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选修42矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)1. 若,求xy的值解:x2y22xyxy0.2. 用几何变换的观点,判断并求出矩阵的逆矩阵解:因为矩阵表示的是绕原点顺时针旋转90的旋转变换,所以它有逆变换,对应的逆矩阵为.3. 已知矩阵a的一个特征值为,是a的属于的特征向量,求矩阵a的逆矩阵a1.解: a, 解得a,则a1.4. 已知二阶矩阵a的属于特征值1的一个特征向量为,属于特征值3的一个特征向量为,求矩阵a.解:设a,由题知,3.即解得所以a.5. 已知二阶矩阵a有两个特征值1、2,求矩阵a的特征多项式. 解:由特征多项式的定义知,特征多项式是一个首项系数为1的二次三项式因此不妨设f()2bc.因为1,2是a的特征值,所以f(1)f(2)0,即1,2是2bc0的根由根与系数的关系知:b3,c2,所以f()232.6. 矩阵m有属于特征值18的一个特征向量e1,及属于特征值23的一个特征向量e2.对向量,计算m3.解:令me1ne2,将具体数据代入,有m1,n3,所以ae13e2.m3m3(e13e2)m3e13(m3e2)e13(e2)833(3)3 , m3.7. 求下列矩阵的特征值和特征向量(1) m;(2) m.解:(1) 矩阵m的特征多项式为f()(8)(2),令f()0得12,28.12对应的一个特征向量为,28对应的一个特征向量为.(2) 矩阵m的特征多项式为f()(3)(6),令f()0得13,26.13对应的一个特征向量为,26对应的一个特征向量为.8. 利用逆矩阵的知识解方程mxn,其中m,n.解:设m1,解得所以m1.可得xm1n.所以原方程的解为.9. 已知矩阵m,n,试求曲线ycosx在矩阵m1n变换下的函数解析式解:由m1,得m1n,即在矩阵m1n的变换下有如下过程,则ycos2x,即曲线ycosx在矩阵m1n的变换下的解析式为y2cos2x.10. 设m是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y方向伸长为原来5倍的伸压变换求:(1) 直线4x10y1在m作用下的方程;(2) m的特征值与特征向量解:(1) m.设(x,y)是所求曲线上的任一点,所以得代入4x10y1,得4x2y1,所以所求曲线的方程为4x2y1.(2) 矩阵m的特征多项式f()(1)(5)0,所以m的特征值为11,25.当11时,由m111,得特征向量1;当25时,由m222,得特征向量2.11. 已知矩阵m.(1) 求矩阵m的特征值和特征向量;(2) 对于向量,求m3.解:(1) 矩阵m的特征多项式为f()(8)(3)0,得m的特征值为18,23.18对应的
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