)的图象与函数yax2(a0)的图象形状相同，只是位置不同(3)函数yax2和yax2bxc(a0)的图象之间的关系二次函数yax2bxc(a0)通过配方可以得到其恒等形式ya(xh)2k(a0)，从而可以知道，由yax2的图象如何平移就得到yax2bxc(a0)的图象在二次函数yax2bxc(a0)，即ya2(a0)中，二次项系数a决定着函数图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b和a共同决定抛物线的对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线x，它是一条平行于y轴或与y轴重合的直线；a，b，c共同决定抛物线顶点的位置，c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置，当c0时，抛物线经过坐标原点，当c0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，当c0时，交点在y轴的负半轴【例31】(1)由y2x2的图象，如何得到y2(x1)23的图象？(2)把y2x2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图象？(3)将函数y4x22x1写成ya(xh)2k的形式，并说明它的图象是由y4x2的图象经过怎样的变换得到的？解：(1)把y2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y2(x1)23的图象(2)把y2x2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y2(x3)24，即y2x212x22的图象(3)y4x22x1.把y4x2的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，就可得到函数y4x22x1的图象【例32】(1)在同一坐标系中作出下列函数的图象：yx2；yx22；y2x24x.(2)分析如何把yx2的图象变换成y2x24x的图象分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图象，然后利用图象以及二次函数的平移变换规律分析yx2与y2x24x的图象之间的关系解：(1)列表：x3210123yx29410149yx227212127y2x24x301660206描点、连线即得相应函数的图象，如图所示(2)y2x24x2(x22x)2(x22x11)2(x1)22.由yx2到y2x24x的变化过程如下方法一：先把yx2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y2x2的图象，然后把y2x2的图象向下平移2个单位长度得到y2x22的图象，最后把y2x22的图象向右平移1个单位长度得到y2(x1)22，即y2x24x的图象方法二：先把yx2的图象向右平移1个单位长度得到y(x1)2的图象，然后把y(x1)2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y2(x1)2的图象，最后把y2(x1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y2(x1)22，即y2x24x的图象析规律 二次函数图象的变换规律所有二次函数的图象均可以由函数yx2的图象经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤常用的变换步骤如下：yx2yax2yax2kya(xh)2k，其中a决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h决定左、右平移，k决定上、下平移【例33】已知二次函数f(x)ax2bxc与函数y2x23x有相同的开口方向和大小，与函数yx2x1有相同的对称轴，与函数y4x2x1在y轴上有相同的交点(1)求f(x)(2)由yx2的图象能得到f(x)的图象吗？分析：(1)根据a，b，c对f(x)的图象影响，由y2x23x确定a，由yx2x1确定b，由y4x2x1确定c；(2)由yx2的图象得f(x)的图象要分步骤：yx2yax2ya(xh)2ya(xh)2k，因此先将f(x)的解析式化为f(x)a(xh)2k的形式解：(1)f(x)与y2x23x有相同的开口方向和大小，a2.f(x)与函数yx2x1有相同的对称轴，.又a2，b1.f(x)与函数y4x2x1在y轴上有相同的交点(0，1)，c1.f(x)2x2x1.(2)f(x).将函数yx2图象上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数y2x2的图象；将函数y2x2的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，即函数y2x2x1的图象析规律 二次函数的图象变换应先配方解决本题的关键是明确a，b，c对函数yax2bxc(a0)图象的影响以及利用配方法将yax2bxc化为ya(xh)2k的形式，这是一项基本要求，往往由于配方过程中出现错误导致后面解答全部错误4二次函数的性质二次函数f(x)ax2bxc可以通过配方转化为f(x)a2，结合图象观察得到其主要性质，如下表：函数二次函数yax2bxc(a0)图象a0a0函数二次函数yax2bxc(a0)性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(2)对称轴是直线x，顶点坐标是(2)对称轴是直线x，顶点坐标是(3)在区间上是减函数，在区间上是增函数(3)在区间上是增函数，在区间上是减函数(4)抛物线有最低点，当x时，y有最小值，ymin(4)抛物线有最高点，当x时，y有最大值，ymax由上表可以看出，函数的性质就是函数图象特征的具体描述，因此可借助于图象特征来理解记忆二次函数的主要性质以上大部分性质在初中都已了解，新增加的是单调区间，所以，教科书首先通过图象观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明，用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过【例41】分别指出下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴方程，写出函数的单调区间及最大值或最小值：(1)yx24x9；(2)y2x24x3.