第一章 2 重积分计算的换元法分析.doc

绥化学院2012届本科生毕业论文绥化学院本科毕业设计（论文）重积分计算的换元法分析学生姓名： 李婷婷 学 号： 200854100 专 业： 应用数学 年 级： 2008级一班 指导教师： 齐秀丽 副教授 Suihua University Graduation Paper Times New Roman 二号，加粗Research Development of Mg-base Hydrogen Storage MaterialsStudent name Li Tingting Student number 200854100 Major Applied chemistry Supervising teacher Qi Xiuli Suihua Universit摘 要换元法是数学中求重积分时用到的一种非常重要的计算方法，它不仅是重点，也是难点。本文共分为两章，第一章介绍的就是与二重积分和三重积分在换元法上的一些相关概念、定理及其公式推导过程，而第二章则是结合第一章的相关内容进一步运用到实例中进行分析研究及其说明。关键词：二重积分；三重积分；换元法I目 录Suihua University Graduation Paper2Suihua Universit2摘 要I目 录前 言1第1章 重积分计算的换元法理论2第1节 二重积分换元法的理论分析2第2节 三重积分换元法的理论分析6第2章 重积分计算的换元法实例10第1节 二重积分的换元法实例10第2节 三重积分的换元法实例18结 论28参考文献29致谢30前 言 换元法是重积分计算中一种重要方法，是我们必须掌握的基本技能之一。它同其它数学知识一样，都是经历了从特殊到一般，从直观到抽象的发展阶段，而人们正在这样的发展中，逐渐认识、了解到它们的内在联系及其本质。然而本文我们要阐述的是对重积分计算的换元法分析，也就是针对于二重积分和三重积分进行的换元法分析。本文共分为两章，第一章最主要内容就是对重积分换元法的理论进行分析，尤其是定理的分析是其中心内容，而第二章的内容是重积分计算的换元法实例及其分析。无论是二重积分换元法，还是三重积分换元法，目的就是使计算更简便。本文就是针对于二重积分与三重积分的多种换元法进行的分析，将第一章理论分析运用到第二章实例中。在通过比较各种解法的难与易，繁与简的基础上，总结出一些规律性的东西，进一步提高学习效果及其掌握它的本质和应用技巧。本文将借鉴已有的理论知识，结合自身理解，对重积分计算的换元法进行分析说明。第1章 重积分计算的换元法理论第1节 二重积分换元法的理论分析定理1(二重积分换元法) 若函数在有界闭区域连续，函数组将平面的区域一对一的变换为平面上的区域，且函数组在上对与存在连续偏导数，有，则有：证明 用任意分法将区域分成个小区域：，设其面积分别是，于是，在上有对应的分法，将对应的分成个小区域：，设其面积分别是，有：，在对应唯一一点，而 ，则做二重积分的积分和，上式右边的和式是上可积函数的积分和又由变换的连续性可知，当区域的分割：，的细度时，区域相应的分割：，的细度也趋于零因此得到分析 从几何的角度看，函数组是一种变换，它把平面上的区域变为平面上的区域，在这个变换之下其面积微元之比正等于函数组雅可比行列式的绝对值：，即，这就是二重积分换元法内涵要点1 当二重积分区域的边界方程较复杂时，无法画图、无法确定二次累次积分的积分限时，常考虑用以上定理换元根据上面定理可直接推导出一个应用广泛的重要推论如下： 推论 若函数在有界闭区域连续，设函数组则该变换的逆变换把一一变换为，则有：，则，这时我们把函数组叫做二重积分的极坐标变换分析 （1）从积分区域上看，当有界闭区域是圆域时，极坐标变换的逆变换把平面上的区域变成平面上的矩形区域，：，（如图1-1所示）的逆变换图1-1因此当积分区域的边界方程中含有“”时常用极坐标代换，这样就可以把复杂区域上的二重积分转化为矩形区域上的二重积分来计算 （2）从被积函数上看，当被积函数的解析中含有“”时常用极坐标代换，因为可以把“”变为“”把两个变量化为一个变量，以达到消元目的要点2 当二重积分的被积函数的解析式中或积分区域的边界方程中含有“”时常用极坐标代换例1 求出抛物线，以及双曲线， 所围区域的面积分析 该面积可用二重积分来计算，其即为要求平面图形的面积，即积分区域是由抛物线，以及双曲线，围成，所以积分限的确定比较复杂，故应做适当换元，把给定被积函数转变为较简单的函数，故作变换：进行求解，其中雅可比行列式为解 （如图1-2所示）作变换，在这个变换下，平面上的区域对应了平面上的区域：. 另外，于是所求面积为： .