山东省聊城市中考数学专题复习讲义 有理数.doc

专题复习精品讲义第一章 有理数本章小结小结1 本章概述本章的知识要点主要包括有理数的意义和有理数的运算两部分内容，其课标要求是： 理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值；理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；理解有理数的运算律，并能灵活使用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单的问题；会用科学记数法表示较大的数，并能按要求取近似数小结2 本章学习重难点本章的重点是：有理数的意义及运算；本章的难点是：负数概念的建立以及对有理数运算法则的理解学好本章的关键是能够运用有理数的运算法则正确进行运算，并且能够掌握好有理数的运算顺序及符号的确定小结3 本章学法点津 1学习本章知识要注重从算术到代数的过渡，要克服学习小学数学时的思维局限性，考虑问题时不能忽略负数的可能性 2注重学习方法的更新和能力的提升学习中要多观察思考、讨论交流、探究反思、归纳总结，从而提升自己的思维能力 3注重数学思想的运用掌握数形结合、分类、转化、类比等数学思想是学好数学的重要保障知识网络结构图重点题型总结及应用题型一 绝对值理解绝对值的意义及性质是难点，由于|a|表示的是表示数a的点到原点的距离，因此|a|0可运用|a|的非负性进行求解或判断某些字母的取值例1 如果a与3互为相反数，那么|a +2|等于( )a5 b1 c-1 d-5解析：a与3互为相反数，则a-3，所以|a+2|-3+2|-1|1答案：b例2 若(a-1)2+|b+2|0，则a+ b .解析：由于(a-1)20，|b+2|0，又(a-1)2与|b+2|互为相反数，因此 (a-1)20且|b+2|0，则a1，b-2，所以a +b-1 答案：-1规律若几个非负数的和为0，则这几个数分别为0题型二 有理数的运算有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方，是初中数学运算的基础要熟记法则，灵活运算，进行混合运算时，还要注意运算顺序及运算律的应用例3 (-1)2 011的相反数是( )a1 b-1 c2 011 d-2 011解析：由于指数2 011为奇数，所以(-1)2 011-1，其相反数为1答案：a例4 计算：(1)；(2)解：(1)4-94-40(2)题型三 运用运算律简化运算过程 运用加法的交换律、结合律，把某些具有相同属性的数(如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等)分别结合在一起相加，可以简化运算过程例5 计算下列各题 (1)21-495+102-2-35+19；(2)；(3)；(4)分析：混合运算，应按法则进行，同时注意灵活运用运算律，简化运算过程解：(1)原式(21+19)+102+(-495-35)-2502-55-48；(2)原式；(3)原式；(4)原式点拨 (1)正、负数分别结合相加；(2)分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；(3)除法转化为乘法，正向应用乘法分配律；(4)逆向应用分配律a(b+c)ab+ac，即ab+aca (b+c)题型四 利用特殊规律解有关分数的计算题根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采取运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的例6 计算下列各题(1)；(2)；(3)(4).分析：(1)带分数相加，可将带分数中整数部分与分数部分拆开分别相加 (2)本题若按常规计算方法比较麻烦，但若用运算律可简化运算(3)由于，所以将原算式变形裂项后，再进行计算(4)算式中，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，可在算式中加上最后一个分数，再减去，加上的与前一个分数运算，所得的和再与前一个分数运算，依次向前进行，最终求得运算结果解：(1)原式-5-；(2).(3)原式(4)原式点拨利用规律特点，灵活解分数计算题，需要认真观察，注意经常训练，提高思维的灵活性题型五 有理数运算的应用用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算例7 有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：12，-08，23，17，-15，-27，2，-02，则这8箱橘子的总重量是多少?分析：本题运用有理数的加法、乘法解决问题先求出总增减量，再求出8箱橘子的总标准重量，两者之和便为这8箱橘子的实际总重量 解析：12+(-08)+23+17+(-15)+(-27)+2+(-02) 12-08+23+17-15-27+2-02 (23+17+2)+(-08-27-15)+(12-02)6-5+12则158+2122(千克) 答案：这8箱橘子的总重量是122千克 例8 一货车为一家摩托车配件批发部送货，先向南走了8千米，到达“华能”修理部，又向北走了35千米，到达“捷达”修理部，继续向北走了75千米，到达“志远”修理部，最后又回到批发部 (1)以批发部为原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能够在数轴上表示出“华能”“捷达”“志远”三家修理部的位置吗? (2)“志远”修理部距“捷达”修理部多远? (3)货车一共行驶了多少千米?