【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习 精选第一部分 25个必考问题 专项突破《必考问题3 导数及其应用》（命题方向把握+命题角度分析含解析） 苏教版.doc

必考问题3导数及其应用【真题体验】1(2012广东，12)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_解析利用导数的几何意义求切线方程y3x21，y|x131212.该切线方程为y32(x1)，即2xy10.答案2xy102(2012南京、盐城模拟，9)函数f(x)(x2x1)ex(xr)的单调减区间为_解析f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x2)ex0，解得2x1，故函数f(x)的减区间为(2，1)答案(2，1)(或闭区间)3(2012大纲全国理，10改编)已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c的值为_解析利用导数求解y3x23，y0时，x1.则x，y，y的变化情况如下表x(，1)1(1,1)1(1，)y00yc2c2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或2.答案2或24(2011广东)函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析由题意得f(x)3x26x3x(x2)当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，故当x2时取得极小值答案25(2011福建文，10改编)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于_解析f(x)12x22ax2b，又x1是极值点f(1)122a2b0，即ab6.ab9.当且仅当ab时“”成立ab的最大值为9.答案9【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是b级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)导数的运算是导数应用的基础，要求是b级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是b级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度；(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是b级【应对策略】高考对本讲在考查形式上不会有大的变化，即填空题、解答题都会考查，填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及不等式结合，属于高考的中高档题导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力估计以后对导数的考查力度不会减弱作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.必备知识1导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率2利用导数判断函数的单调性设函数f(x)在区间(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)任意子区间内都恒不等于0，则f(x)0f(x)为增函数，f(x)0f(x)为减函数3利用导数求函数的极值与最值(1)求函数极值的步骤是：求导数f(x)；求方程f(x)0的根；检验f(x)在方程根左、右侧的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值(2)求函数在a，b上的最值步骤是：求函数f(x)在(a，b)内的极值；求f(x)在区间端点的函数值f(a)，f(b)；将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值特别地，极值唯一时，极值就是最值必备方法1函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f(x)0的必要不充分条件2可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点命题角度一导数的几何意义命题要点 求切线的倾斜角、斜率；求切线方程；已知切线方程，确定字母参数的取值【例1】 (2012徐州质检，8)若曲线y在x1处的切线与直线xby10垂直，则实数b的值为_审题视点 听课记录审题视点 导数的几何意义、平面上两条直线垂直的条件解析因为y，所以在x1处的切线斜率为3，又切线与xby10垂直，所以，解得b3.答案3 函数在某点处的切线斜率等于在该点的导数值，求导之后要注意代入的是切点横坐标，如果没有切点坐标，一般要设出切点坐标，再利用导数的几何意义求切线方程【突破训练1】 (2012南通期末调研)曲线c：yxln x在点m(e，e)处的切线方程为_解析根据导数的运算法则和导数的几何意义求出切线的斜率，再利用点斜式写出切线方程因为yln xxln x1，所以在点m处的切线的斜率为ln e12，所以在点m(e，e)处的切线方程为ye2(xe)，即为y2xe.答案y2xe命题角度二导数与函数单调性命题要点 已知函数，求单调区间；已知单调区间，求字母参数的取值范围【例2】 (2012南师附中模拟，12)已知函数f(x)loga(x3ax)(a0且a1)，如果函数f(x)在区间内单调递增，那么a的取值范围是_审题视点 听课记录审题视点 根据复合函数的单调性、导数在函数单调性中的应用解题解析由题意可知x3ax0，x恒成立，所以a(x2)max，即a.当a1时，需函数yx3ax在上递减，y3x2a0，x恒成立，所以a(3x2)max，故a1；当a1时，需函数yx3ax在上递增，y3x2a0，x恒成立，所以a(3x2)min，a0，舍去，综上a的取值范围是.答案 对于利用导数解法含有参数的单调问题时，一般是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的运用【突破训练2】 (2012苏州调研)函数y2ln x的单调减区间为_解析函数定义域为(0，)，又y0，解得x，故单调减区间为.答案命题角度三导数与函数极值、最值命题要点 已知函数，求极值或最值；已知极值或最值，求字母参数的取值范围【例3】 (2012南通调研)函数f(x)的值域是_审题视点 听课记录审题视点 应用导数在研究函数的最大值与最小值解析根据函数的奇偶性将函数在r上的值域转化为在0，)的值域，再利用导数知识研究函数的单调性、极值、最值等由题意可得函数f(x)是r上的奇函数，其图象关于原点对称所以先求0，)的值域因为f(x)，所以x0，1，f(x)0；x1，1，f(x)0；x1，)，f(x)0，且x1，)时，f(x)0恒成立，f(1)，f(1)，作出函数图象如图，所以f(x)在0，)的值域为，又由函数f(x)是奇函数，所以f(x)在r上的值域也为.