【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习 精选第一部分 25个必考问题 专项突破《必考问题22 几何证明选讲（命题方向把握+命题角度分析含解析）》 苏教版.doc

必考问题22几何证明选讲【真题体验】1(2012江苏，21a)如图，ab是圆o的直径，d，e为圆上位于ab异侧的两点，连接bd并延长至点c，使bddc，连接ac，ae，de.求证：ec.证明连接od，因为bddc，o为ab的中点，所以odac，于是odbc.因为obod，所以odbb于是bc.因为点a，e，b，d都在圆o上，且d，e为圆o上位于ab异侧的两点，所以e和b为同弧所对的圆周角，故eb.所以ec.2(2011江苏，21a)如图，圆o1与圆o2内切于点a，其半径分别为r1与r2(r1r2)，圆o1的弦ab交圆o2于点c(o1不在ab上)求证：abac为定值证明如图，连接ao1并延长，分别交两圆于点e和点d.连接bd，ce.因为圆o1与圆o2内切于点a，所以点o2在ad上，故ad，ae分别为圆o1，圆o2的直径从而abdace.所以bdce，于是.所以abac为定值3(2010江苏，21a)ab是圆o的直径，d为圆o上一点，过d作圆o的切线交ab延长线于点c，若dadc，求证：ab2bc.解证明：连接od，则：oddc，又oaod，dadc，所以daoodadco，docdaooda2dco，所以dco30，doc60，所以oc2od，即obbcodoa，所以ab2bc.【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)三角形及相似三角形的判定与性质；(2)圆的相交弦定理，切割线定理；(3)圆内接四边形的性质与判定；(4)相交弦定理，本内容考查属b级要求【应对策略】三角形与圆的几何性质是“平面几何选讲”中的重要内容，也是新课程高考命题的一个热点内容，高考对这些内容的要求不高，只要能正确地运用它们解决一些简单的几何计算和证明问题就行了，一般说来，题目的难度不会太大，备考复习时，要以基础知识和基本方法为重点，把握好度，适当地进行一下训练，不要过多地在题型和技巧的操练方面花时间和下功夫，以减轻学生的负担，提高复习的效果.必备知识1相似三角形的判定和性质定理、射影定理(1)两角对应相等、三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似(2)相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线以及周长比都等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方(3)直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是这两条直角边在斜边上的射影的比例中项2圆中的有关定理(1)圆心角的度数等于它所对弧的度数，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半(2)圆的内接四边形对角互补，外角等于它的内角的对角(3)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角(4)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(5)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径(6)圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等；从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段比的比例中项必备方法1相似三角形是平面几何中极为重要的内容从概念上看，相似是全等的拓展，全等只是相似的特殊情形，而且研究有关全等的各种问题几乎都可以平行地研究有关各种相似问题2圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理关系定理使我们在圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通3直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的一系列知识，如切线长定理、弦切角定理和圆有关的比例线段定理又是本节的重点，利用上述定理可很方便地证明角相等、线段相等、以及线段的比例问题.命题角度一相似三角形的判定与性质命题要点 (1)证明三角形相似；(2)相似三角形的性质证明线段成比例【例1】 (2012南京、盐城三模)如图，o的直径ab的延长线与弦cd的延长线相交于点p，e为o上一点，de交ab于点f.