【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题17 概率问题》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.doc

必考问题17概率问题1(2012安徽)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()a. b. c. d.答案b记1个红球为a,2个白球为b1，b2,3个黑球为c1，c2，c3，则从中任取2个球，基本事件空间(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共计15种，而两球颜色为一白一黑的有如下6种：(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，所以所求概率为.2(2011新课标全国)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()a. b. c. d.答案a由题意得，甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共339(种)，又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为3，故概率p.3(2012北京)设不等式组表示的平面区域为d.在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()a. b. c. d.答案d由题意知此概型为几何概型，设所求事件为a，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量，满足事件a的是阴影部分区域a，故由几何概型的概率公式得p(a)4(2012浙江)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是_解析五点中任取两点的不同取法共有10种，而两点之间距离为的情况有4种，故概率为.答案1古典概型是每年必考内容，试题借助一定的背景材料考查，近几年也常与抽样方法、统计等内容结合出现在解答题中，试题难度中等或稍易2几何概型常与函数、方程、不等式等联系出现在客观题中试题难度较低1对于用古典概型求概率的问题，可先用列举法列举出所有的基本事件，再找出所求事件包含的基本事件，就可用它们的个数之比求概率了2对于古典概型与统计的综合题，首先要利用统计知识提取相关的信息，为后面利用古典概型解决问题打下基础另外，对于复杂的古典概型问题，首先要读懂题意，找准事件的具体意义，然后再结合互斥事件、对立事件求其概率.必备知识在大量重复进行同一试验时，事件a发生的频率总是接近于某一常数，并在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件a的概率，记作p(a)，且0p(a)1.概率的基本性质(1)随机事件a的概率：0p(a)1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.互斥事件与对立事件(1)互斥事件有一个发生的概率：如果事件a，b互斥，则事件a，b有一个发生的概率p(ab)p(a)p(b)(2)如果事件a与事件b互为对立事件，那么p(ab)p(a)p(b)1，即p(a)1p(b)古典概型(1)特点：有限性，等可能性(2)概率公式：p(a).几何概型(1)特点：无限性，等可能性(2)概率公式：p(a).必备方法1用互斥事件和对立事件的概率公式解题，关键是弄清所求事件是由哪些事件组成的，它们之间有什么关系，一般地较为复杂的事件都可视为若干互斥事件的和事件，从而可用概率加法公式求解，而含有至少、至多等词语时，事件往往较复杂，可考虑用对立事件的概率公式求解2解答古典概型、几何概型的概率问题时应注意：(1)求解有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(2)在用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(3)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解(4)利用几何概型求概率时，关键是寻找试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域注意：在解题过程中要首先辨别所求解的问题是古典概型还是几何概型常考查：将等可能事件、互斥事件等多种事件交汇在一起进行考查，是高考考查的重点【例1】 新华中学高三(1)班共有学生50名，其中男生30名、女生20名，采用分层抽样的方法选出5人参加一个座谈会(1)求某同学被抽到的概率以及选出的男、女同学的人数；(2)座谈会结束后，决定选出2名同学作典型发言，方法是先从5人中选出1名同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出1名同学发言，求选出的2名同学中恰好有1名为女同学的概率审题视点 (1)根据抽样的等概率性，总体中每个个体被抽取到的概率都是样本容量与总体容量的比值，这样即可求出某同学被抽到的概率，然后根据抽取比例计算男、女生人数；(2)在5人中先抽取1人，再在剩下的4人中抽取1人，可以把5名学生用字母表示，列举基本事件个数，以及找出随机事件“选出的2名同学中恰好有1名为女同学”所含有的基本事件个数听课记录解(1)某个同学被抽到的概率p，根据分层抽样方法，应抽取男同学3人，女同学2人(2)记选出的3名男同学为a1，a2，a3,2名女同学为b1，b2.则基本事件是(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，b1)基本事件的总数为20个，其中满足“恰好有1名为女同学”的基本事件有12个，故所求的概率p. (1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数(2)对于较复杂的题目要注意正确分类，分类时应不重不漏【突破训练1】 (2011天津)编号分别为a1，a2，a16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号a1a2a3a4a5a6a7a8得分1535212825361834运动员编号a9a10a11a12a13a14a15a16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间10,20)20,30)30,40人数(2)从得分在区间20,30)内的运动员中随机抽取2人，用运动员编号列出所有可能的抽取结果；求这2人得分之和大于50的概率解(1)4,6,6.