【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第13章 空间向量与立体几何13．1空间向量及其运算教学案 苏教版.doc

第13章空间向量与立体几何131空间向量及其运算1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直1空间向量的概念(1)空间向量的定义：在空间内既有_又有_的量叫做空间向量(2)空间向量的表示：空间向量可用有向线段来表示(3)零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量(4)空间向量的模(或长度)：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的模(或长度)(5)共线向量(或平行向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量(或平行向量)向量a与b平行，记作ab.规定零向量与任意向量共线(6)共面向量：一般地，能平移到同一平面的向量叫做共面向量(7)空间向量的加法、减法、数乘向量运算的定义、运算法则、运算律等都和平面向量相同(8)空间向量的加法与数乘向量运算满足如下规律：加法交换律：abba；加法结合律：(ab)ca(bc)；数乘分配律：(ab)ab(r)2共线、共面向量定理及空间向量基本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是_(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得_(3)空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_推论：设o，a，b，c是不共面的四点，则对空间任意一点p，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得xyz.(4)基底如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示我们把e1，e2，e3称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示注意：由共线、共面向量定理可知：(1)对空间任意一点o，若xy且xy1，则p，a，b三点共线(2)对于空间任一点o与不共线的三点a，b，c，若xyz(x，y，zr)且xyz1，则p，a，b，c四点共面3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点o，作a，b，则_叫做向量a与b的夹角，记作_，其范围是_，若a，b，则称a与b_，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则_叫做向量a，b的数量积，记作_，即_(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b_；交换律：ab_；分配律：a(bc)_.4空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab_.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(b0)_，_，_，ab_(a，b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|_，cosa，b_.若a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则|_.1在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，|_.2已知s是abc所在的平面外一点，d是sc的中点，若xyz，则xyz_.3如图，在长方体abcda1b1c1d1中，e是bc的中点，m与n分别是ae与cd1的中点，adaa1ab，则直线mn与平面add1a1的位置关系是_4平行六面体abcda1b1c1d1中，向量，两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于_5在三棱锥oabc中，a，b，c，d为bc的中点，e为ad的中点，则_(用a，b，c表示)1空间向量数量积在立体几何中有哪些应用？提示：空间向量的数量积，是求向量的模、求两个向量的夹角、求线段的长度、证明两个向量垂直的依据，常用于证明线线垂直、线面垂直、面面垂直问题以及用公式cosa，b进行线线角的求解，并利用该公式结合平面的法向量进行线面角、面面角的求解2如何理解空间向量、空间向量点的坐标的意义？提示：要理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式利用空间向量的坐标运算可将立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如(1)判断线线平行或诸点共线，可以转化为证ab(b0)ab；(2)证明线线垂直，转化为证abab0，若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则转化为计算x1x2y1y2z1z20；(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为aa|a|2，或利用空间两点间的距离公式；(4)在计算异面直线所成的角(或线面角、二面角)时，转化为求向量的夹角，即利用公式cos 即可3空间向量的运算满足哪些运算律？提示：空间向量的运算满足的运算律与平面向量运算满足的运算律相同运算律如下：abba；(ab)ca(bc)；aa；()a(a)；(ab)ab；()aaa；abba；a(bc)abac.一、空间向量的线性运算【例1】 如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，设a，b，c，m，n，p分别是aa1，bc，c1d1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).方法提炼用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立请做针对训练1二、空间向量的数量积【例2】(2012安徽高考)如图，长方体abcda1b1c1d1中，底面a1b1c1d1是正方形，o是bd的中点，e是棱aa1上任意一点，(1)证明：bdec1；(2)如果ab2，ae，oeec1，求aa1的长方法提炼利用空间向量的数量积可以求向量的模和夹角，也可以通过两非零向量ab0ab这一充要条件，证明线线垂直问题请做针对训练2三、空间向量性质的应用【例3】(2012江苏淮州中学高三月考)如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1.(1)求二面角adfb的大小；(2)在线段ac上找一点p，使pf与ad所成的角为60，试确定点p的位置方法提炼利用空间向量解决立体几何问题时，首先要选取适当的基底建立空间直角坐标系，然后再将线线角、线面角、面面角转化成空间向量所成的角请做针对训练3本节所涉及到的高考题是理科生必做题，要求考生能类比平面向量的概念和运算，认识空间向量的概念和运算对于空间任何三个不共面的向量都可作为空间向量的一组基底，只要基底确定，就可用基向量表示空间其他向量在空间中，若存在三条两两互相垂直的直线，则可将空间向量进行正交分解，从而用坐标表示它们充分掌握空间向量的共线与共面以及数量积的运算是解决有关空间问题的基础1已知g是abc的重心，o是空间与g不重合的任意一点，若，求的值2如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由3平面图形abb1a1c1c如图(1)所示，其中bb1c1c是矩形，bc2，bb14，abac，a1b1a1c1.现将该平面图形分别沿bc和b1c1折叠，使abc与a1b1c1所在平面都与平面bb1c1c垂直，再分别连接a1a，a1b，a1c，得到如图(2)所示的空间图形(1)证明：aa1bc；(2)求aa1的长参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)大小方向2(1)存在实数，使ba(2)pxayb(3)pxe1ye2ze33(1)aoba，b0a，b互相垂直|a|b|cosa，babab|a|b|cosa，b(2)(ab)baabac4(1)a1b1a2b2a3b3(2)aba1b1a2b2a3b3(r)ab0a1b1a2b2a3b30(3)基础自测1.解析：原式|.20解析：连结ad，则().所以x1，yz，xyz0.3平行解析：因为()，()，所以.又因为与不共线，所以，共面因为mn平面add1a1，所以mn平面add1a1.45解析：设a，b，c，则abc.因为2a2b2c22ab2bc2ca25，所以|5.5.abc解析：如图，abc.考点探究突破【例1】解：(1)p是c1d1的中点，aacacb.(2)n是bc的中点，abababc.(3)m是aa1的中点，aabc.又ca，abc.【例2】解：如图，以d1为坐标原点建立空间直角坐标系d1xyz，(1)证明：设abada，aa1b，所以b(a，a，b)，d(0,0，b)，c1(0，a,0)设e点坐标为(a,0，z)(0zb)，于是(a，a,0)，(a，a，z)因为(a)2a200，所以bdec1.(2)因为ab2，ae，所以c1(0,2,0)设b(2,2，z)，则d(0,0，z)，e(2,0，z)，o(1,1，z)，所以(1，1，)，(2,2，z)因为oeec1，所以0，即1(2)(1)2()(z)0.解得z3，所以aa13.【例3】解：(1)以，为正交基底，建立空间直角坐标系，则e(0,0,1)，d(，0,0)，b(0，0)，a(，0)，f(，1)，平面adf的法向量t(1,0,0)，(，0)，(，0,1)设平面dfb的法向量n(a，b，c)，则n0，n0，所以令a1，得n(1,1，)，cosn，t，故二面角adfb的大小为60.(2)设p(a，a,0)(0a)，则(a，a,1)，(0，0)，因为pf与ad所成的角为60，adbc，故p，c60，所以cos 60，解得a，故存在满足条件的点p为ac的中点演练巩固提升针对训练1解：连结ag交bc于d, 则由g是abc的重心，得d是bc的中点，且agad.从而()所以()()(2)()，因此3.2解：(1)以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，b1ead1.(2)假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae.此时(0，1，z0)又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.3解：(1)证明：取bc，b1c1的中点分别为d和d1，连接a1d1，dd1，ad.由bb1c1c为矩形知，dd1b1c1，因为平面bb