第4章 热传导问题的数值解法.ppt

第4章热传导问题的数值解法 4 1导热问题数值求解的基本思想4 2内节点离散方程的建立方法4 3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解4 4非稳态导热问题的数值解法 4 1导热问题数值求解的基本思想 4 1 1基本思想 4 1 2导热问题数值求解的基本步骤 返回 数值解 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场分布数值解获取方法 通过求解按一定方法建立起来的关于离散点上所求物理量的代数方程组 来获得离散点上所求物理量的数值 4 1 1基本思想 返回 1 建立所求问题的数学描述2 确定导热体内的离散节点 区域离散化 3 建立节点物理量的代数方程4 设立温度场的迭代初值5 求解代数方程组6 解的分析 4 1 2导热问题数值求解的基本步骤 1 数学描述 二维矩形区域内的稳态 无内热源 常物性导热问题 网格划分 用一系列与坐标轴平行网格线把求解区域划分成许多子区域 节点 网格线的交点 是需要确定温度值的空间位置 分内节点和外节点两大类步长 相邻两节点间距离 x和y方向可不相等 在一个方向步长也可不均匀控制容积 节点代表的区域 由相邻两节点连线的中垂线构成 也叫元体界面 控制容积的边界 均分网格 2 区域离散化 3 建立节点物理量的代数方程关于节点物理量的代数方程也称离散方程 建立离散方程是数值求解过程中的重要环节 包括计算区域内部和外部节点的离散方程 是本章的重点内容 返回 4 设立温度场的迭代初值节点代数方程组的求解一般采用迭代法 这时需要对被求解的温度场预先假定一个初始温度分布 称为初场5 求解代数方程组选用能够得到收敛解的代数方程组求解方法6 解的分析对数值解的结果进行分析 得到有用的结论以指导生产和设计 4 2内节点离散方程的建立方法 4 2 1Taylor级数展开法 包括Taylor级数展开法和热平衡法 4 2 2热平衡法 热力学第一定律 返回 两式相加得 4 2 1Taylor级数展开法 对节点 m 1 n 和节点 m 1 n 分别写出t对节点 m n 的Taylor级数展开 首先推导温度在x方向二阶导数的代数表达式 略去截断误差 得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式 同理 得温度在y方向二阶导数的中心差分表达式 将差分表达式代入控制方程 如果 得 则有 在均分网格中 一 二阶导数常见的差分表达式如下表所示 返回 4 2 2热平衡法 热力学第一定律 n e w s 热平衡法不是在控制方程的基础上进行离散 而是直接对元体应用热力学第一定律和傅里叶定律 从而得到该节点温度的离散方程 二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热问题 对元体 m n 列出能量守恒方程 从元体西界面导入的热量为 从元体东界面导入的热量为 从元体南界面导入的热量为 从元体北界面导入的热量为 n e w s 将各表达式代入对元体 m n 能量守恒方程得 整理得 所得结果与Taylor级数法结果相同 采用热平衡法建立节点的离散方程 物理概念清晰 推导过程简单 并且对于建立边界节点的离散方程也能适用 需要很好的掌握 返回 4 3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 4 3 1边界节点离散方程的建立 4 3 2处理不规则区域的阶梯型逼近法 不要求 4 3 3求解代数方程的迭代法 返回 边界节点的离散方程的形式与边界条件的类型有关一 第一类边界条件情形 4 3 1边界节点离散方程的建立 如果所有边界均为第一类边界条件类型 由于此时边界温度值为已知 所有内节点的离散方程组成了一个封闭的代数方程组 可以封闭求解 因此这种情形边界节点不需要离散方程 此时边界温度值未知 需建立边界节点温度的离散方程 设边界热流密度为qw 并且导热体内有内热源 下面采用元体能量平衡法来建立边界节点温度的离散方程 如 二 第二类边界条件情形 1 平直边界上的节点 边界节点 m n 代表的区域为半个普通大小元体 对该半个元体应用能量平衡 稳态情形 则有 2 边界上的外部角点 边界节点D代表的区域为1 4个普通元体大小的面积 对该外部节点元体应用能量平衡 如 则有 3 边界上的内部角点 边界节点F代表的区域为3 4个普通元体大小的面积 对该外部节点元体应用能量平衡 如 则有 三 第三类边界条件情形 将该热流密度的表达式代入第二类边界条件中 可得第三类边界条件下边界节点的离散方程 对于 x y的情形 有 平直边界节点 内部角点 外部角点 返回 4 3 2处理不规则区域的阶梯型逼近法 不要求掌握 返回 4 3 3求解代数方程的迭代法 代数方程组的求解方法分为直接解法 高斯消元法等 和迭代法 本书仅介绍迭代法中的高斯 赛德尔迭代法 下面以简单的三元方程组为例说明该方法的步骤 1 将方程组改写成关于t1 t2 t3的显式形式 即迭代方程 1 高斯 赛德尔迭代法 2 假设一组解 即迭代初场 记为t1 0 t2 0 t3 0 由迭代公式逐一计算出改进值t1 1 t2 1 t3 1 每次计算均用t的最新值代入 3 以计算所得之值作为初场 重复上述计算 