图1-2第2节 三重积分换元法的理论分析定理2 (三重积分换元法)设替换公式：，将空间中区域一对一的映成空间中的区域，关于，在内有连续的二阶偏导数，且它们的函数行列式，则区域的体积证明 用平行于坐标面的平面网把分成个小空间区域，在变换作用下，空间区域也相应地被分成个小空间区域，记与的体积为与 由定理2及三重积分的中值定理，有：，其中令，则做三重积分的积分和：.上式右边的和式是上的可积函数：的积分和，又由替换的连续性可知，当的分割：的细度时，相应的分割：的细度也趋于零因此得到：.定理3 设是由分片光滑曲面所围成的有界闭区域，函数在上连续，变换：将空间上由简单闭曲面所围成的闭区域，映射到空间上闭区域，且满足：（1）变换是一一对应的；（2）在具有连续导数；（3）变换的雅可比行列式，则分析 要证上式成立，只需证 成立，即证空间上的体积微元与空间上的体积微元之间的比例系数是雅可比行列式的绝对值，如果将式写成形式：，只需证明与表示的有向体积微元相同符号，且它们之间的比例系数是雅可比行列式即可证明 因为变换：是空间到空间上的一一映射，且，在具有连续偏导数，所以对变换 求微分得：由，可将式作为三维微分向量空间一组基，到另一组基，的基变换： 又因为变换是空间到空间上的一一映射，通常规定空间空间同为右手系，所以和表示的有向体积微元的符号相同，因此可分别看成是正体积微元与，于是得到变量代换公式：例1 计算，其中是由曲面与平面，及所围成的闭区域解 积分区域，易用直角坐标计算，且选用先后再的积分次序（如图1-3所示）将向面投影，得投影区域：，则积分域可用不等式组表示， 则图1-3总结：本章内容最主要的就是对重积分换元法的理论进行分析，尤其是定理的分析是本章的中心，本章内容与今后在实例中有紧密的联系第2章 重积分计算的换元法实例第1节 二重积分的换元法实例换元法是计算定积分的重要方法，它也是计算积分的重要方法由于二重积分区域是平面上的区域，它比定积分的积分区间复杂的多，因此二重积分的换元法不仅要简化被积函数，而更重要的是简化积分区域这里介绍几种常用的二重积分的换元法换元法的法则：设在平面上的有界区域上连续，.在上有对，的连续偏导数，把一对一的变为，且，则一、极坐标变换 在二重积分的被积函数或积分区域的边界曲线方程中含有“”时，常用极坐标变换例1 求二重积分其中为圆所围成的区域分析：此题为二重积分计算， 被积函数中含有“”，故适合应用极坐标变换：进行求解，其中雅可比行列式为：.解 因为被积函数与积分区域的边界曲线的方程都含有“” ，所以取极坐标变换： ，满足 ， 因此 根据的思想，可以得到广义极坐标变换1、若被积函数或积分区域的边界曲线的方程含有：“”时，则可作广义极坐标变换 ，满足 ，当时，广义极坐标变换就是极坐标变换例2 求，其中为椭圆所围成的区域，这里分析 此题为二重积分计算，积分区域为“”，所以可应用广义极坐标变换进行求解其雅可比行列式为：,且 解 作变换：， ，将变为.故 2、若被积函数或积分区域的边界曲线的方程含有“”时，可作变换： ，其中，且 例3 求，其中是曲线，直线，所围成的区域分析 此题为二重积分计算，当被积函数或积分区域含有根号时，例如被积函数中含有“”，为简化计算做适当变换，故应用极坐标变换进行求解，其中雅可比行列式为解 作变换：，其中，且将变为，所以 二、为简化积分区域作变换有时从题目给出的积分区域无法直接确定积分限，这时若经过一个适当的换元就可以把给定的区域变为比较简单的区域，如化为矩形区域或矩形区域的一部分时，这就简化了二重积分的计算例4 求曲线及所围成区域面积分析 此题为直线及所围区域面积计算，其所围图形不规则，积分限不易确定，面积不易计算，故应作适当换元，把给定区域面积转变为较简单的区域面积，故作变换：可以化简计算，其中雅可比行列式为（如图2-1所示）解图2-1 作变换：，.将变为，所以的面积公式： 三、为简化被积函数作变换有些重积分，积分区域容易确定，但被积函数却不易找到原函数，这时可根据被积函数的特点做出适当的变换例5 求，其中由直线，所围成的区域分析 此题积分区域为直线，所围成的区域，易找到积分限，但却不易找到被积函数的原函数，故应作适当换元，把给定的被积函数转变为较简单的函数，故作变换：进行求解，其中雅可比行列式为(如图2-2所示) 图2-2将变为，所以 四、其它方法1、当积分区域的边界方程较复杂无法画出图形，也无法直接确定二次累次积分的积分极限时，可根据区域边界方程特点考虑换元法例6 求曲线与所围成的区域的面积分析区域的边界方程非常复杂，区域的图形画起来很困难由“要点一”考虑二重积分的换元法，考虑到把其边界曲线化为规范图形的边界曲线，因此做变换即则区域变换为平面的区域，而由抛物线和直线围成解作变换：，即，则由抛物线和直线围成，所以：， 2、把极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下的二重积分计算：有时候极坐标系下的二重积分计算很困难时可以把极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下二重积分来计算例7 计算二重积分，其中区域是分析 此题是极坐标系下的二重积分，直接计算很困难，但反过来可以用极坐标代换把极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下的二重积分来计算，关键是把极坐系下得区域化为直角坐标系下的区域由的边界曲线得：.