【步步高】高三数学一轮 13.5 复数1导学案 理 北师大版.DOCVIP

13.5复数2014高考会这样考1.考查复数的基本概念，复数相等的条件；2.考查复数的代数形式的运算，复数的几何意义复习备考要这样做1.复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义；2.要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等因考题较容易，所以重在练基础1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi (a，br)的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dr)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dr)(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数(5)复数的模向量的模r叫作复数zabi的模，记作_|z|_或|abi|，即|z|abi|.2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点z(a，b)(a，br)(2)复数zabi(a，br)平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi (a，b，c，dr)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3c，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)难点正本疑点清源1对于复数zabi必须满足a、b均为实数，才能得出实部为a，虚部为b.对于复数相等必须先化为代数形式才能比较实部与虚部2复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质1i是虚数单位，则i_.答案i解析iii.2若复数(1i)(1ai)是纯虚数，则实数a_.答案1解析由(1i)(1ai)(1a)(a1)i是纯虚数得，由此解得a1.3复数(34i)i(其中i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限答案b解析由于(34i)i43i，因此该复数在复平面上对应的点的坐标是(4,3)，相对应的点位于第二象限，选b.4(2011浙江)把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位若z1i，则(1z)等于()a3i b3ic13i d3答案a解析(1z)(2i)(1i)3i.5(2012北京)设a，br.“a0”是“复数abi是纯虚数”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案b解析当a0，且b0时，abi不是纯虚数；若abi是纯虚数，则a0.故“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件.题型一复数的概念例1(1)已知ar，复数z12ai，z212i，若为纯虚数，则复数的虚部为()a1 bi c. d0(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mr)，z232i，则“m1”是“z1z2”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分又不必要条件思维启迪：(1)若zabi(a，br)，则b0时，zr；b0时，z是虚数；a0且b0时，z是纯虚数(2)直接根据复数相等的条件求解答案(1)a(2)a解析(1)由i是纯虚数，得a1，此时i，其虚部为1.(2)由，解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件探究提高处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理(1)若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()a1 b0c1 d1或1(2)设复数z满足z(23i)64i(i为虚数单位)，则z的模为_答案(1)a(2)2解析(1)由复数z为纯虚数，得，解得x1，故选a.(2)方法一z(23i)64i，z2i，|z|2.方法二由z(23i)64i，得z.则|z|2.题型二复数的运算例2已知z1，z2为复数，(3i)z1为实数，z2，且|z2|5，求z2.思维启迪：两种思路解此类问题：一是设出z1、z2，然后代入解方程；二是利用整体代换的思想求解解z1z2(2i)，(3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)r，|z2|5，|z2(55i)|50，z2(55i)50，z2(55i)探究提高复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用(1)已知复数z，是z的共轭复数，则z_.(2)复数的值是_(3)已知复数z满足2i，则z_.答案(1)(2)16(3)i解析(1)方法一|z|，z|z|2.方法二z，z.(2)2416.(3)由2i，得ziiiii.题型三复数的几何意义例3如图所示，平行四边形oabc，顶点o，a，c分别表示0,32i，24i，试求：(1)、所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求b点对应的复数思维启迪：结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解解(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，所表示的复数为(32i)(24i)16i，即b点对应的复数为16i.探究提高根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x、yr)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由题意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知，解得2a6，实数a的取值范围是(2,6)解决复数问题的实数化思想典例：(12分)已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.审题视角(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题规范解答解设xabi (a，br)，则yabi，xy2a，xya2b2，3分代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，5分根据复数相等得，7分解得或或或.9分故所求复数为或或或.12分温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解这是常用的数学方法(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.方法与技巧1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合3要记住一些常用的结果，如i、i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度失误与防范1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解3两个虚数不能比较大小4利用复数相等abicdi列方程时，注意a，b，c，dr的前提条件5z20在复数范围内有可能成立，例如：当z3i时z290.a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2012广东)设i为虚数单位，则复数等于()a65i b65ic65i d65i答案d解析(5i6i2)(5i6)65i，故选d.2(2012山东)若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()a35i b35ic35i d35i答案a解析z(2i)117i，z35i.3(2012福建)若复数z满足zi1i，则z等于()a1i b1i c1i d1i答案a解析方法一由zi1i得z11i.方法二设zabi(a，br)，由zi1i，得(abi)i1i，即bai1i.由复数相等的充要条件得即z1i.4若1bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|abi|等于()a. b. c. d1答案a解析由1bi得a2，b1，所以abi2i，所以|abi|.所以选a.二、填空题(每小题5分，共15分)5(2012上海)计算：_(i为虚数单位)答案12i解析12i.6(2012江苏)设a，br，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_答案8解析(2515i)53i，a5，b3.ab8.7已知复数z满足12i，则复数z_.答案i解析zi.三、解答题(共22分)8(10分)(2011上海)已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.解(z12)(1i)1iz12i.设z2a2i，ar，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2r，a4.z242i.9(12分)复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1(2012湖北)方程x26x130的一个根是()a32i b32ic23i d23i答案a解析方法一x32i，故应选a.方法二令xabi，a，br，(abi)26(abi)130，即a2b26a13(2ab6b)i0，解得即x32i，故应选a.2设f(n)nn(nn*)，则集合f(n)中元素的个数为()a1 b2 c3 d无数个答案c解析f(n)nnin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3个元素3对任意复数zxyi(x，yr)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()a|z|2y bz2x2y2c|z|2x d|z|x|y|答案d解析xyi(x，yr)，|z|xyixyi|2yi|2y|，a不正确；对于b，z2x2y22xyi，故不正确；|z|2y|2x不一定成立，c不正确；对于d，|z|x|y|，故d正确二、填空题(每小题5分，共15分)4(2012湖南)已知复数z(3i)2(i为虚数单位)，则|z|_.答案10解析方法一z(3i)2，|z|(3i)2|3i|210.方法二z(3i)296ii286i，|z|10.5(2011江苏)设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_答案1解析设zabi(a、br)，由i(z1)32i，得b(a1)i32i，a12，a1.6已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_答案解析|z2|，(x2)2y23.由图可知max.三、解答题7(13分)已知复数z，且|z|2，求|zi|的最大值，以及取得最大值时