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空间向量的数乘运算 1 空间向量加法运算满足 和 2 以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算 所谓平面向量的数乘运算就是 实数 与平面向量a的乘积 a仍然是一个 还学过平面中两向量共线的充要条件 其具体内容为 在平面内存在 使得 成立 结合律 交换律 向量 惟一实数 a b b 0 1 空间向量的数乘运算 1 定义 实数 与空间向量a的乘积 a仍然是一个 称为向量的数乘运算 2 向量a与 a的关系 向量 相同 相反 倍 a b a a 2 共线向量与共面向量 1 共线向量定义 表示空间向量的有向线段所在的直线 则这些向量叫做 或平行向量 充要条件 对于空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使 2 共面向量定义 平行于 的向量叫做共面向量 充要条件 若两个向量a b不共线 则向量p与a b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对 x y 使 共线向量 同一个平面 a b p xa yb 2 空间的两非零向量a b共面 能否推出a b R 提示 不能推出a b 因空间中任意两向量都共面 a b共面未必有a b 则不一定有a b 提示 能判定P A B共线 空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算没有什么区别 只是将适用范围由平面推广到了空间 运算要正确地使用向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则 以及准确使用运算律 思路点拨 解答本题需准确画图 先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量 再根据对应向量的系数相等 求出x y的值即可 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x 使a xb成立 或充分利用空间向量的运算法则 结合具体的图形 通过化简 计算得出a xb 从而得出a b即a与b共线 证明三个向量共面的常用方法 1 设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合 2 寻找平面 证明这些向量与平面 平行 思路点拨 利用向量共面的充要条件或向量共面的定义来证明 1 下列命题中正确的个数是 若a与b共线 b与c共线 则a与c共线 向量a b c共面即它们所在的直线共面 若a b 则存在惟一的实数 使a b A 1B 2C 3D 0 解析 中若b 0 则a与c不一定共线 中共面向量的定义是平行于同一平面的向量 表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面 中若b 0 a 0 则不存在 答案 D 答案 C 1 向量共线的充要条件及其应用 1 空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样 当我们说a b共线时 表示a b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线 也可能是平行直线 当我们说a b时 也具有同样的意义 2 共线 这个概念具有自反性 a a 也具有对称性 即若a b 则b a 3 如果应用上述结论判断a b所在的直线平行 还需说明a 或b 上有一点不在b 或a 上 2 共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式 即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量
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