第六章 插值计算与插值多项式模型.ppt

第六章插值计算与插值多项式模型 插值计算是实验数据分析及建立实验模型中常用的基础方法之一 是用一个简单的表达式近似表达某一函数 使它们在给定的若干点处有相同的函数值 利用这一表达式来分析和研究函数的形态或计算试验点以外点的试验取值 插值计算的数学描述 设y f x 在区间 a b 上连续 且已知它在 a b 上n个不同的点x1 x2 x3 xn上取值为y1 y2 y3 yn 求一个函数P x 使它在x1 x2 xn各点处的函数值和f x 相同 即P xi f xi yi I 1 2 n 上述各点x1 x2 xn称为插值结点或称结点 P x 称为插值函数 f x 称为被研究函数或被插函数 以两个相距最远的结为端点的区间称为插值区间 在区间 a b 上用函数P x 近似描述f x 除了结点处以外均有误差 余项 R x f x 一P x 表示误差的大小 通常愈少 则表明插值函数愈接近被插函数 本章重点讨论常用的拉氏插值 牛顿插值和近代的样条插值方法 线性插值 线性插值是最简单的插值方法 设已知函数y f x 在x0 x1处的值分别为y0 y1 则过点 x0 y0 xl y1 的连线方程为 x x1 内任一点的插值为 也可以推广为 这样处理实际上是将n十1个点 x y xl y1 x yn 顺序连接成折线近似代替原来的曲线y f x 只有当线性关系非常好的时候 计算才较准确 6 3拉格朗日插值 6 3 1插值多项式模型已知函数y f x 在n个点xi上的值f xi 记作yi f xi i l 2 n 求一个低于n的插值多项式Ln 1 x 使Ln 1 xi yi i 1 2 n 拉格朗日插值法求多项式Ln 1 xi 模型为 这是一组n 1次多项式 其分母是n 1个一次式之积 分子每一个因子都是 x xi 形式 且缺少 x xi 因子 分母是xi代替分子中的x而得到 不包含x在内 且xl x2 xn是互不相同的 所以分母不为零 数学上可以证明这种多项式可以满足Ln 1 x y的要求 而且是唯一的 当n 2 拉格朗多项式即为线性插值 当n 3 上述多项式即为典型的抛物线插值多项式 为常用公式之一 拉格朗日多项式形式简单 对称 便于计算机编程计算 但计算工作量较大 而且当全部点作插值时 舍人误差也大 多项式次数较高 曲线的波动较大 一般计算时 取距插值点j较近的几个点进行插值计算 拉氏插值模型的余项估计 用拉氏插值多项式模型表示函数f x 时 引起的误差由Rn 1 x f x Ln 1 x 给出 或写成如下形式 K值由微分中值定理导出 式中 满足 min x1 x2 xn max x1 x2 xn 故余项可表达为 如果f x 的n阶导数f n x 在区间 xl xn 的绝对值最大值或上界为Mn 常数 则导出 由此可知 余项大小不仅与f x 的n阶导数有关 而且还与插值点的位置密切有关 例6 l已知一氧化碳在溶液中的溶解度为 t 0135溶解度xi0 33460 32130 2978O 2774求4 时溶解度为多少 解 取二次拉格朗日模型进行插值计算 Ln 1 x 模型为 当X 4 时 例题6 l的Excel解法依次将原始数据输人表格的前面两列 然后输人插值点 按照公式依次输人Wi和Wj 乘Yl的计算公式 由于Excel具有输人公式 自动显示计算结果的能力 所以可以直接在屏幕上看到相应的计算结果 最后在最下面的一行中输人求和计算公式 SUM E3 E5 得到预料中的计算结果数值0 287213 牛顿插值牛顿插值多项式的数学模型 如果将函数f x 在诸点x0 x1 xn满足 xi xi 1十h上的函数值f x0 f x0 h f x0十2h f x0十3h f x0 nh 简记为f0 f1 f2 fn将相邻两数相减得 简记为 上述各式称为一阶差分 类似地 二阶差分 i阶差分为 或简记为 差商是设函数f x 以及自变量的一系列互不相等的值为 x0 x1 xn 所谓不相等 即在f j时 有xi xj 此时称 为一阶差商 同样二阶差商 其余类推 如果x0 x1 x2 xn是等步长的 且步长为h 即x1 x0十h x2 x0 2h xn x0十nh 则m阶差商与差分的关系为 注意 等式右边为常数 若各数据点m阶差商为常数 则说明已不用再计算更高一阶差商值 牛顿插值多项式为 当n 3点计算时 上式可写成 例 6 2某流体实测温度与粘度的关系如下表所示 试求出t 25 时的粘度值 解 用牛顿插值计算首先求一阶差分 二阶差分 并列入表中 由表可以看出 3已接近常数 故代人牛顿插值公式y0 0 1 0051 x0 20 x1 22 y x 25 h x1 x0 2所以 例6 3某二元物质 溶质在溶剂中的溶解度C与溶剂组成X的关系如下表 试用差分法确定两者之间的模型关系 解 设所求的多次式模型为 此时h 0 1 并将求得的 代人式中 即有 展开化简得到 C 0 0024十2 017x十0 965x2十3 021x3 对于内在数学规律复杂的数据 要使插值函数P xi 尽量接近真实函数f xi 减小在插值点上的误差 插值多项式的次数则应高一些为好 但插值多项式的次数高了又会造成误差积累过大 为解决这一矛盾 可以将原始数据分段 分布采用次数较低的多项式插值 但在不同数据段接点上 由于插值函数不同 会造成曲线不光滑 在很多实际应用场合 这又是不允许的 如时间设备的外形尺寸放样等问题 因此又出现了新的插值方法 如能保证P xi f xi yi P xi f xi y i的Hemit插值 保证P xi f xi yi P xi f xi y i P xi f xi y i的样条函数插值等 6 5样条插值 上用多项式插值时 当插值结点很多时 作一个高次插值多项式是不理想的 通常采用分段插值法 然而分段插值只能保证插值曲线连续 不能保证光滑 即节点处的导数不连续 样条插值就是既能够保证结点处曲线连续 又能保证光滑的一种计算方法 本节只讨论常用的三次样条插值 其特点是它可保证拟合曲线一阶及二阶导数连续 插值多项式次数不高 为三次 一阶及二阶导数可不通过求导计算设曲线y f x 通过平面上n个点 xi yi 假定a x1 x2 xn b 于是 三次样条插值函数S x 就是满足如下条件的函数 1 S xi yi i 1 2 n 2 S x 在插值区间 a b 上有一阶及二阶连续导数 以保证曲线的光滑 3 在每个子区间 xi xi 1 上 s x 均为三次多项式 可见 三次样条插值函数是一个分段函数 它在每个子区间上都是x的三次多项式 但通常又是不相同的 同时 它在各分段结点处又都有一阶及二阶导数连续 子区间 xi xi 1 三次样条插值公式为 i 1 2 n 1 式中hi xi 1 xi 是任一子区间 xi xi 1