第6节 线性方程组解的存在定理.Cramer法则.ppt

1 第二章 矩阵理论基础 2 5矩阵分块法 2 3可逆矩阵 2 2n阶 方阵的 行列式 2 1矩阵的运算 2 4矩阵的秩与矩阵的等价标准形 2 6线性方程组解的存在性定理 CRAMER法则 2 1 如何判别方程组无解 有唯一解 有无穷多解 2 如何求方程组的通解 主要内容 2 6线性方程组解的存在性定理 CRAMER法则 3 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵只用行变换化阶梯形 最后一行对应的方程是 0 2 所以无解 思考 4 解方程组 第一步 把增广矩阵用行变换化阶梯形 如果 则无解 如果 则继续化为最简阶梯形 问 此时其含义是 独立 或有效 方程的个数 以下问题针对的一般方程组来回答 5 第二步 写出等价的 独立的 方程组 保留第一个未知数在左边其余的移到右边 移到右边的称为自由变量 问 自由变量的个数 即未知数的个数减去独立方程的个数 问 何时有唯一解 何时有无穷多解 当出现自由变量时 令自由变量为任意数就可得到无穷多解 当没有自由变量时有唯一解 即当时 有无穷多解 当时有唯一解 6 第三步 令自由变量为任意实数 写出通解 再改写为向量形式 令 通解 即 综合例1和例2得 下页 7 对于非齐次方程组 P72定理4 对于齐次方程组 P77定理6 8 P73例9 求解齐次线性方程组 解 对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形 9 等价式 令 写出参数形式的通解 再改写为向量形式 通解 即 10 的系数行列式 11 则方程组有唯一解 且解为 12 对于齐次方程组 系数行列式方程组只有零解 或者说 方程组有非零解 13 解 方程组的系数行列式 由Cramer法则 它有唯一解 解线性方程组 14 同理可得 故方程组的解为 15 P25例16 解 系数行列式 按第3行展开 结论 16 说明 1 Cramer法则只适用于方程的个数与未知量个数相等的线性方程组 2 n元非齐次线性方程组 当系数行列式 时 方程组有唯一解 Cramer法则 失效 3 n元齐次线性方程组 当系数行列式 时 方程组有唯一零解 而当 时 方程组 有非零解 17 发展简史 行列式起源于求解线性方程组 用行列式的方法解含有两个 三个和四个未知数的联立线性方程 可能是由Maclaurin在1729年开创的 并发表在他的遗作 代数论著 1748 中 Vandermonder 1772 是第一个对行列式理论作出连贯的逻辑阐述的人 他给出了一条法则 用二阶子式和它们的余子式来展开行列式 Laplace参照Cramer和Bezout的工作 在1772年的论文 对积分和世界体系的探讨 中 证明了Vandermonder的一些规则 并推广了他的展开行列式的方法 现称为Laplace定理 行列式展开定理是其特殊情况 行列式这个词是Cauchy在18世纪的著作中首先使用的 把元素排成方阵并采用双重足标的记法也是属于他的 而采用两竖线是Cayley在1841年引进的 本章结束语 18 学习重点 行列式的定义起源于解线性方程组 但解线性方程组后来被矩阵理论所代替 再也不用行列式来求解线性方程组了 行列式的价值主要体现在理论推导上 其中重要的有三大定理 1 行列式的展开定理 2 行列式的乘法定理 下一章 3 Cramer法则用下一章的矩阵记号会把这三个定理表达的更加简捷 重要的应用也在下一章体现 本章的学习重点是掌握行