【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题10 数列通项的求解与数列求和》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.doc

必考问题10数列通项的求解与数列求和1(2011四川)数列an的前n项和为sn，若a11，an13sn(n1)，则a6()a344 b3441 c45 d451答案 a当n1时，an13sn，则an23sn1，an2an13sn13sn3an1，即an24an1.该数列从第二次开始是以4为公比的等比数列又a23s13a13，an当n6时，a63462344.2(2011安徽)若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10()a15 b12 c12 d15答案 aan(1)n(3n2)，则a1a2a10147102528(14)(710)(2528)3515.3(2012全国)已知等差数列an的前n项和为sn，a55，s515，则数列的前100项和为()a. b. c. d.答案 a设数列an的公差为d，则a14d5，s55a1d15，得d1，a11，故an1(n1)1n，所以，所以s10011，故选a.4(2011江西)已知数列an的前n项和sn满足snsmsnm，且a11，那么a10_.解析snsmsnm，且a11，s11，可令m1，得sn1sn1，sn1sn1，即当n1时，an11，a101.答案1本部分是高考重点考查的内容，题型有选择题、填空题和解答题对于数列的通项问题，求递推数列(以递推形式给出的数列)的通项是一个难点，而数列的求和问题多从数列的通项入手，并与不等式证明或求解结合，有一定难度(1)牢固掌握等差数列和等比数列的递推公式和通项公式，以一阶线性的递推公式求通项的六种方法(观察法、构造法、猜归法、累加法、累积法、待定系数法)为依托，掌握常见的递推数列的解题方法对于既非等差又非等比的数列要综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法进行研究，要善于将其转化为特殊数列，这是一种非常重要的学习能力(2)对于数列求和部分的复习要注意以下几点：熟练掌握等差数列、等比数列的求和公式及其应用，这是数列求和的基础；掌握好分组、裂项、错位相减、倒序相加法这几种重要的求和方法，特别要掌握好裂项与错位相减求和的方法，这是高考考查的重点；掌握一些与数列求和有关的综合问题的解决方法，如求数列前n项和的最值，研究前n项和所满足的不等式等.必备知识求通项公式的方法(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an.(2)利用前n项和与通项的关系an(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式(4)累加法：如an1anf(n)，累积法，如f(n)(5)转化法：an1aanb(a0，且a1)常用公式等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，123n，122232n2.常用裂项方法(1).(2).必备方法1利用转化，解决递推公式为sn与an的关系式：数列an的前n项和sn与通项an的关系：an通过纽带：ansnsn1(n2)，根据题目求解特点，消掉一个an或sn.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解如需消掉sn，利用已知递推式，把n换成(n1)得到递推式，两式相减即可若消掉an，只需把ansnsn1代入递推式即可不论哪种形式，需要注意公式ansnsn1成立的条件n2.2裂项相消法的基本思想是把数列的通项an分拆成anbn1bn或者anbnbn1或者anbn2bn等，从而达到在求和时逐项相消的目的，在解题中要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件3错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，乘以等比数列的公比再错位相减，即依据是：cnanbn，其中an是公差为d的等差数列，bn是公比为q(q1)的等比数列，则qcnqanbnanbn1，此时cn1qcn(an1an)bn1dbn1，这样就把对应相减的项变为了一个等比数列，从而达到求和的目的.常考查：已知等差(或等比)数列的相关项数等式，求通项；已知数列的前n项和sn，求通项an；已知数列的递推关系，求通项【例1】 已知数列an的前n项和为sn，满足sn2n2an.求证：数列an2是等比数列，并求数列an的通项公式an.审题视点 由ansnsn1(n2)转化为关于an与an1的递推关系可求解听课记录证明由sn2n2an，得sn2an2n，当nn*时，sn2an2n，当n1时，s12a12，则a12，则当n2时，sn12an12(n1)，得an2an2an12即an22(an12)2，an2是以a12为首项，以2为公比的等比数列，an242n1an2n12. 对于由数列的递推关系式求数列通项an的问题，一般有以下几种题型：(1)类型an1cand(c0,1)，可以通过待定系数法设an1c(an)，求出后，化为等比数列求通项；(2)类型an1anf(n)与an1f(n)an，可以分别通过累加、累乘求得通项；(3)类型an1canrn(c0，r0)，可以通过两边除以rn1，得，于是转化为类型(1)求解【突破训练1】 在数列an中，已知a13，an15an4，求数列an的通项公式解法一(待定系数法)设an1a5(ana)，则an15an4a，所以a1，即an115(an1)所以an1是以a114为首项，5为公比的等比数列所以an1(a11)5n145n1，所以an45n11.