分析：首先将所给的二次函数解析式配方化成顶点式，然后利用图象研究其性质解：(1)yx24x9(x2)25，由于x2的系数是正数，所以函数图象开口向上；顶点坐标为(2,5)；对称轴方程为x2；函数在区间(，2上是减函数，在区间2，)上是增函数；函数有最小值，没有最大值，函数的最小值是5.(2)y2x24x32(x1)21，由于x2的系数是负数，所以函数图象开口向下；顶点坐标为(1，1)；对称轴方程为x1；函数在区间(，1上是增函数，在区间1，)上是减函数；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是1.谈重点 配方法的重要作用配方法是研究二次函数最值及对称性、顶点坐标等的基本方法，在探究出二次函数yax2bxc(a0)的对称轴以后，其图象的对称性及其单调性可直观的反应在大脑中，解题中应注意多总结这些性质，以便拓展自己的思维空间【例42】抛物线y8x2(m1)xm7的顶点在x轴上，则m_.解析：因为抛物线y8x2(m1)xm7的顶点在x轴上，所以其顶点的纵坐标，即m230m2250，所以(m15)20，所以m15.答案：15点技巧 牢记二次函数的性质是关键抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标为，当顶点在x轴上时，其纵坐标0；当顶点在y轴上时，其横坐标0.【例43】若函数yx22(a1)x2在(，4上是减函数，则a的取值范围是()a(，3b3，)c(，5 d5，)解析：易知函数yx22(a1)x2是二次函数，其图象的开口向上，对称轴是直线x1a，此函数在区间(，1a上是减函数，若函数在(，4上是减函数，则1a4，所以a3.答案：a5二次函数解析式的求法求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，用待定系数法求之(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式yax2bxc(a，b，c为常数，a0)，然后列出三元一次方程组求解(2)当已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式ya(xh)2k(其顶点是(h，k)，a0)(3)当已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为交点式ya(xx1)(xx2)(a0)【例51】如图，坐标系中抛物线是函数yax2bxc的图象，则下列式子能成立的是()aabc0 bbaccabc0 d2c3b解析：图中出现的点(1,0)和(1,0)要注意观察a中，抛物线开口向下，a0.抛物线与y轴的交点(0，c)在x轴上方，c0.又，b0.abc0.因此a是错误的b中，当x1时，y0(抛物线上横坐标为1的点在x轴下方)，abc0(把x1代入函数得ya(1)2b(1)cabc)，bac.因此b是错误的c中，抛物线上横坐标为1的点在x轴上方，即y0，又当x1时，函数ya12b1cabc，abc0.因此c是错误的d中，由上得bac.又，.2c3b.因此d正确答案：d【例52】已知二次函数的图象的顶点坐标是(1，3)，且经过点p(2,0)，求这个函数的解析式分析：本题已知图象上两点的坐标(1，3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式yax2bxc(a0)似乎差一个条件，但注意到点(1，3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于a，b，c的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，3)，也可设二次函数的顶点式ya(x1)23(a0)，只需将点p(2,0)的坐标代入，即可求出a；若看到p(2,0)点是图象与x轴的交点，利用对称性即可求出图象与x轴的另一个交点，设二次函数的交点式ya(xx1)(xx2)也能求解解：(方法1)设所求函数的解析式为yax2bxc(a0)，由题意，得解得所求函数的解析式为y3x26x.(方法2)设所求函数的解析式为ya(x1)23(a0)，由图象经过点p(2,0)，得a(21)230，解得a3.所求函数的解析式为y3(x1)23，即y3x26x.(方法3)二次函数的图象的顶点坐标为(1，3)，其对称轴为直线x1.又图象与x轴的一个交点坐标为p(2,0)，由对称性可知，图象与x轴的另一个交点坐标为(0,0)可设所求函数的解析式为ya(x0)(x2)(a0)图象的顶点坐标是(1，3)，a(10)(12)3，解得a3.所求函数的解析式为y3x(x2)，即y3x26x.析规律 由二次函数的图象与x轴的交点求解析式若二次函数yf(x)的图象与x轴的两个交点坐标为(x1,0)和(x2,0)，则其对称轴方程为x，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与x轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标6二次函数图象的草图画法画二次函数的图象时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图象更精确【例6】画出函数y2x24x6的草图解：y2x24x62(x22x)62(x22x11)62(x1)2162(x1)28.