【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第二章函数与导数第14课时函数的综合应用教学案（含最新模拟、试题改编）(1).doc

第二章 函数与导数第14课时函数的综合应用第三章 (对应学生用书(文)、(理)3739页)考点分析考点新知函数是高考的热点内容，主要是以基本初等函数为载体，考查函数的性质及有关问题，如单调性、奇偶性、值域和最值问题，同时考查函数思想与其他数学知识的综合运用 能利用函数的各种性质解决如求最值、不等式和方程有关的问题，提高对函数图象的识图、作图和用图的能力. 熟练利用函数的知识方法解决函数的综合问题，注意函数与其他知识的联系，灵活选择适当方法解决问题.1. (必修1p87习题13改编)已知集合ax|33x6，bx|lg(x1)1，则ab_答案：(2log32，11)解析：由33x6，知3x3log36，所以a(2log32，)由lg(x1)1，知0x110，即1x0，给出下列命题： f(3)0； 直线x6是函数yf(x)的图象的一条对称轴； 函数yf(x)在9，6上为单调增函数； 函数yf(x)在9，9上有4个零点其中正确的命题是_(填序号)答案：解析：令x3，得f(3)0，由yf(x)是偶函数，所以f(3)f(3)0，正确；因为f(x6)f(x)，所以yf(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y轴对称，所以直线x6是函数yf(x)的图象的一条对称轴，正确；由题意知，yf(x)在0，3上为单调增函数，所以在3，0上为单调减函数，故yf(x)在9，6上为单调减函数，错误；由f(3)f(3)0，知f(9)f(9)0，所以函数yf(x)在9，9上有个零点，正确5. (2013宿迁一模)已知函数f(x)|x1|1|，若关于x的方程f(x)m(mr)恰有四个互不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是_答案：(3，0)解析：f(x)|x1|1|方程f(x)m的解就是yf(x)的图象与直线ym交点的横坐标，由图可知，x2x1，x32x1，x42x1，且1x10.设tx1x2x3x4(x2)24，则t(x2)24，易得3t0.备课札记题型1已知函数解析式研究函数的性质例1已知函数f(x)lg(1x)lg(1x)x42x2.(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 判断函数f(x)的奇偶性；(3) 求函数f(x)的值域解：(1) 由得1x1，所以函数f(x)的定义域为(1，1)(2) 由f(x)lg(1x)lg(1x)(x)42(x)2lg(1x)lg(1x)x42x2f(x)，所以函数f(x)是偶函数(3) f(x)lg(1x)lg(1x)x42x2lg(1x2)x42x2，设t1x2，由x(1，1)，得t(0，1所以ylg(1x2)x42x2lgt(t21)，t(0，1，设0t1t21，则lgt1lgt2，tt，所以lgt1(t1)0，xr)，下列命题正确的是_(填序号) 函数yf(x)的图象关于y轴对称； 在区间(，0)上，函数yf(x)是减函数； 函数yf(x)的最小值为lg2； 在区间(1，)上，函数yf(x)是增函数答案：解析：由f(x)lglgf(x)，知函数f(x)为偶函数，故正确；由f(2)lgf，知错误；由|x|2，知f(x)lglg2，故正确；因为函数g(x)x在(1，)上为增函数，所以yf(x)在(1，)上也是增函数，故正确综上所述，均正确题型2函数图象与函数性质的联系例2已知函数f(x)ax2|x|2a1(a为实常数)(1) 若a1，作函数f(x)的图象；(2) 设f(x)在区间1，2上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3) 设h(x)，若函数h(x)在区间1，2上是增函数，求实数a的取值范围解：(1) 当a1时，f(x)x2|x|1作图如下(2) 当x1，2时，f(x)ax2x2a1.若a0，则f(x)x1在区间1，2上是减函数，g(a)f(2)3.若a0，则f(x)a2a1，f(x)图象的对称轴是直线x.当a0时，f(x)在区间1，2上是减函数，g(a)f(2)6a3.当0时，f(x)在区间1，2上是增函数，g(a)f(1)3a2.当12，即a时，g(a)f2a1.当2，即0a时，f(x)在区间1，2上是减函数，g(a)f(2)6a3.综上可得g(a)(3) 当x1，2时，h(x)ax1，在区间1，2上任取x1、x2，且x10.因为x2x10，x1x20，所以ax1x2(2a1)0，即ax1x22a1.当a0时，上面的不等式变为01，即a0时结论成立当a0时，x1x2，由1x1x24，得1，解得0a1.