答案 导数法是求函数值域的重要方法，对于比较复杂的函数值域，一般应用导数研究函数的单调性、极值情况，同时要注意函数的定义域、零点情况【突破训练3】 (2012扬州质量检测，10)已知函数f(x)的导函数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是_解析根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解因为f(x)在xa处取到极大值，所以xa为f(x)的一个零点，且在xa的左边f(x)0，右边f(x)0，所以导函数f(x)的开口向下，且a1，即a的取值范围是(1,0)答案(1,0)命题角度四导数的综合应用命题要点 应用导数研究函数单调性、极值、最值等，将导数内部的知识进行综合；将函数、方程与不等式等知识板块之间进行综合【例4】 已知函数f(x)ex(其中e为自然对数的底数)，g(x)xm(m，nr)(1)若t(x)f(x)g(x)，m1，求t(x)在0,1上的最大值；(2)若n4时方程f(x)g(x)在0,2上恰有两个相异实根，求m的取值范围；(3)若m，nn*，求使f(x)的图象恒在g(x)图象上方的最大正整数n.注意：7e2审题视点 听课记录解(1)m1时，t(x)ex(nr)，t(x)ex当n0时，t(x)ex0，t(x)在0,1上为增函数，则此时t(x)maxt(1)e；当n0时，t(x)ex，t(x)在上为增函数，故t(x)在0,1上为增函数，此时t(x)maxt(1)e；当n0时，t(x)ex，t(x)在上为增函数，在上为减函数，若01，即n2时，故t(x)在0，上为增函数，在上为减函数，此时t(x)maxte(1m)e，若1，即2n0时，t(x)在0,1上为增函数，则此时t(x)maxt(1)e；综上所述：t(x)max(2)f(x)f(x)g(x)ex2xm，f(x)ex2，故f(x)在(0，ln 2)上单调递减；在(ln 2，)上单调递增；故f(x)ex2xm在0,2上恰有两个相异实根故m的取值范围是(22ln 2,1)(3)由题设：xr，p(x)f(x)g(x)exx0(*)，因为p(x)ex故p(x)在上单调递减；在上单调递增；故(*)p(x)minpln0，设h(x)xxln15xx(ln xln 2)15，则h(x)1ln1ln，故h(x)在(0,2)上单调递增；在(2，)上单调递减；而h(2e2)2e22e2ln e215152e20，且h(15)1515ln1515150，故存在x0(2e2,15)使h(x0)0，且x2，x0)时h(x)0，x(x0，)时h(x)0，又h(1)16ln0,7e2，故nn*时使f(x)的图象恒在g(x)图象的上方的最大正整数n14； 导数作为解决函数问题的有力工具，越来越受到重视，应用导数可以求函数单调区间、函数极值与最值，解决步骤一般是先求定义域，再求导，再解不等式或方程，列表得出结论，很多情况还需要二次求导；解决不等式恒成立的一种重要方法是分离参数，但通过分离参数后所得的函数比较复杂时，则无法求函数最值或值域，这时就要从函数的角度分情况研究【突破训练4】 (2012南通期末调研)已知f(x)x44x3(3m)x212x12，mr.(1)若f(1)0，求m的值，并求f(x)的单调区间；(2)若对于任意实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围【突破训练4】 解(1)由f(x)4x312x22(3m)x12，得f(1)4122(3m)120，解得m7.所以f(x)4x312x220x124(x1)(x22x3)方程x22x30的判别式223480，所以x22x30恒成立所以令f(x)0，解得x1.列表如下：x(，1)1(1，)f(x)0f(x)单调减极小值单调增由此可得f(x)的单调减区间是(，1)，f(x)的单调增区间是(1，)(2)f(x)x44x3(3m)x212x12(x23)(x2)2(m4)x2.当m4时，f(2)4(m4)0，不合题意；当m4时，f(x)(x23)(x2)2(m4)x20.对一切实数x恒成立所以，m的取值范围是4，)命题角度五导数在实际问题中的应用命题要点 试题模式固定化，先建立函数模型，再应用导数研究函数模型中的最值问题【例5】 (2011江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，abcd是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得abcd四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e、f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设aefbx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积s(cm2)最大，试问x应取何值？(2)若广告商要求包装盒的容积v(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值审题视点 听课记录审题视点 根据数量关系建立目标函数，利用导数研究函数的最值问题解利用侧面积计算公式建立面积函数关系式，利用二次函数知识求最值；利用柱体的体积公式建立体积函数关系，利用导数求最值设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)s4ah8x(30x)8(x15)21800，所以x15 cm时s取得最大值；(2)va2h2(x330x2)，v6x(20x)由v0，得x0(舍)或x20.当x(0,20)时，v0；当x(20,30)时，v0.所以当x20时，v取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为. 这类问题主要考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力解题过程大致分两步：第一，将实际问题转化为数学模型；第二，利用对应的工具、方法解决这一模型【突破训练5】 (2012徐州质检)现有一张长为80 cm，宽为60cm的长方形铁皮abcd，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失如图，若长方形abcd的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为v(cm3)(1)求出x 与 y 的关系式；(2)求该铁皮盒体积v的最大值解(1)由题意得x24xy4 800，即y，0x60.(2)铁皮盒体积v(x)x2yx2x31 200x，v(x)x21200，令v(x)0，得x40，因为x(0,40)，v(x)0，v(x)是增函数；x(40,60)，v(x)0，v(x)是减函数，所以v(x)x31 200x，在x40时取得极大值，也是最大值，其值为32 000 cm3.所以该铁皮盒体积v的最大值是32 000 cm3.3区分清楚“在”与“过”、极值点与导函数等于0的解一、要理清“在某点处的切线”与“过某点的切线”的区别【例1】 已知曲线yx3，则曲线过点(2,4)的切线方程为_解析设曲线yx3与过点(2,4)的切线且相切于点，则切线的斜率为x，切线方程为yx(xx1)，整理得yxxx，又因为点(2,4)在切线上，所以42xx，即x3x40，解得x11或2，所求切线方程为4xy40或xy20.答案4xy40或xy20老师叮咛：将“在某点处的切线”与“过某点的切线”混淆，“在某点处的切线”，则该点一定是切点，而“过某点的切线”问题，该点则不一定是切点，这时需要设出切点坐标.本题如果不注意，就容易漏解，