【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习 精选第一部分 25个必考问题 专项突破《必考问题21 二项式定理及数学归纳法》（命题方向把握+命题角度分析含解析） 苏教版.doc

必考问题21二项式定理及数学归纳法【真题体验】1(2012苏北四市调研)已知an(1)n(nn*)(1)若anab(a，bz)，求证：a是奇数；(2)求证：对于任意nn*都存在正整数k，使得an.证明(1)由二项式定理，得anccc()2c()3c()n，所以acc()2c()412c22c，因为2c22c为偶数，所以a是奇数(2)由(1)设an(1)nab(a，bz)，则(1)nab，所以a22b2(ab)(ab)(1)n(1)n(12)n，当n为偶数时，a22b21，存在ka2，使得anab，当n为奇数时，a22b21，存在k2b2，使得anab，综上，对于任意nn*，都存在正整数k，使得an.2(2010江苏，23)已知abc的三边长都是有理数(1)求证：cos a是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos na是有理数(1)证明设三边长分别为a，b，c，cos a，a，b，c是有理数，b2c2a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，必为有理数，cos a是有理数(2)证明当n1时，显然cos a是有理数；当n2时，cos 2a2cos2a1，因为cos a是有理数，cos 2a也是有理数；假设当nk(k2)时，结论成立，即cos ka、cos(k1)a均是有理数当nk1时，cos(k1)acos kacos asin kasin acos kacos acos(kaa)cos(kaa)cos kacos acos(k1)acos(k1)a解得：cos(k1)a2cos kacos acos(k1)acos a，cos ka，cos(k1)a均是有理数，2cos kacos acos(k1)a是有理数，cos(k1)a是有理数即当nk1时，结论成立综上所述，对于任意正整数n，cos na是有理数【高考定位】高考对本内容的考查主要有： (1) 二项式定理的简单应用，b级要求；(2)数学归纳法的简单应用，b级要求【应对策略】(1)对于二项式定理只要掌握二项式定理、通项、项的系数的求法，掌握赋值法即可(2)数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题通常与数列、不等式证明等基础知识和基本技能相结合来考查逻辑推理能力，要了解数学归纳法的原理，并能加以简单的应用.必备知识1二项式定理(1)二项式定理：(ab)ncancan1bcanrbrcbn，上式中右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中c(r1,2,3，n)叫做二项式系数，式中第r1项叫做展开式的通项，用tr1表示，即tr1canrbr；(2)(ab)n展开式中二项式系数c(r1,2,3，n)的性质：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即cc；cccc2n；cccc2n1.2数学归纳法运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0n*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设nk(kn0，kn*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可必备方法1二项式定理(1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”(2)二项式展开式的通项公式tr1canrbr是展开式的第r1项，而不是第r项2数学归纳法(1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论(2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法(3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由nk成立，推导nk1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用(4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把nk1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式. (5)解题时经常用到“归纳猜想证明”的思维模式命题角度一二项式定理的应用命题要点 (1)二项展开式中的二项式系数和展开式系数；(2)求二项展开式的特定项；(3)二项展开式的性质的应用【例1】 (2012南师附中模拟)若二项式(12x)n展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项审题视点 听课记录审题视点 根据展开式中第6项与第7项的系数相等，得到关于n的方程，解得n，再写出二项展开式系数，由二项式系数的性质得到结果解在(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，c25c26，n8，二项式系数是c，由cc且cc，得r4，即展开式中二项式系数最大的项是第5项为c24. 