【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题11 数列的综合应用问题》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.doc

必考问题11数列的综合应用问题1(2012湖北)定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()a b c d答案 c设数列an的公比为q.对于，q2是常数，故符合条件；对于，2an1an，不是常数，故不符合条件；对于，是常数，故符合条件；对于，不是常数，故不符合条件由“保等比数列函数”的定义知应选c.2(2012浙江)设sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是()a若d0，则数列sn有最大项b若数列sn有最大项，则d0c若数列sn是递增数列，则对任意nn*，均有sn0d若对任意nn*，均有sn0，则数列sn是递增数列答案 ca、b、d均正确，对于c，若首项为1，d2时就不成立3(2010辽宁)已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为()a. b. c10 d21答案 b在an1an2n中，令n1，得a2a12；令n2得，a3a24，anan12(n1)把上面n1个式子相加，得ana12462(n1)n2n，ann2n33，n1，又nn*，n1.当n6时，有最小值.4(2011江苏)设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_解析由题意知a3q，a5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值为.答案1以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇2解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题具有综合性强、立意新、角度活、难度大的特点1数列试题形式多样，时常有新颖的试题入卷，学生时常感觉难以把握，为了在高考中取得好成绩，必须复习、掌握好数列这一板块及其相关的知识技能，了解近几年来高考中对解数列试题的能力考查的特点，掌握相关的应对策略，以提高解决数列问题的能力2近几年高考中一些难题均是以高等数学的某些知识为背景而用初等数学的语言表述的试题这就启示我们在复习备考时，要在高等数学与初等数学的衔接点上多下工夫，要提高将陌生问题转化、化归为熟知问题的能力复习时要抓住主流综合，同时做到不忽视冷门、新型综合.必备知识在数列求和时，为了证明的需要，需合理变形，常用到放缩法，常见的放缩技巧有：(1).(2).(3)2()2()数列是特殊的函数，是定义在正整数集上的一列函数值通项公式及求和公式揭示了项和项数的依赖关系的本质属性用“函数与方程”的思想解决数列中的综合问题，通常有如下情形：(1)用等差数列中的公差为“斜率”的意义沟通关系解题(2)用等差数列的前n项和为项数n的二次函数解题(3)用函数观点认识数列的通项，用函数单调性的定义研究数列的增减性解决最值问题(4)通项公式求解中方程思想的应用(5)应用问题中方程思想的应用必备方法1解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较2解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解该类问题出题背景广、新颖，解题的关键是读懂题意，有效地将信息转化，能较好地考查学生分析、解决问题的能力和知识的迁移能力，以客观题或解答题的形式出现，属于低中档题【例1】 (1)已知f(1,1)1，f(m，n)n*(m，nn*)，且对任意m，nn*，都有：f(m，n1)f(m，n)2；f(m1，n)2f(m，n)给出以下三个结论：(i)f(1,5)9；(ii)f(5,1)16；(iii)f(5,6)26.其中正确结论的个数是()a3 b2 c1 d0(2)在直角坐标平面内，已知点p1(1,2)，p2(2,22)，p3(3,23)，pn(n,2n)，.若n为正整数，则向量p2n1p2n的纵坐标为_审题视点 (1)由f(m，n1)f(m，n)2可知f(m，n1)与f(m，n)的公差为2，由f(m1，n)2f(m，n)可知f(m1，n)与f(m，n)的公比为2.(2)由pkpk1(k1k,2k12k)(1,2k)可求解听课记录解析(1)由f(1,1)1，f(m，n1)f(m，n)2，可得f(1,5)9.由f(1,1)1，f(m1，n)2f(m，n)，可得f(5,1)16，由f(5,1)16，f(m，n1)f(m，n)2，可得f(5,6)26.(2)pkpk1(k1k,2k12k)(1,2k)，于是p2n1p2n的纵坐标为2232522n1(4n1)答案(1)a(2)(4n1) 解决数列与新背景、新定义的综合问题，可通过对新数表、图象、新定义的分析和探究，将问题转化为等差(比)数列的问题【突破训练1】 (2012东北三校二模)已知an是等差数列，sn为其前n项和，若s21s4 000，o为坐标原点，点p(1，an)，点q(2 011，a2 011)，则()a2 011 b2 011 c0 d1 答案 a设snan2bn，当n2时，ansnsn1(2n1)ab，由s21s4 000，知4 021 ab0，所以a2 0110，2 011ana2 0112 011，故选a.由于数列与函数的联系密切，近几年高考在数列与函数的综合命题有加强的趋势，常考查以函数为背景的数列问题，该类问题的知识综合性比较强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力需掌握与函数、函数性质等相关方面的知识，难度较大【例2】 (2012陕西五校联考)已知函数f(x)x22(n1)xn25n7.(1)设函数yf(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列an，求证：an为等差数列；(2)设函数yf(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列bn，求bn的前n项和sn.