第三章中国古代数学.pdf

对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐 而这些是上帝 以数学语言透露给我们的 开普勒 德 中国历史纪年 夏 公元前 21 世纪 公元前 16 世纪 商 公元前 16 世纪 公元前 11 世纪 西周 公元前 11 世纪 公元前 771 年 东周 公元前 771 年 公元前 256 年 春秋 公元前 770 年 公元前 476 年 战国 公元前 475 年 公元前 221 年 秦 公元前 221 年 公元前 207 年 西汉 公元前 206 年 公元 8 年 东汉 公元 25 年 公元 220 年 三国 公元 220 年 公元 280 年 西晋 公元 265 年 公元 317 年 东晋 公元 317 年 公元 420 年 南北朝 公元 420 年 公元 589 年 隋 公元 581 公元 618 年 唐 公元 618 年 公元 907 年 五代 公元 907 公元 960 年 北宋 辽 公元 960 年 公元 1127 年 南宋 金 公元 1127 年 公元 1279 年 元 公元 1271 年 公元 1368 年 明 公元 1368 年 公元 1644 年 清 公元 1644 年 公元 1911 年 第 3 章 中国古代数学 3 1 中国古代初等数学体系的形成 一 早期数学知识的积累 远古至西汉末年 公元一世纪初以前 1 算术方面 1 十进制记数系统 2 二进制思想 3 负数的使用 4 算筹的出现 2 几何方面 1 规矩等几何作图工具的产生 2 勾股定理的出现 3 等分圆周 4 角的概念 5 多面体及体积计算 6 圆周率计算 3 其它方面 1 运筹学思想 2 数学哲学思想 3 无穷与极限思想 4 数学理论研究 4 周髀算经 中的数学知识 1 较复杂的分数四则运算 2 等差数列与圆周长的求法 3 一次内插法的应用 4 勾股定理及其应用 5 比例相似原理 二 初等数学体系的形成 西汉末年 标志 九章算术 的出现 九章算术 分为九章 每章一卷 共 246 道应用问题 其中 第一章 方田 主要讲平面图形面积计算和分数算法 第二章 粟米 主要讲各种比例问题 第三章 衰 cui 分 主要讲比例分配问题 第四章 少广 主要讲开方问题 第五章 商功 主要讲立体体积计算问题 第六章 均输 主要讲根据均输法纳税和输送等方面的计算问题 第七章 盈不足 主要讲算术中盈亏问题的解法和比例问题 第八章 方程 主要讲多元一次方程组应用问题的解法 第九章 勾股 主要讲勾股定理的应用 1 九章算术 中的算术内容 1 分数计算 2 比例算法 率的理论 3 盈亏计算问题 2 九章算术 中的代数内容 1 开平方 立方 2 解二次方程 3 正负数 4 多元一次方程组及其解法 例 今有上禾三秉 中禾二秉 下禾一秉 实三十九斗 上禾二秉 中禾三秉 下禾一秉 实三十四斗 上禾一秉 中禾二秉 下禾三秉 实二十六斗 问上 中 下禾各一秉 实各 几何 3 九章算术 中的几何内容 1 面积的计算 正方形 方田 长方形 直田 三角形 圭田 梯形 邪田 箕田 圆 圆田 弓形 弧田 2 体积计算 立方体 长方体 楔形平截体 圆柱 正四棱台 圆台 四角锥 圆锥 长方体的斜截体 壍堵 底为直角三角形 一棱垂于直锐角顶点的三棱锥 鳖臑 楔形体 羡除 3 勾股定理及其应用 我国的古代数学并没有采用欧几里得的演绎形式 但同样达到正确结论 其成果之辉煌 远非同时期世界其它地区的数学可以比拟 吴文俊 3 2 中国古代数学的第一个高峰 东汉初期 北宋初期 公元一世纪 十世纪末 一 赵君卿与 周髀算经 注 赵君卿 