二项式系数的最大项与展开式系数的最大项不同，本题的第r1项的二项式系数是c，而展开式系数却是2rc，解题时要分清【突破训练1】 (2012盐城模拟)已知数列an的首项为1，p(x)a1c(1x)na2cx(1x)n1a3cx2(1x)n2ancxn1(1x)an1cxn(1)若数列an是公比为2的等比数列，求p(1)的值；(2)若数列an是公比为2的等差数列，求证：p(x)是关于x的一次多项式(1)解法一由题设知，an2n1.p(1)1c(1)02n2c(1)12n122c(1)22n22nc(1)n20c(2)02nc(2)12n1c(2)22n2c(2)n20(22)n0.法二若数列an是公比为2的等比数列，则an2n1，故p(x)c(1x)nc(2x)(1x)n1c(2x)2(1x)n2c(2x)n1(1x)c(2x)n(1x)2xn(1x)n.所以p(1)0.(2)证明若数列an是公差为2的等差数列，则an2n1.p(x)a1c(1x)na2cx(1x)n1ancxn1(1x)an1cxnc(1x)n(12)cx(1x)n1(14)cx2(1x)n2(12n)cxnc(1x)nc1nx(1x)n1cx2(1x)n2cxn2cx(1x)n12cx2(1x)n2cxn由二项式定理知，c(1x)ncx(1x)n1cx2(1x)n2cxn(1x)xn1.因为kcknnc，所以cx(1x)n12cx2(1x)n2ncxnncx(1x)n1ncx2(1x)n2ncxnnxc(1x)n1cx(1x)n2cxn1nx(1x)xn1nx，所以p(x)12nx.即p(x)是关于x的一次多项式命题角度二数学归纳法的应用命题要点 (1)证明代数恒等式；(2)证明不等式问题；(3)证明三角恒等式；(4)证明整除性问题【例2】 (2012南京模拟)记的展开式中，x的系数为an，x2的系数为bn，其中nn*.(1)求an；(2)是否存在常数p，q(pq)，使bn，对nn*，n2恒成立？证明你的结论审题视点 听课记录审题视点 可以先用特殊值代入，求出p，q得到猜想，再用数学归纳法证明猜想的正确性解(1)根据多项式乘法运算法则，得an1.(2)计算得b2，b3.代入bn，解得p2，q1.下面用数学归纳法证明bn(n2且nn*)当n2时，b2，结论成立设nk时成立，即bk，则当nk1时，bk1bk.由可得结论成立 运用数学归纳法证明命题p(n)，由p(k)成立推证p(k1)成立，一定要用到条件p(k)，否则不是数学归纳法证题【突破训练2】 (2012泰州中学调研)已知多项式f(n)n5n4n3n.(1)求f(1)及f(2)的值；(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论解(1)f(1)0，f(2)17(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n，f(n)是整数当n1时，f(1)1，结论成立假设当nk(k1，kn)时，结论成立，即f(k)k5k4k3k是整数，则当nk1时，f(k1)(k1)5(k1)4(k1)3(k1)(k1)f(k)k44k36k24k1.根据假设f(k)是整数，而k44k36k24k1显然是整数f(k1)是整数，从而当nk1时，结论也成立由、可知对一切正整数n，f(n)是整数()当n0时，f(0)0是整数()当n为负整数时，令nm，则m是正整数，由()知f(m)是整数，所以f(n)f(m)(m)5(m)4(m)3(m)m5m4m3mf(m)m4是整数综上，对一切整数n，f(n)一定是整数20证明步骤要完整，变形要有依据一、证明的两个步骤缺一不可【例1】 求证：2n2n1(n3)解用数学归纳法证明：第一步：(1)n3时，238,2317，不等式2n2n1(n3)成立第二步：(2)假设nk(k3，且kn*)时，不等式成立，即2k2k1，则2k122k2(2k1)4k22(k1)2k2(k1)1，即2k12(k1)1.所以当nk1时也成立老师叮咛：不验证初始值的正确性就没有归纳的基础，没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法，证明的两个步骤缺一不可.二、正确写出从nk(kn0，kn*)到nk1时应添加的项【例2】 用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，从k到k1，左边需要增乘的代数式为_解析当nk时，左边(k1)(k2)(kk)，当nk1时，左边(k1)1(k1)2