当a0时，x1x2，由1x1x20，cr.当且仅当x2时，函数f(x)取得最小值2.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若方程f(x)xa(ar)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合解：(1) 当且仅当x2时，函数f(x)取得最小值2. 二次函数yx2bxc的对称轴是x2.且有f(2)(2)22bc2，即2bc6. b4，c2. f(x)(2) 记方程：2xa(x0)，方程：x24x2xa(x0)分别研究方程和方程的根的情况：() 方程有且仅有一个实数根a2，方程没有实数根a2.() 方程有且仅有两个不相同的实数根，即方程x23x2a0有两个不相同的非正实数根 a2；方程有且仅有一个实数根，即方程x23x2a0有且仅有一个非正实数根 2a2或a.综上可知，当方程f(x)xa(ar)有三个不相同的实数根时，a0)上的最小值；(2) 对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3) 证明对一切x(0，)，都有lnx成立(1) 解：f(x)lnx1，当x时，f(x)0，f(x)单调递增 当0tt2时，t无解； 当0tt2，即0t时，f(x)minf； 当t0)，则h(x)1.当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增所以x1时，h(x)取得极小值，也就是最小值，即h(x)minh(1)4，所以a4.(3) 证明：问题等价于证明xlnx，x(0，)由(1)知，f(x)xlnx在(0，)上最小值是，当且仅当x时取得设m(x)，x(0，)，则m(x)，易得m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取得，从而对一切x(0，)，都有lnx成立定义在d上的函数f(x)，如果满足：对任意xd，存在常数m0，都有|f(x)|m成立，则称f(x)是d上的有界函数，其中m称为函数f(x)的上界已知函数f(x)1axx.(1) 当a1时，求函数f(x)在(，0)上的值域，并判断函数f(x)在(，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2) 若函数f(x)在0，)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围解：(1) 当a1时，f(x)1.因为f(x)在(，0)上递减，所以f(x)f(0)3，即f(x)在(，0)的值域为(3，)，故不存在常数m0，使|f(x)|m成立，所以函数f(x)在(，0)上不是有界函数(2) 由题意知，|f(x)|3在0，)上恒成立3f(x)3，4a2，所以42xa22x在0，)上恒成立所以a，设2xt，h(t)4t，p(t)2t，由x0，)得t1，设1t10，p(t1)p(t2)0，a1)(1) 当a1时，求证：函数f(x)在(0，)上单调递增；(2) 若函数y|f(x)t|1有三个零点，求t的值；(3) 若存在x1、x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1，试求a的取值范围审题引导： 本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题第(3)问要将“若存在x1、x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1”转化成|f(x)maxf(x)min|f(x)maxf(x)mine1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负规范解答： (1) 证明：f(x)axlna2xlna2x(ax1)lna.(2分)由于a1，故当x(0，)时，lna0，ax10，所以f(x)0.故函数f(x)在(0，)上单调递增(4分)(2) 解：当a0，a1时，因为f(0)0，且f(x)在r上单调递增，故f(x)0有唯一解x0.(6分)所以x、f(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)极小值又函数y|f(x)t|1有三个零点，所以方程f(x)t1有三个根，而t1t1，所以t1f(x)minf(0)1，解得t2.(10分)(3) 解：因为存在x1、x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1，所以当x1，1时，|f(x)maxf(x)min|f(x)maxf(x)mine1.