得：,所以由得：，即是由直线，及直线围成解作极坐标代换：，则该变换把变为，而由直线，及直线围成，所以：，即：.第2节 三重积分的换元法实例三重积分是高等数学中的重要内容，是我们必须掌握的基本技能之一那么在三重积分的换元法中柱面坐标变换和球面坐标变换是极其重要的内容，以下就是我们本节要分析的1、一般变换当被积函数和积分区域没有明显规律，可做一般变换，将积分区域转变为较简单的区域进行计算例1 计算，其中，分析 此题所给积分区域不易画出，故作一般变换，令，将积分区域变换为长方体，其中解 令，则变为：，故，从而，所以2、柱面坐标变换用柱面坐标计算三重积分，是将立体向平面作投影，得到平面区域，从而将表示为，于是有：.第二次积分计算为二重积分计算，若区域为圆域或圆域的一部分时，可设，其中，以表示点,称为点的柱面坐标，（如图2-3所示），.则有：， 其中立体是立体在柱面坐标变换下所对应的空间中的立体图2-3例2 求三重积分其中体由上半球面和旋转抛物面所围成.分析 （如图2-4所示）当围成体的曲面的函数或被积函数含有“”或“”时，此题围成体中含有“”或“”故应作变换其中 图2-4解围成体的上、下曲面分别是： 与 .这两个曲面的交线（联立方程组的解）：，即平面上的圆，于是，体在平面上的投影是圆域，可作柱面坐标变换.设：，则.此时，曲面方程和圆方程分别是：，及.于是，例3 计算，其中是由曲面与为界面区域分析 （如图2-5所示）当围成体的曲面的函数或被积函数含有“”时应作变换，其中解 在平面上的投影区域为按柱面坐标变换区域可表为：所以由公式：， 图2-53、球面坐标变换设其中，称为球面坐标，（如图2-6所示）球面坐标变换，通常为找出与的范围： 注意：角是以轴为始边到的夹角，因为，所以，有：， 其中体是体在球面坐标变换下所对应的空间中的体图2-6例4 求三重积分，其中体由圆锥面与上半球面所围成分析 （如图2-7所示）当围成体的曲面函数或被积函数含有“”或“”，可考虑使用球面坐标变换特别是，当体以原点为心以为半径的球体：，应用球面坐标变换最为简单由球面坐标变换，有：，于是，球体：在球面坐标变换下变换为空间的长方体：对围成体的曲面函数可作变换：，则解 设，则.圆锥面与上半球面在球面坐标中的方程分别是：与于是，立体经过球面坐标变换对应的立体是：.由公式，则有 .图2-7在对三重积分进行换元的时候，有时可以考虑一题多解.例5 计算三重积分，其中积分区域是,解法1 球面坐标变换解 球面及锥面在球面坐标系中的方程分别为及其，由原点出发，引任意一条射线，通过区域交于球面，于是在那内部射线上任一点的坐标满足，与满足及因此可用不等式组表示为：，从而.解法2 柱面坐标变换解 把区域投影到面上，得到半径的圆形区域：，在内任取一点，过此点作平行于轴的直线，此直线沿轴正方向通过圆锥面，即穿入内，然后通过上半球面，即穿出外，因此区域可用不等式表示出来：则 例6 计算三重积分，其中是由曲面，其中三个平面：所围成的空间立体解法1 球面坐标变换分析 根据推广的广义球坐标变换，得到三个曲面族，可简化计算，故应作变换：，其中解 令：.曲面方程化为，且 坐标曲面网面由来确定，.所以 解法2 柱面坐标变换分析根据广义柱面坐标变换，得到三个平面族，可简化其计算，故作变换 其中，故可计算求其解解 令：.曲面方程化为，且.坐标曲面网为：常数： （平面族）；常数： （平面族）；常数： （平面族）来确定，所以 总结：本章内容是重积分计算的换元法实例无论是二重积分换元法，还是三重积分换元法，目的只有一个就是让计算简便起来，所以本章在二重积分计算换元法实例一节中介绍了几种常用的二重积分换元法并做了粗略的分析，而三重积分换元法实例一节中是通过一题多解形式展现出来的，也做了粗略分析结 论本篇论文仅仅是对重积分计算的换元法，在数学中应用时的一些方法进行粗略的分析说明。本文通过第一章对二重积分、三重积分换元法相关的概念、公式及其定理分析，只有先对基础有所领悟才能进一步的去应用。根据第一章的基础掌握引出第二章，而第二章则是对二重积分、三重积分换元法在具体实例中进行的分析。在数学的学习过程中，只有我们不断的掌握及其分析重积分计算的换元法的基本理论，并且总结出具体应用于实例中的方法与思想，这些方法与思想才能成为我们探索相关类知识奥秘的工具，遇到难度大的问题不再望而生畏，