直到相邻两次迭代值之差小于允许值 此时称为已经达到迭代收敛 迭代计算终止 2 迭代过程是否已经收敛的判据 判断迭代是否已经收敛的判据常用的有三种 允许的相对偏差 之值一般在10 3 10 6之间 视具体情况而定 3 迭代过程能否收敛的判据 对于常物性导热问题所组成的差分方程组 迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值之和 此时用迭代法求解代数方程一定收敛 该条件在数学上称为主对角线占优 返回 4 4非稳态导热问题的数值解法 4 4 1时间 空间区域的离散化 相比稳态问题 在非稳态导热微分方程中多了非稳态项 因此需要学习非稳态项的离散方法 扩散项的离散方法与前者相同 4 4 2非稳态导热问题离散的显式格式 4 4 3非稳态导热问题离散的隐式格式 4 4 4边界节点的离散方程 4 4 5非稳态导热显式格式离散方程组及稳定性分析 返回 以一维非稳态导热问题为例 介绍非稳态导热问题的离散化 在空间 时间坐标系中对所研究的空间区域和时间区域进行离散 时间坐标 分成I 1等份 为时间步长 空间网格线与时间网格线的交点 n i 代表了时间 空间区域中的一个节点位置tn i 4 4 1时间 空间区域的离散化 空间坐标x分成N 1等份 x为空间步长 采用泰勒级数展开 得温度在节点 n i 处的非稳态项一阶导数的三种差分格式 向前差分 向后差分 中心差分 上述三种非稳态项差分格式都有应用 本书主要以向前差分格式为主 返回 直角坐标系一维非稳态常物性无内热源第三类边界条件导热数学描述为 上述离散方程一旦i时层各节点温度已知 每一个离散方程中只有一个未知量 因此可以立即求出i 1时层上各内部节点的温度 而不必联立求解方程组 这种离散方程的计算格式称为显式差分格式显式格式的优点是计算量小 但时间和空间步长不能太大 存在求解不稳定问题 4 4 2非稳态导热问题离散的显式格式 对该方程 扩散项在i时刻采用中心差分格式 非稳态项取向前差分格式进行离散 得 控制方程 返回 对该方程 扩散项在i 1时刻采用中心差分格式 非稳态项取向前差分格式进行离散 得 上述离散方程中在i时层各节点温度已知时 方程中有三个i 1时层上的位置温度 因此需联立求解方程组 这种离散方程的计算格式称为隐式差分格式隐式格式的缺点是计算工作量大 但它对时间和空间步长无限制 不存在求解不稳定问题 4 4 3非稳态导热问题离散的隐式格式 返回 4 4 4边界节点的离散方程 同稳态问题类似 非稳态导热问题的离散也可采用元体能量平衡法 下面以边界节点的离散方程为例介绍 一无限大平板的右边界部分为第三类边界条件 对边界节点N建立其离散方程 边界节点N代表宽度为x 2的元体 对该元体应用能量平衡进行分析 整理得 引入特征数 由于上述特征数的特征尺度为网格宽度 故称网格傅里叶数和网格毕渥数 边界节点的离散方程可以写成 内节点的显式离散方程可以写成 返回 4 4 5非稳态导热显式格式离散方程组及稳定性分析 直角坐标系一维非稳态常物性无内热源两边第三类边界条件导热问题 根据对称性取一半分析 其数学描述为 右侧边界节点 左侧边界节点 初始条件 控制方程 数学描述的显式离散方程为 右侧边界节点 内节点 左侧边界节点 初始条件 对于前述显式格式离散方程 要保证求解过程稳定性应满足以下要求 对内部节点 对第三类边界条件的外部节点 对第一 二类边界条件的外部节点 无稳定性限制 即 返回 例题讲解 请列出下图所示直径为d的圆截面直肋的一维稳态 无内热源 常物性导热问题内节点2的离散方程式 导热系数为 肋高方向的步长为 x 对节点2 列热平衡式 即 第二章作业讲评 2 1基本无问题 一维稳态无内热源导热问题 可用热阻分析法求解 2 3基本无问题 一维稳态无内热源导热问题 可用热阻分析法求解 热阻串联 2 15柱坐标系下的一维非稳态无内热源导热问题 可用热阻分析法 热阻串联 当半径较小时 不能采用平壁的有关公式计算 当增加煤灰泡沫砖的厚度时 一般情况热损失会减小 交界面处温度会降低 要用到临界热绝缘直径的概念 2 16基本无问题 柱坐标系的一维稳态无内热源导热问题2 23保温材料的导热是一维稳态无内热源导热问题 球壳导热与外表面对流传热两个传热环节串联 外表面的复合换热表面传热系数包含了对流和辐射两种传热方式的影响 第二章作业讲评 2 30属于变截面常导热系数的一维稳态无内热源导热问题 需要根据热力学第一定律和傅里叶导热定律建立起温度控制方程 然后进行求解 导热体内温度分布曲线也应会定性画出 2 34属于等截面变导热系数的一维稳态无内热源导热问题 需要根据热力学第一定律和傅里叶导热定律建立起温度控制方程 然后进行求解 导热体内温度分布曲线形状对于t1 t2和t1 t2两种情况应分别画出 可以只将平板水平在水平方向改变方向即可得出 2 39变截面积 变导热系数 有内热源 侧面可以有对流传热的一维稳态导热问题 需要取微元体对其列出热力学第一定律表达式 然后代入各项表达式2 53方法同例题2 6 只不过该题已知肋端的无量纲过余温度 H 0 需要确定肋长H 导热部分要求 整个导热部分 对一些重要概念 公式及特征数要求熟练掌握 会利用所讲的知识定性分析一些与导热有关的生活或工程问题 稳态导热部分中 具有内热源的导热及变截面变导热系数导热问题是要求掌握的 肋片部分求解方法不要求 结果公式不要