本名赵爽 生平不详 可能是东汉初至三国时代人 曾深入研究 周髀算经 为此书写序言 并作详细注解 其主要数学贡献 1 第一次给出勾股定理的理论证明 勾股圆方图 2 研究勾 股 弦及其和差数关系 3 研究二次方程求根公式及根与系数关系 4 提出分数运算的理论 齐同术 二 刘徽及其数学贡献 1 刘徽及其数学思想 刘徽 三国时代魏国人 公元三世纪 研究过天文历法 主要工作是数学研究 对 九 章算术 进行了详细注解 并写了序言 还写了 重差 一卷 后人称 海岛算经 刘徽是中国数学史上第一个最伟大的数学家 他在批判前人的基础上 形成一套较先进 的数学思想 1 有朴素辨证法思想 2 注意寻求数学的一般规律 3 重视转化思想和方法 4 注意数学推理的逻辑性 5 注意数学的直观性 理论与直观并用 2 刘徽的主要数学贡献 1 算术方面 首次使用十进小数 刘徽是世界上第一个使用十进小数的人 外国直到十四世纪以 后才出现十进小数 晚了一千多年 完善齐同术 刘徽借用赵君卿的 齐同术 这个术语 形成一套完整的分数运算的 齐 同术 理论 齐同术 国外无人提出 是我国古代算术的一个特色 其它 刘徽明确提出分数的基本性质 法实俱长 意亦等也 他对求最大公约数 的方法进行了理论说明 对化带分数为假分数的方法进一步明确 他还研究了各种比例算法 并统名之曰 今有术 2 代数方面 首次给出正负数定义 记法及性质 刘徽首次给出正负数定义 今两算得失相反 要令正负以名之 首次提出表示正负数的两种方法 正算赤 负算黑 否则以邪正为异 还对正负数的绝对值进行说明 言负者未必负于少 言正者未必正于多 虽复赤黑异算 无伤 改进解线性方程组的 直除法 刘徽明确提出解线性方程组中有 n 个未知数就要列出 n 个 方程 他将 直除法 改进为将对应项系数相乘 再对减一次即可消项 这与现代加减消元法 本质一致 提出解方程组的新方法 方程 章最后一题涉及五元线性方程组 用直除法或互乘对减法 求解较繁 刘徽写 方程新术 一文附于后 提出三种新解法 研究等差数列 并给出求和公式 3 几何方面 提出 割圆术 刘徽用圆内接正多边形面积逼近圆面积的方法 算得3 14 或 15750 后人称为 徽率 开始几何定理的证明 刘徽采用割补法 称 出入相补原理 比较严密地证明了许多几何 定理 他还证明了 用平面截两个立体 如果截面面积之比为二比一 则这两个立体体积之 比为二比一 这里 他用到一个原理 两个等高立体 用平行于底的平面截得的面积之比为 定值 则这两个立体的体积之比等于该定值 后人称此为 刘徽原理 研究了球体体积 作球的外切立方体 再用两个直径等于球直径的圆柱从立方体内切穿 这两个圆柱的公共部分刘徽称之为 牟合方盖 他用水平截面截球和牟合方盖 算得其面积 之比为 4 于是由刘徽原理得 他企图求出牟合方盖的体积 但未成功 5 创立重差术 所谓重差术 是指测量某不可到达物体的高度或深度时 通过两个不同点立杆观测 所 得两次数据 涉及两次差 用比例方法即可算得该物体高度或深度 此法古已有之 刘徽进 行了系统研究整理 重差术与西方的平面三角起同样作用 为我国数学之特色 三 祖冲之与圆周率 祖冲之 公元 429 年 500 年 生活于南朝的宋齐之间 曾长期在政府里做一些小官 他利用一切业余时间从事天文历法和数学研究 他研究过 九章算术 和刘徽注解 也为 九 章算术 和刘徽的 重差 作过注 并著 缀术 一书 后失传 1 祖冲之在圆周率方面的伟大贡献 祖冲之计算圆周率为 祖冲之还给出圆周率 的分数表示 约率 密率 祖率 2 祖冲之父子关于球体积的计算 祖冲之和他的儿子祖暅研究过球体体积 他们沿袭刘徽的思想 不同之处不是直接计算 