解：(1)能如图1-6-1所示(2)由数轴可知“志远”修理部距“捷达”修理部45-(-3)45+375(千米) (3)货车共行驶了|8|+|-35|+|-75|+|3|8+35+75+322(千米)题型六 探索数字规律 找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题，这类题目灵活多变解题时要认真观察、分析思考，找出规律，并运用规律解决问题 例9 某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两个，25小时后，这种细菌可分裂为( ) a8个 b16个 c32个 d. 64个解析：本题数字的规律是1248，每半小时细菌个数变为原来的2倍，所以经过25小时，细菌个数应变为原来的25倍，即32个 答案：c例10 观察图1-6-2，寻找规律，在“?”处应填上的数字是( )a128 b136 c162 d188解析：观察图个数字特点可发现：84+2+2；148+4+2；2614+8+4；所以“?”88+48+26162答案：c思想方法归纳 本章中所体现的数学思想方法主要有： 1数形结合思想：在本章中，自始至终利用数轴来定义或描述有理数的概念和运算，数轴成为理解有理数及其运算的重要工具这种把数与形(图形或数轴)结合起来进行研究的思想方法，是学习数学的重要思想方法 2分类讨论思想：a与-a哪个大呢? a的绝对值等于什么?在本章中，我们都是通过分类讨论解决问题，分类讨论可以把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题来处理，这是数学中处理问题的一种重要思想方法不重复、不遗漏是对分类讨论提出的基本要求例如，我们常把有理数分成正有理数、负有理数和零三类，如果遗漏了零，只考虑正有理数和负有理数两种情况，就会犯错误3转化思想：有理数的加法是通过符号法则转化为绝对值(小学所学的数)的加减法进行的；有理数的减法是通过转化为加法进行的；有理数的除法是通过转化为乘法，或者说有理数的乘除法是通过符号法则转化为绝对值的乘除法进行的 1数形结合思想数轴是数形结合的重要工具，涉及含字母或绝对值符号的问题，借助数轴往往有利于问题的迅速解决例1 |a|b|，a0，bo，把a、b、-a、-b按由小到大的顺序排列分析：将a、b、-a、-b在数轴上对应点的位置找出来，就可以比较大小了 解：由a0，b0可知，a为正数，b为负数，a、b所对应的点分别在数轴上原点的右边和左边. 由于|a|b|，从绝对值的几何意义可知，表示数a的点离原点的距离比表示数b的点离原点的距离远，而互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|-a|，|b|-b|，于是a、b、-a、-b在数轴上的位置如图1-6-3所示故由小到大的顺序排列为-ab-ba提示 比较数的大小，可在数轴上把这些对应点表示出来，按从左到右的顺序确定后，就能写出这些数的大小关系从本例看，我们还可以进一步得到-ab0-ba例2 有理数a、b在数轴上对应点的位置如图l-6-4所示，则必有( ) aa+ b0 ba- bo ca b0 d. 0解析：由数轴可知0a1，b-l0且|b|a|，因此有a+b0 a-b0，ab0，0故选d 答案：d点拨本题要注意读懂图形(数轴)，掌握数轴上点的性质，还要注意有理数的四则运算法则 2分类讨论思想例3 比较2 a与-2 a的大小 分析：由于a可能为正数，也可能为负数和0，所以应分a0，a0，a0三种情况讨论解：当a0时，2 a-2 a；当a0时，2 a-2 a；当a0时，2 a-2 a规律解此类题时用分类讨论的思想方法来完成 3转化思想 例4 计算：l3+23+33+43+993+1003的值 分析：直接求解，当然不行，必须探索规律，将运算进行转化解：l31，13+23932(1+2)2，13+23+333662(1+2+3)2， 13+23+33+43100(1+2+3+4)2，由此可知13+23+33+43+993+1003(1+2+3+4+99+100)25 050225 502 500点拨利用转化思想可将“复杂问题”转化为“简单问题”，把“陌生”问题转化为“熟悉”的知识解决本题中把“立方”运算转化为“平方”运算，把“求和”运算转化为“乘方”的运算 4用“赋值法”解题 在做选择题和填空题时，问题的结论如果运用法则、定义等推导，有些题容易，而有些题很复杂，对于那些推导过程比较复杂的题目可采取“赋值法”，这样就能又快又准地得出结论例5 m-n的相反数是( )a-( m + n) bm+ n cm- n d-( m - n)解析：可设m2，n1，则m - n1又-( m + n)-3，m+ n3，m- n1，-( m- n)-1故选d 答案：d点拨 赋值时取值要符合题意，但又不能特殊，本题中m，n不能取0，得出结论后再用其他值试一试，如：m3，n-2等例6 如果a0，b0，|a| b|，那么a+ b 0，a- b 0(填“”或“”)解析：由前提条件设a3，b-1，则a+b2，a-b4 答案： 例7 若中的x，y都扩大到原来的5倍，则的值( )a缩小， b不变 c. 扩大到原来的5倍 d缩小到原来的解析：取x=3，y2，5x15，5 y10，5 答案：b点拨 (1)“赋值法”只能在客观题(填空题、选择题)上并且用其他方法不易解出时使用，一般不提倡使用，但可以作为检验结论是否正确的方法。 (2)赋值时要符合题设的前提条件，所赋的值不能特殊，并且要具有代表性(3)在有些问题中，赋值一定要考虑全面，避免漏解、错解中考热点聚焦 考点1 相反数、倒数、绝对值的概念 考点突破：此类题在中考中的考查为基础性题目，一般为选择题或填空题解决这类问题要掌握相反数、倒数、绝对值概念的内涵和区别 例1 （2011陕西，1，3分） 的相反数是（ ）a b c d考点：倒数。专题：计算题。分析：根据倒数的意义，两个数的积为1，则两个数互为倒数，因此求一个数的倒数即用1除以这个数解答：解：的倒数为， 1（）=，故选：a点评：此题考查的是倒数，关键是由倒数的意义，用1除以这个数即是 (2010江苏苏州中考) 的倒数是( ) a b c- d- 解析：根据倒数的概念，可知乘积为1的两个数互为倒数，所以的倒数是答案：b例2 （2011四川眉山，1，3分）2的相反数是（）a2b2cd-考点：相反数。专题：计算题。分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数就是相反数，进行判断解答：解：根据相反数的定义，2的相反数是2故选a点评：本题考查了相反数的定义应该从相反数的符号特点及在数轴上的位置关系进行判断（2011河北，15，3分）若|x3|y2|0，则xy的值为考点：非负数的性质：绝对值。专题：计算题。分析：根据非负数的性质，可求出xy的值，然后将x，y再代入计算解答：解：|x3|y2|0，x30，y20，x3，y2，则xy的值为：321，故答案为：1点评：此题主要考查了绝对值的性质，根据题意得出x，y的值是解决问题的关键（2011广西来宾，13，3分）-2011的相反数是 考点：相反数。分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，改变符号即可解答：解：2011的符号是负号，2011的相反数是2011故答案为：2011点评：本题考查了相反数的定义，是基础题，比较简单（2011湖南常德，1，3分）考点：绝对值。分析：根据绝对值的定义；数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值解答即可解答：解：|2|=2，故答案为2点评：本题考查了绝对值的定义，解答时要熟记绝对值只能为非负数，属于基础题 (2010内蒙古鄂尔多斯中考)如果a与1互为相反数，则|a|等于( ) a2 b-2 c1 d-1解析：由a与1互为相反数可知，a-1，所以|a|-1|1 答案：c考点2 有理数的运算考点突破：有理数的运算是初中数学的重要基础，是历年中考的必考内容对有理数运算的考查往往融合在实数运算、整式运算之中，单独出现的题型不多，属中、低档难度做有理数的计算题时，要牢记运算法则和运算顺序例3 （2011江苏苏州，1，3分）的结果是 a4 b1 c d考点：有理数的乘法专题：计算题分析：根据有理数乘法法则：异号得负，并把绝对值相乘来计算解答：解：2（- ）=-（2 ）=-1故选b点评：考查了有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（2011台湾2,4分）计算73+（4）3之值为何（）a、9b、27 c、279d、407考点：有理数的乘方。专题：计算题。分析：先根据有理数的乘方计算出各数，再根据有理数加法的法则进行计算即可解答：解：原式=34364=279故选c点评：本题考查的是有理数的乘方，熟知有理数乘方的法则是解答此题的关键（2011台湾14，4分）计算之值为何（）a、1b、 c、d、考点：有理数的混合运算。专题：计算题。分析：根据运算顺序，先算乘法运算，根据有理数的异号相乘的法则可知，两数相乘，异号的负，并把绝对值相乘，然后找出各分母的最小公倍数进行通分，然后根据分数的加减运算法则即可算出原式的值解答：解：原式=+（3），=故选b点评：此题考查了有理数的混合运算，是一道基础题学生做题时应注意运算顺序（2011台湾，2，4分）计算(3)352(2)2之值为何（）a2b5 c3d6考点：有理数的乘方。专题：计算题。分析：根据有理数的乘方运算顺序，先算乘方，再算加减解答：解：(3)352(2)2272546，故选d点评：有理数乘方的顺序以及法则，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0（2011台湾，11，4分）计算之值为何（）a1.1b1.8 c3.2d3.9考点：有理数的混合运算。专题：计算题。分析：遇到乘除加减混合运算，应先算乘除再算加减所以这道题应先把1.6和2.5变成分数，然后把除法变成乘法计算后，再算减法，算减法时根据减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数把其变成加法，最后利用同号两数相加的加法法则计算即可得出值解答：解：原式，2.50.7，（2.5）（0.7），3.2故选c点评：此题考查有理数的混合运算，是一道基础题做题时注意运算顺序（2011重庆江津区，1，4分）23的值等于（）a、1b、5 c、5d、1考点：有理数的减法。分析：根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数解答：解：232+（3）（32）1故选d点评：此题主要考查了有理数的减法，比较简单，是一个基础的题目 (2010杭州中考)计算(-1)2+(-1)3( )a-2 b-1 c0 d2解析：(-1)2+(-1)31+(-1)0 答案：c 例4 (2010河南中考)计算|-1|+(-2)2 .