求证：pfpopapb.审题视点 听课记录审题视点 由可得aocaoe，从而证明pocpdf，结合切割线定理，证明pfpopapb.证明连接oc，oe，则eoc2edc.因为，所以aoceoa，所以aocedc，所以pocpdf.又pp，所以pocpdf，所以，即pfpopcpd.又由割线定理，得pcpdpapb，所以pfpopapb. 证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题往往通过证明三角形相似或利用相交弦定理、切割线定理达到证题的目的【突破训练1】 (2012苏、锡、常、镇调研)如图，自o外一点p作o的切线pc和割线pba，点c为切点，割线pba交o于a，b两点，点o在ab上作cdab，垂足为点d.求证：.【突破训练1】 证明连接bc、ac，因为pc为o的切线，所以pcbpac.又因为bpccpa，所以pcbpac，从而，在rtacb中，因为cdab，所以bdcbca90.又因为dbccba，所以rtbdcrtbca，从而，由，得.命题角度二圆内接四边形的性质与判定定理命题要点 (1)有关求角、求线段长、线段长度之比；(2)证明角、线段相等【例2】 (2012泰州期末)已知ad是abc的外角eac的平分线，交bc的延长线于点d，延长da交abc的外接圆于点f，连接fb，fc.(1)求证：fbfc；(2)若ab是abc外接圆的直径，eac120，bc3，求ad的长审题视点 听课记录审题视点 (1)由四边形afbc内接于圆得到dacfbc，通过等量代换证明；(2)由ab是abc外接圆的直径，得acd是直角三角形，在rtacd中求解(1)证明ad平分eac，eaddac；四边形afbc内接于圆，dacfbc；eadfabfcb，fbcfcb，fbfc.(2)解ab是圆的直径，acd90.eac120，daceac60，d30.在rtacb中，bc3，bac60，ac3，又在rtacd中，d30，ac3，ad6. 要充分运用圆内接四边形的性质，把问题转化到三角形中求解【突破训练2】 (2012南通调研)如图，ad是bac的平分线，o过点a且与bc边相切于点d，与ab，ac分别交于e，f两点求证：efbc.证明连接de，可得defdac.ad是bac的平分线，eaddac.bc切o于点d，eadedb.defedb.efbc.命题角度三弦切角定理、圆的切割线定 理、相交弦定理的应用命题要点 (1)利用相似三角形的性质、弦切角定理证明角相等；求角(2)利用圆的切割线定理、相交弦定理证明线段成比例、线段相等【例3】 (2012苏州模拟)如图，pa与o相切于点a，d为pa的中点，过点d引割线交o于b，c两点，求证：dpbdcp.审题视点 听课记录审题视点 可通过证明bdppdc，来证明dpbdcp.证明因为pa与圆相切于a，所以da2dbdc，因为d为pa中点，所以dpda，所以dp2dbdc，即.因为bdppdc，所以bdppdc，所以dpbdcp. 证明角相等的基本思路有：(1)证两个三角形相似；(2)用弦切角相等；(3)同弧所对的圆周角相等【突破训练3】 (2012苏北四市质量检测)如图，paq是直角，圆o与ap相切于点t，与aq相交于两点b，c.求证：bt平分oba.证明连接ot，因为at是切线，所以otap.又因为paq是直角，即aqap，所以abot，所以tbabto.又otob，所以otbobt，所以obttba，即bt平分oba.21规范作图用语，准确使用定理一、使用几何作图的规范用语【例1】 如图，o的半径为13 cm，弦abcd，两弦位于圆心o的两侧，ab24 cm，cd10 cm，求ab和cd的距离解过o作oeab于点e，ofcd于点f，连接ob，od，abcd，e，o，f三点共线，ef即为所求的ab，cd的距离，beab，dfcd，在rtobe中，ob13，be12，oe5(cm)，在rtodf中，od13，dfcd5，of12(cm)，efoeof17(cm)即ab和cd的距离为17厘米老师叮咛：在本题辅助线的作法和叙述上易出现以下的错误：(1)作ab和cd的垂线段ef；(2)过o点作直线ef垂直ab和cd；(3)过o点作ab和cd的垂直平分线ef；(4)连接ab，cd的中点ef，并使之通过o点；(5)连接ef，使efab，efcd.这些作法和叙述违反了几何作图的基本要求.在学习几何时要应用规范用语，突出几何语言，特别在尺规作图时，更要突出作图规范用语.二、准确使用相关定理和性质【例2】 如图，已知pa与o相切，a为切点，pbc为割线，弦cdap，ad、bc相交于e点，f为ce上一点，且de2efec.(1)求证：pedf；(2)求证：ceebefep；证明(1)因为de2efec，所以deceefed.因为def是公共角，所以de