牟合方盖的体积 而是计算立方体挖掉牟合方盖后剩余部分 姑且称 方盖差 的体积 他 们将方盖差分为八个相等的立体 称为 小方盖差 他们发现 小方盖差与八分之一小立 方体等底等高的倒四棱锥用同一平截面截 具有相同面积 他们提出 幂势相同 则积不容 异 的原理 即刘徽原理的特例 后人称祖暅原理 从而求得球体体积公式 4 极限思想 刘徽在研究面积 体积以及开方时都用到极限思想 如在割圆术中 他用圆内接正多边 形逼近圆的面积 并说 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体 而无所失也 这与现代极限思想十分接近 4VV 球牟 3 14159263 1415927 22 7 355 113 四 算经十书 周髀算经 九章算术 海岛算经 孙子算经 张邱建算经 夏侯阳算经 五曹算经 五经算术 缀术 缉古算经 其中数学价值较高的有 孙子算经 中的 物不知其数 问题 今有物不知其数 三三数之剩二 五五数之剩 三 七七数之剩二 问物几何 其解法包含一次同余式组的求解 在数学史上被称为 中国 剩余定理 或 孙子定理 张邱建算经 中的 百鸡问题 今有鸡翁一 直钱五 鸡母一 直钱三 鸡雏三 直钱一 凡百钱买鸡百只 问鸡翁 母 雏各几何 涉及三元不定方程求解 缉古算经 中则出现求三次方程正根的数值解法 这些都是在世界上具有领先水平的 成果 我国古算往往寓理于算 而以机械化的思想方法为其特色 求一算法与开方算法 即为 体现这种思想方法的两大辉煌成就 这与西方数学之以演绎推理为主的公理化体系正相对照 而互相辉映 吴文俊 3 3 中国古代数学的第二个高峰 北宋初期 元代中期 公元 11 世纪 14 世纪 一 贾宪 刘益与数字方程求解 1 贾宪三角与增乘开方法 贾宪 北宋人 约生活于 11 世纪 曾著 黄帝九章细草 等三部著作 均失传 贾宪的主要数学贡献是 1 提出 开方作法本源图 实为二项式展开系数表 后人称 贾宪三角形 或 杨辉三角形 西方称为 帕斯卡三角形 但比贾宪晚了几百年 2 首创增乘开方法 贾宪创造的增乘开方法是一种开高次方的新方法 是对 九章算术 中开平 立方方法的发展 为解高次数字方程开辟了道路 西方同类方法的出现晚了七百多 年 2 刘益与方程解法 刘益大约是贾宪同时代的人 其数学著作 议古根源 主要是高次方程求解 其主要创 造是 1 首创方程的首项系数可正可负 为任意整数 2 首次研究了一个四次方程 3 方程解法采用 益积术 和 减从术 二 沈括的数学研究 沈括 公元 1030 年 1094 年 是我国历史上杰出的科学家 晚年著 梦溪笔谈 一书 被誉为 中国科学史的里程碑 其数学方面的主要贡献是 1 发明 隙积术 即堆垛计算术 开创了我国研究高阶等差数列的先河 2 创立 会圆术 已知弓形的矢 高 和圆的直径 求弧长 3 计算 棋局都数 计算围棋棋局数 涉及组合计数问题 沈括用三种方法算得总局数 为 更重要的是 沈括在计算中用到指数运算法则 三 秦九韶和 数书九章 秦九韶 约 1202 年 1261 年 南宋数学家 四川安岳人 1247 年完成重要数学著作 数书九章 标志着我国数学发展达到新的更高水平 使秦九韶成为中国数学史上仅次于 刘徽的大数学家 1 大衍求一术 大衍总数术 432 5521284096xxx 43 1 7410000 秦九韶把 孙子算经 中 物不知其数 所涉及到的特殊一次同余式组推广到更一般情形 并给出完善的程序化解法 即大衍求一术 大衍总数术 欧拉于 1743 年 高斯于 1801 年 才得到类似的定理 2 正负开方术 秦九韶进一步发展和完善了贾宪 刘益解高次方程的方法 