山东省滨州市无棣县埕口中学七年级数学《三角形》知识解析.doc

山东省滨州市无棣县埕口中学七年级数学三角形知识解析【知识网络】三角形三角形的内角和与三角形有关的线段三角形的边三角形的高三角形的中线三角形角平分线三边关系三角形稳定性三角形的外角和多边形多边形边、角和对角线多边形的内角和正多边形多边形的外角和【知识梳理】一、与三角形有关的线段1、理解三角形的有关概念（1）定义：由不在同一直线上的三条线段所组成的图形叫做三角形.acb（图1）在此定义中，要特别注意“不在同一直线abc（图2）abc上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”这三个条件，缺一不可. 如图1，在线段ab上取一点（除端点）c，那么三条线段ac、cb和ab是首尾顺次相接的，但它们却没有构成三角形.（2）组成：如图2，三条边，即边ab、边bc、边ca；三个内角，即a、b、c；三个顶点，即点a、点b、点c.（3）表示法：“三角形”用符号“”表示，如图2，顶点是a、b、c的三角形，记作“abc”，读作“三角形abc” .另外，abc的三边，有时也用a、b、c来表示，如图1，顶点a所对的边bc用a表示，边ac、边ab分别用b、c来表示.（4）三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，即如图2，ab c，ac b，bc a. 用其关系来判断三条线段能否组成三角形，判断时可直接检查较小的两边的和是否大于第三边，即若a b c时，则 b + c a即可.（5）三角形的分类（1）按角分类：三角形（2）按边三类： abc（图3）d2、明确三角形内的三条重要线段及特性（1）概念：三角形的高：如图3，从abc的顶点aabc（图4）d向它的对边bc所在的直线画垂线，垂足为d，所得线段ad叫做abc的边bc上的高.如图3，线段ad是bc边上的高，即 ，垂足为 .三角形的中线：如图4，连接abc的顶点a和它所对的边bc的中点d，所得线段ad叫做abc的边bc上的中线.如图4，线段ae是bc边上的中线，即 = = .abc（图5）e三角形的角平分线：如图5，画a的平分线ad，交a所对的边bc于点d，所得线段ad叫做abc的角平分线. 如图5，线段ad是bac的角平分线，即 = = .（2）特性：三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条高所在的直线交于一点. （图6）做一做：分别作直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的三条高、中线、角平分线，考查一下你的作图能力，又会发现什么特点？3、了解三角形的稳定性（1）将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后把它扭动，它的形状不改变，我们就称这个性质为三角形的稳定性. 如图6所示.（2）将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后把它扭动，它的形状发生改变，我们就称这个性质为四边形的不稳定性. 如图7所示.（图7）三角形的稳定性与四边形的不稳定性各有各的应用之处. 请你列举几个实际生活中例子.二、与三角形有关的角abc（图8）1、三角形的内角和三角形的内角和为180.如图8所示,abc =180.直角三角形的两锐角互余；已知三角形的两个内角可求第三个内角；已知三角形的三个角的比值，可求三角形的三个角度数.abc（图9）d2、三角形的外角（1）三角形的外角的定义：三角形中的一边与相邻一边的延长线构成的角叫三角形的外角. 如图9中acd就是abc的一个外角.（2）三角形的外角和：三角形的外角和为360.（3）三角形的内外角的关系：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.如9所示，acd =abcbac.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如9所示，acd abc或acd bac. 三、多边形及其内角和1、多边形（1）多边形的定义：在同一平面内，有一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件，其目的是为了排除几个点不共面的情况，即空间多边形.abcde（图10）（2）多边形的分类：多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形. 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 其中，三角形是最简单的多边形.如图10所示的多边形记作五边形abcde.f（3）多边形的边：所连接的线段叫做多边形的边. 如图1中的ab、bc、cd、de、ea都是五边形abcde的边.（4）多边形的角：（1）内角：多边形相邻的两边所组成的角叫做多边形的内角，如图10中的eab、abc、bcd、cde、dea都是五边形abcde的内角；（2）外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角，如图10中的dcf是五边形abcde的一个外角.（5）多边形的对角线：多边形不相邻的两个顶点的连线组成的线段叫做多边形的对角线. 如图10中，ac、ad是五边形abcde的两条对角线.n边形从一个顶点可以引（n3）条对角线，把n边形分成（n2）个三角形，n边形内对角线的条数为.（6）凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形.2、多边形的内角和及外角和（1）多边形的内角和多边形的内角和：n边形内角和等于(n2)180.多边形的内角和的推导方法有很多，但都是将多边形问题转化为三角形问题来解决的，即利用多边形对角线或对角线的一部分，可以把多边形分割成若干个小三角形，再通过三角形的内角和推导出多边形的内角和. 这种转化是化归思想的体现，也是解决多边形问题的基本思想.下面提供三种方法：（图11）（图13）（图12）方法一：教材中所提供的方法如图11所示，以多边形的某一个顶点为端点，与其他顶点相连接构成多边形的对角线，把多边形分割成（n2）个小三角形.方法二：如图12所示，在n边形中，取某边上一点（非顶点）为端点，与其他顶点相连，把多边形分割成（n1）个小三角形.方法三：如图13所示，在n边形的内部任取一点，与多边形的各顶点相连，把多边形分割成n个小三角形.请同学们自己推到. （2）多边形的外角和多边形的外角：指的是取多边形每一个顶点处的一个外角相加的和.多边形的外角和为360. 多边形的外角和是一个定值，与边数的多少无关.3、正多边形（1）正多边形：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形.（2）正三角形、正方形、正五边形、正六边形，它们的内角分别为60、90、108、120.【典题精析】例1（2006年盐城市）已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（ ）a3；b5；c7；d9.解析：根据三角形的三边关系知，54x45，即1x2；答案d中由同角的余角相等，可判断1=2. 故应选c.例6（2006年无锡市）如图所示，图中1= .解析：由“三角形的内外角的关系” 知，abepfcd501 =10050=50.例7（2006年浙江省）已知：如图，直线abcd，直线ef分别交ab，cd于点e，f，bef的平分线与dfe的平分线相交于点p求证：p=90解析：因为ep、fp分别为bef、dfe的平分线（已知），所以pef=bef，pfe=dfe（角平分线的定义）.又因为abcd（已知），所以befdfe=180（两条直线平行，同旁内角互补）.由三角形内角和等于180，得ppefpfe =180，所以p=180befdfe=18