(12分)由(2)知，f(x)在1，0上递减，在0，1上递增，所以当x1，1时，f(x)minf(0)1，f(x)maxmaxf(1)，f(1)而f(1)f(1)(a1lna)a2lna，记g(t)t2lnt(t0)，因为g(t)10(当且仅当t1时取等号)，所以g(t)t2lnt在t(0，)上单调递增，而g(1)0，所以当t1时，g(t)0；当0t1时，g(t)1时，f(1)f(1)；当0a1时，f(1)1时，由f(1)f(0)e1alnae1ae， 当0a0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可当x0时，g(x)lnx，令h(x)f(x)g(x)2x2lnxm，则h(x)4x，由h(x)0，得x.易知当x时，h(x)有极小值为ln2m，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，)内有两个交点，则h0，即ln2m0，所以m0)图象上一动点若点p、a之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为_答案：1，解析：设p，x0，则pa2(xa)2x22a2a22a2a22.令tx，则由x0，得t2，所以pa2t22at2a22(ta)2a22.由pa取得最小值，得或解得a1或a.3. (2013四川)设函数f(x)(ar，e为自然对数的底数)若存在b0，1使f(f(b)b成立，则a的取值范围是_答案：1，e解析：若存在b0，1使f(f(b)b成立，则a(b，f(b)，a(f(b)，b)都在yf(x)的图象上又f(x)在0，1上单调递增，所以(xaxa)(yaya)0，即(f(b)b)(bf(b)0，所以(f(b)b)20，所以f(b)b，从而f(x)x在0，1上有解，即x在0，1上有解，所以aexxx2，x0，1，令(x)exxx2，x0，1，则(x)ex2x10，所以(x)在0，1上单调递增又(0)1，(1)e，所以(x)1，e，即a1，e4. (2013南京期末)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)kx(k0)有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g(t)t26t7的值域为_答案：解析：在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间0，2，2，4，4，6上的三个半圆的图象，最大根t一定在区间(3，4)内，g(t)t26t7是二次函数，对称轴方程为4t3，g(t)的最小值为g，直线ykx(k0)与区间2，4上半圆相交，与区间4，6上半圆相离，故k2，而k2时，直线与半圆相切，由得(1k2)x26x80，取k2，得x26x71，tx，所以g(t)t26t71.1. 若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)g(x)2x，则函数g(x)的最小值是_答案：1解析：由f(x)g(x)2x，得f(x)g(x)2x，由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， f(x)g(x)2x， g(x)(2x2x)， g(x)1.2. 设函数f(x)(a0)的定义域为d，若所有点(s，f(t)(s、td)构成一个正方形区域，则a的值为_答案：4解析：|x1x2|fmax(x)，|a|2， a4.3. 对于实数a和b，定义运算“”：ab设f(x)(2x1)(x1)，且关于x的方程为f(x)m(mr)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1、x2、x3的取值范围是_答案：解析：由新定义得f(x)作出函数f(x)的图象，由图可知，当0m时，f(x)m(mr)恰有三个互不相等的实数根x1、x2、x3，不妨设x1x20，且x2x321， x2x3.令解得x或x(舍去)， x10， x1x2x30，证明：当0xf；(3) 若函数yf(x)的图象与x轴交于a、b两点，线段ab中点的横坐标为x0，证明：f(x0)0.(1) 解：f(x)的定义域为(0，), f(x)2ax(2a). 若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数 若a0，则由f(x)0得x，且当x时，f(x)0，当x时，f(x)0.所以f(x)在上单调递增，在上是减函数. (2) 解：设函数g(x)ff，则g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax，g(x)2a.当0x0，而g(0)0，所以g(x)0.故当0xf. (3) 证明：由(1)可得，当a0时，函数yf(x)的图象与x轴至多有一个交点，故a0，从而f(x)的