函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线x1.令y0，得2x24x60，即x22x30，解得x1或x3，故函数图象与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)画法步骤：描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，8)，(1，0)，(3,0)，画出直线x1；连线：用光滑的曲线连点(1，8)，(1，0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x1对称，即得函数y2x24x6的草图，如图所示7待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法待定系数法求解析式的基本步骤如下：(1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决【例7】若f(x)为一次函数，且满足ff(x)12x，则f(x)的解析式为_解析：已知f(x)为一次函数，可以使用待定系数法设f(x)kxb(k0)，则ff(x)f(kxb)k(kxb)bk2xkbb，利用对应系数相等即可求得，或，.答案：或8给定区间上二次函数的最值或值域的求法求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图象确定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得一般地，二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值有下列四种情况：(1)当p，即对称轴在区间p，q的左边时，画出草图如图，从图象上易得f(x)在p，q上是增函数，则f(x)minf(p)，f(x)maxf(q)(2)当p，即对称轴在区间p，q的左端点与区间中点之间时，画出草图如图.从图象上易得f(x)在p，q上的最值情况是f(x)minf，f(x)maxf(q)(3)当q，即对称轴在区间p，q的中点与右端点之间时，画出草图如图.从图象上易得f(x)在p，q上的最值情况是f(x)minf，f(x)maxf(p)(4)当q，即对称轴在区间p，q的右边时，画出草图如图.从图象上易得f(x)在p，q上是减函数，则f(x)minf(q)，f(x)maxf(p)【例8】已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)用a表示出函数在5,5上的最值；(3)求实数a的取值范围，使yf(x)在5,5上是单调函数分析：f(x)x22ax2(xa)22a2.(1)当a1时，由于对称轴x1在区间5,5内，则由图象知函数f(x)的最大值是f(5)，最小值是f(1)；(2)中对称轴xa，要根据对称轴与区间5,5的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论；(3)切入点是单调函数，结合图象可知对称轴不能在区间5,5内部，因此也要讨论对称轴的位置解：(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，当x1时，f(x)取得最小值，即f(x)minf(1)1.当x5时，f(x)取得最大值，即f(x)maxf(5)(51)2137.所以函数f(x)的最大值为37，最小值为1.(2)函数yf(x)(xa)22a2图象的对称轴为xa.当a5，即a5时，函数在区间5,5上是增函数，所以f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(5)2710a；当5a0，即0a5时，f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；当0a5，即5a0时，f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；当a5，即a5时，函数在区间5,5上是减函数，所以f(x)minf(5)2710a，f(x)maxf(5)2710a.故当a5时，f(x)max2710a，f(x)min2710a；当0a5时，f(x)max2710a，f(x)min2a2；当5a0时，f(x)max2710a，f(x)min2a2；当a5时，f(x)max2710a，f(x)min2710a.(3)由(2)可知若函数f(x)在区间5,5上是单调函数，则有a5或a5.释疑点 如何在给定区间求二次函数的最值或值域当函数的解析式中含有参数或给定的区间不固定时，求二次函数在此区间上的最值，应按开口方向或对称轴与所给区间的相对位置进行正确合理的讨论，一要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大9一元二次方程与二次函数的关系一元二次方程与二次函数的关系是方程与函数关系的特例，是研究函数与方程关系的典范一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是相应的二次函数yax2bxc的函数值为0时的自变量x的值，从图象上看，就是抛物线与x轴交点的横坐标当一元二次方程的判别式0时，方程有两个不相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，其解析式又可写成两根式的形式：ya(xx1)(xx2)，抛物线与x轴的两个交点间的距离|x2x1|.当0时，方程有两个相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x轴只有一个公共点；当0时，方程没有实数根，此时对应的二次函数的图象与x轴没有交点当a0时，它们之间的关系如下图所示：0 0 0求解一元二次方程根的问题，一般使用求根公式或根与系数的关系，但有些问题用这种方法解决比较繁琐，甚至无法求解，此时若借助于二次函数，并借助于图象，则问题会转化为易于理解和表