解析：|-1|+(-2)2l+45 答案：5考点3 数轴考点突破：在中考中，对数轴的考查常与有理数的比较及运算结合在一起，是近几年中考题中的热点解决数轴的有关问题时要注意数形结合思想的运用例5 （2011浙江省，1，3分）如图，在数轴上点a表示的数可能是（ ） a. 1.5 b.1.5 c.2.6 d. 2.6【答案】c（2011四川乐山13，3分）数轴上点a、b的位置如图（7）所示，若点b关于点a的对称点为c，则点c表示的数为 【答案】5 (2010广东深圳中考改编)如图1-6-5所示，数轴上a、b两点分别对应有理数a、b，则下列结论正确的是( ) aa+b0 bab0 ca-b0 d|a|-|b|0解析：由数轴知a0，bo，且|a|b|，所以a+bo，abo，a-b0，|a|-|b|0 答案：c考点4 科学记数法考点突破：科学记数法是中考中的高频考点，属中考必考内容把一个大于10的数表示成科学记数法，要写成a10 n的形式，其中1| a |10， n为正整数 例6 （2011南昌，2，3分）根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，江西省常住人口约为4456万人这个数据可以用科学记数法表示为（ ）a.4.456107人b.4.456106人 c.4456104人 d.4.456103人考点：科学记数法表示较大的数。分析：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数解答：解：将4456万用科学记数法表示为4456万=4.456107故选a点评：此题主要考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值（2011山西，4，2分）2011年第一季度，我省固定资产投资完成4756亿元，这个数据用科学记数法可表示为（ ）a b c d 考点：科学记数法专题：有理数分析：4756亿475 6000 0000，用科学记数法表示为4.75 61010解答：c点评：用科学记数法表示就是将一个数写成的形式其中010， n为整数当1时， n零的个数； 当1时， n整数位数1用科学记数法表示的关键是两个确定， 一是a， 二是n（2011陕西，3，3分）我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875人，将这个总人口数（保留三个有效数字）用科学计数法表示为（ ） a、1.37109b、1.37107 c、1.37108d、1.371010考点：科学记数法与有效数字。分析：较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍解答：解：1370536875=1.3705368751091.37109，故选：a点评：此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的有效数字的确定方法（2011广东汕头，2,3分）据中新社北京2011年l2月8日电2011年中国粮食总产量达到546 400 000吨，用科学记数法表示为（ ）a吨b吨 c吨 d吨【答案】b（2011浙江绍兴，2，3分）明天数学课要学“勾股定理”，小敏在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”，能搜索到与之相关的结果个数约为12 500 000，这个数用科学记数法表示为（ ）a. b. c. d. 【答案】c (2010广州中考)“激情盛会，和谐亚洲”第16届亚运会将于2010年11月在广州举行广州亚运城的建筑面积约是358 000平方米，将358 000用科学记数法表示为 解析：358 000358105 答案：358105综合验收评估测试题一、选择题1.有理数中( )a有最大的负数 b有最小的整数 c有绝对值最小的数 d不是正有理数就是负有理数2. 若abo，则下列各式中正确的是( )a babl c. 1 d. 13. 已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a，b，c三数的和为( )a1 b-l c0 d不存在4. -1+2-3+4-5+6-99+100的值等于( )a5 050 b-5 050 c50 d-505. 数轴上到表示-2的点的距离为3的点表示的数为( )a1 b-5 c+5 d1或-56. 当a3时，|a-3|-(3-a)的值为( )a6-2a b0 c2a-6 d-2a7. 下列各组数中，互为相反数的是( )a3与 b(-2)2与4 c.-25与(-5)2 d7与|-7|8. 关于近似值0010 50的有效数字的个数和精确度，下列说法正确的是( )a五个有效数字，精确到十万分位b四个有效数字，精确到十万分位c. 三个有效数字，精确到万分位d两个有效数字，精确到万分位9. 据中国经济周刊报道，上海世博会第四轮环保活动投资总金额高达820亿元，其中820亿用科学记数法表示为( )a0821011 b821010 c82109 d8210810. a和- a的积一定是( )a正数 b负数 c非正数 d非负数二、填空题11. 某粮店出售的三种品牌的大米袋上，分别标示质量为(2501)kg，(2502)kg，(2503)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 kg12. 有理数-37，2，2 ，-，0，002中