他的正负开方术比增乘开方 法改进之处是 他规定 实常为负 常数项为负 从而使后面的运算统一为加法 使整个 解方程过程实现程序化 机械化操作 数书九章 共讨论了 21 个方程 最高次数达到 10 次 这在当时世界上是空前的 3 彻底改进线性方程组解法 秦九韶将解线性方程组的消元法彻底改进为互乘相消法 特别值得提出的是他在解线性 方程组中用到相当于今天的增广矩阵初等变换 4 三斜求积 秦九韶解决了已知三角形三边求面积的问题 他给出的面积公式与海伦公式等价 四 杨辉与数学教育 杨辉是南宋 13 世纪后半叶 钱塘 今杭州市 人 他是当时东南一带有名的数学家 共编成 详解九章算法 12 卷 1261 年 日用算法 2 卷 1262 年 乘除通变本末 3 卷 1274 年 田亩比类乘除捷法 2 卷 1275 年 续古摘奇算法 2 卷 1275 年 等数学书 其主要数学贡献为 1 数学教育与数学普及工作 1 数学诗歌 2 简算法 3 三角垛 4 果子垛 3 纵横图 百子图 攒九图 等 五 李冶与天元术 李冶 1192 1279 金元时期真定南栾城 今河北栾县 人 数学著作 测圆海镜 12 卷 1248 年 和 益古演段 3 卷 1259 年 他的主要贡献 改进天元术为一个 元 字 表示一次项或用一个 太 字表示常数项 只用一个字 同时对负系数用斜刻划表示 天元术是列方程的方法 它是中国数学向符号代数发展的尝试 天元术约产生于 12 世 纪 以前解方程都是用筹算 而筹算中无未知数 显示不出各项次数 于是就产生了以文字 为记号给多项式系数命名的方法 最初是每一项用一个文字表示 表示方法如下 最高 9 次幂 最低 9 次幂 仙 明 霄 汉 垒 层 高 上 天 人 地 下 低 减 落 逝 泉 暗 鬼 六 朱世杰与四元术 112 136 26 n nn nn s 1111 22 6 sababcdcd h bd adb cca 98765432 9876543210 a xa xa xa xa xa xa xa xa xa 123456789 123456789 b xb xb xb xb xb xb xb xb x 朱世杰 元代人 1300 年前后 寓居燕山 今北京市 是一位平民数学家和数学教 育家 代表著作有 算术启蒙 1299 年 和 四元玉鉴 1303 年 前者是一部数学启蒙 普及读物 后流传海外 四元玉鉴 是宋元数学高峰的又一标志性著作 最突出的贡献有 招差术 即高次内插法 垛积术 高阶等差数列求和 以及四元术 多元高次方程组及消 元解法 等 1 首创招差术 四元玉鉴 如象招数 第五问 以立方招兵 初招方面三尺 次招方面转多一尺 今 招十五日 问招兵几何 相当于求和 朱世杰采用招差公式求和 其算法相当于今天的四次内插公式 2 发展垛积术 朱世杰在 四元玉鉴 中给出了一系列所谓 三角垛 高阶等差数列 公式 1 茭草垛 2 三角垛 3 撒星形垛 4 一般 p 阶等差级数求和公式 朱世杰在垛积术方面的功绩 不仅是获得了一般公式 而且还研究了三角垛公式与贾宪三角 形以及招差术之间的联系 3 建立四元术 四元术就是用 天 地 人 物 表示四个不同未知数来列出多元高次方程组的方 法 朱世杰在解多元高次联立方程组时 广泛使用了 剔消 易位 互隐通分 内外 行相乘 等多种消元手段 表现了熟练的消元技巧 宋元以后 中国古代数学逐步走向衰落 同时西方数学开始进入中国 于是中国数学开 333 3417s 1 1 1231 2 n r rnn n 1 111 1136112 2 23 n r rrnnnnn 1 11 1214 1012 3 6 1 123 4 n r r