(2)得分在区间20,30)内的运动员编号为a3，a4，a5，a10，a11，a13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：a3，a4，a3，a5，a3，a10，a3，a11，a3，a13，a4，a5，a4，a10，a4，a11，a4，a13，a5，a10，a5，a11，a5，a13，a10，a11，a10，a13，a11，a13，共15种“从得分在区间20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件b)的所有可能结果有：a4，a5，a4，a10，a4，a11，a5，a10，a10，a11，共5种所以p(b).常考查：与平面区域、空间几何体、函数等结合是命题的一个方向【例2】 (1)如图，在矩形abcd中，点e为边cd的中点若在矩形abcd内部随机取一个点q，则点q取自abe内部的概率等于()a. b. c. d.(2)(2012辽宁)在长为12 cm的线段ab上任取一点c.现作一矩形，邻边长分别等于线段ac，cb的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为()a. b. c. d.审题视点 (1)所求概率p.(2)由x(12x)20得2x10，则所求概率p.听课记录解析(1)由题意知，该题考查几何概型，故p.(2)由于在长为12 cm的线段ab上任取一点c，因此总的几何度量为12，设acx，则bc12x，由x(12x)20，得2x10，即满足矩形面积大于20 cm2的点在c1与c2之间的部分，如图所示因此所求概率为，即，故选c.答案(1)c(2)c 利用几何概型求概率时，要选择好角度，从分析基本事件的“等可能性”入手，将每个基本事件理解为在某个特定区域内随机地取一点，而某个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点【突破训练2】 (2011湖南)已知圆c：x2y212，直线l：4x3y25.(1)圆c的圆心到直线l的距离为_；(2)圆c上任意一点a到直线l的距离小于2的概率为_解析圆心c到l的距离为5.如图ll，且o到l的距离为3，sin ode，所以ode60，从而bod60，点a应在劣弧上，所以满足条件的概率为.答案(1)5(2)互斥事件、对立事件的概率常借助古典概型来考查，以实际生产、生活为背景，命制试题，解题的关键是遇到复杂的事件时可分解为几个互斥事件的和，或利用对立事件求复杂事件的概率【例3】 (2011江西)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为a饮料，另外2杯为b饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯a饮料若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格假设此人对a和b两种饮料没有鉴别能力(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率审题视点 (1)利用列举法求古典概型的概率(2)利用互斥事件分别求优秀和良好的概率，再求其和听课记录解将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示a饮料，编号4,5表示b饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可见共有10种令d表示此人被评为优秀的事件，e表示此人被评为良好的事件，f表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)p(d)；(2)p(e)，p(f)p(d)p(e). 求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率【突破训练3】 现有7名数理化成绩优秀者，其中a1，a2，a3的数学成绩优秀，b1，b2的物理成绩优秀，c1，c2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛(1)求c1被选中的概率；(2)求a1和b1不全被选中的概率解(1)从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为：(a1，b1，c1)，(a1，b1，c2)，(a1，b2，c1)，(a1，b2，c2)，(a2，b1，c1)，(a2，b1，c2)，(a2，b2，c1)，(a2，b2，c2)，(a3，b1，c1)，(a3，b1，c2)，(a3，b2，c1)，(a3，b2，c2)c1恰被选中有6个基本事件：(a1，b1，c1)，(a1，b2，c1)，(a2，b1，c1)，(a2，b2，c1)，(a3，b1，c1)，(a3，b2，c1)，因而p(m).(2)用n表示“a1，b1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“a1，b1全被选中”这一事件，由于(a1，b1，c1)，(a1，b1，c2)，所以事件由两个基本事件组成，所以p()，由对立事件的概率公式得p(n)1p()1.与频率有关的概率问题与频率有关的概率问题是近几年高考的热点解此类题的关键是准确理解频率与概率的关系，试题难度不大下面通过2012年湖南高考题为例介绍一下频率在概率问题中的简单应用【示例】 (2012湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)满分解答(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)(6分)(2)记a为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，a1，a2，a3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”将频率视为概率得p(a1)，p(a2)，p(a3).因为aa1a2a3，且a1，a2，a3是互斥事件，所以p(a)p(a1a2a3)p(a1)p(a2)p(a3).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.(12分)老师叮咛：本题主要考查统计和概率，旨在考查考生应用所学知识解决实际问题的能力及数据处理的能力.其中，第(1)问由表中数据及已知数据的关系列方程求x，y的值，计算出100位顾客的总结算时间，然后除以100得到平均数，但仍有考生只是简