审题视点 (1)配方可求顶点的纵坐标，再用定义可证；(2)由bn|an|知分类求和听课记录(1)证明f(x)x22(n1)xn25n7x(n1)23n8，an3n8，an1an3(n1)8(3n8)3，数列an为等差数列(2)解由题意知，bn|an|3n8|，当1n2时，bn83n，snb1bn.当n3时，bn3n8，snb1b2b3bn5214(3n8)7，sn 解决此类问题时主要注意把握好以下两点：(1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义；(2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征【突破训练2】 (2012潍坊二模)已知函数f(x)(x1)2，数列an是各项均不为0的等差数列，点(an1，s2n1)在函数f(x)的图象上；数列bn满足bnn1.(1)求an；(2)若数列cn满足cn，求数列cn的前n项和解(1)因为点(an1，s2n1)在函数f(x)的图象上，所以as2n1.令n1，n2，得即由知a10或a11，a10，a11.代入解得d1或d2，又d1时，a20不合题意，d1(舍去)，d2.即an2n1.(2)由(1)得cn.令tnc1c2c3cn，则tn，tn，得，tn122.所以tn3.常考查：以数列为载体，比较两项的大小或证明不等式；以数列为载体，利用不等式恒成立求参数在解答时需要我们抓住本质，进行合理变形、求和，再结合与不等式有关的知识求解，试题难度较大【例3】 (2011广东)设b0，数列an满足a1b，an(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2anbn11.审题视点 (1)对所给递推关系式变形(取倒数)后构造等比数列求解(2)利用基本不等式放缩听课记录(1)解由a1b0，知an0， .令an，a1.当n2时，anan1a1.当b1时，an；当b1时，ann.所以an(2)证明当b1时，欲证2anbn11，只需证2nbn(bn11).因为(bn11)b2nb2n1bn1bn1bn21bnbn(222)2nbn，所以2an1bn1.当b1,2an2bn11.综上所述，2anbn11. 与数列有关的不等式证明常用的方法有：比较法(作差、作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点利用放缩法解决“数列不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩【突破训练3】 (2012日照一模)已知各项均不相等的等差数列an的前四项和s414，a3是a1，a7的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)设tn为数列的前n项和，若tnan1对一切nn*恒成立，求实数的最大值解(1)设公差为d，由已知得，解得d1或d0(舍去)，a12，故ann1.(2)，tn，tnan1，(n2)，即2n4，又2n42(44)16，的最大值为16.熟练掌握数列探索性问题的解法数列探索性问题的一般题型及解法：(1)结论探索型问题：一般是在给定题设条件下探求结论，它要求我们在对题设条件或图形认真分析的基础上，进行归纳，大胆猜想，然后通过推理、计算获得结论；(2)存在探索型问题：这类问题是在题设条件下探索相应的数学对象是否存在，它要求我们充分利用题设条件，通常是先在“假设对象存在”的前提下，根据条件进行计算或推理，从而对“是否存在的数学对象”作出正确推断【示例】 (2010湖南)给出下面的数表序列：其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和(1)写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)；(2)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为bn，求和：(nn*)满分解答(1)表4为(3分)它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列(5分)简证如下(对考生不作要求)：首先，表n(n3)的第1行1,3,5，2n1是等差数列，其平均数为n；其次，若表n的第k(1kn1)行a1，a2，ank1是等差数列，则它的第k1行(a1a2，a2a3，ankank1也是等差数列，由等差数列的性质知，表n的第k行中的数的平均数与第k1行)中的数的平均数分别是，a1ank1.由此可知，表n(n3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列(2)表n的第1行是1,3,5，2n1，其平均数是n，(7分)由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列(从而它的第k行中的数的平均数是n2k1)，于是，表n中最后一行的唯一一个数为bnn2n1.因此：(k1,2，3，n)，(9分)故4.(12分)老师叮咛：探索性问题，还要注意合情推理的应用.如第(1)问写出表4，就用到了类比推理，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列并将结论推广到表n(n3)就用到了归纳推理.在训练时，要注意这两种推理的特点，能有意识地加以运用到数学的相关题目，前一问是后一问的基础和台阶，起到提醒考生下一问的思路的作用，如本例中的第(1)问就能提醒考生先求出第(2)问中bn，进而想到考虑一般表达式的特点，从而求出和.【试一试】 (2012山东东营一模)已知数列an中，a1，点(n,2an1an)在直线yx上，其中n1,2,3，.(1)令bnan1an1，求证数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项；(3)设sn、tn分别为数列an、bn的前n项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，请