法二(除幂法)两边同时除以5n1，得.令bn，则bnbn1.所以bnb1(b2b1)(b3b2)(bn1bn2)(bnbn1)所以an5nbn35n15n1145n11.常考查：已知数列的通项公式，直接利用裂项相消法求和；一般是根据题设条件求出一个数列的通项或前n项和，再求由通项或前n项和构成一个新数列的前n项和【例2】 (2012长春二模)在等差数列an中，2a13a211,2a3a2a64，其前n项和为sn.(1)求数列an的通项公式(2)设数列bn满足bn，求数列bn的前n项和tn.审题视点 (1)求首项a1和公差d；(2)求sn后，把bn整理，再用裂项求和听课记录解(1)2a13a22a13(a1d)5a13d11，2a3a2a64，即2(a12d)a1da15d4得d2，a11，ana1(n1)d1(n1)22n1.(2)snna1n(n1)dn1n(n1)2n2，bn，tn1. 解决这一类题目关键是要正确拆分，要注意观察确定拆分后项的系数以及相消后的剩余项【突破训练2】 已知数列an是首项a1的等比数列，其前n项和sn中s3.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog|an|，tn，求tn.解(1)若q1，则s3不符合题意，q1.当q1时，由得q.ann1n1.(2)bnlog|an|logn1，tn.由已知一个数列的通项或两个数列的通项构造出新数列，运用错位相减法求和【例3】 (2012淄博一模)已知数列an中，a15，且an2an12n1(n2，且nn*)(1)求证：数列为等差数列；(2)求数列an1的前n项和sn.审题视点 (1)作差：后，把an2an12n1代入；(2)求出an1，利用错位相减法求和听课记录(1)证明设bn，b12.bnbn1(an2an1)1(2n1)11.所以数列为首项是2，公差是1的等差数列(2)解由(1)知，(n1)1，an1(n1)2n.sn221322n2n1(n1)2n，2sn222323n2n(n1)2n1.，得sn4(22232n)(n1)2n1，sn44(2n11)(n1)2n1，snn2n1. 错位相减法求数列的前n项和是一类重要方法在运用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题所谓“错位”，就是要找“同类项”相减，要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要弄清其项数【突破训练3】 (2012天津)已知an是等差数列，其前n项和为sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，s4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记tna1b1a2b2anbn，nn*，证明tn8an1bn1(nn*，n2)(1)解设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a1b12，得a423d，b42q3，s486d.由条件，得方程组解得所以an3n1，bn2n，nn*.(2)证明由(1)得tn22522823(3n1)2n，2tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由，得tn2232232332n(3n1)2n1(3n1)2n12(3n4)2n18，即tn8(3n4)2n1.而当n2时，an1bn1(3n4)2n1，所以tn8an1bn1，nn*，n2.递推数列及其应用递推数列问题一直是高考命题的特点，递推数列在求数列的通项、求和及其它应用中往往起至关重要的纽带作用，是解决后面问题的基础和台阶，此类题目需根据不同的题设条件，抓住数列递推关系式的特点，选择恰当的求解方法【示例】 (2012广东)设数列an的前n项和为sn，数列sn的前n项和为tn，满足tn2snn2，nn*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式满分解答(1)当n1时，t12s112.因为t1s1a1，所以a12a11，解得a11.(4分)(2)当n2时，sntntn12snn22sn1(n1)22sn2sn12n1，(6分)所以sn2sn12n1，所以sn12sn2n1，得an12an2.(8分)所以an122(an2)，即2(n2)(10分)当n1时，a123，a226，则2，所以当n1时也满足上式所以an2是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an232n1，所以an32n12.(14分)老师叮咛：本题考查递推数列，an与sn的关系求an，及放缩法证明不等式的方法，旨在考查转化与化归思想的应用.其中，第(1)问取n1，n2并结合已知条件可求得a1，属送分题；第(2)问需从sntntn1入手，寻找an1与an的递推关系式，将其转化为基本数列，从而可求得an.【试一试】 (2011皖南八校联考)在数列an中，a12，a24，an13an2an1(n2，nn*)(1)求证：数列an1an是等比数列，并求出数列an的通项公式；(2)记bn，数列bn的前n项和为sn，求使sn2 010的n的最小值解(1)an13an2