【步步高】高三数学大一轮复习 10.3二项式定理教案 理 新人教A版 .DOC

10.3二项式定理2014高考会这样考1.利用二项式定理求二项展开式的特定项或系数、二项式系数、系数和等；2.考查二项式定理的应用复习备考要这样做1.熟练掌握二项展开式的通项公式；2.注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用；3.理解二项式系数的性质1 二项式定理(ab)ncancan1b1cankbkcbn(nn*)这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数c(k0,1,2，n)叫做二项式系数式中的cankbk叫做二项展开式的通项，用tk1表示，即展开式的第k1项；tk1cankbk.2 二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从c，c，一直到c，c.3 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即cc.(2)增减性与最大值：二项式系数c，当k时，二项式系数是递减的当n是偶数时，中间的一项cn取得最大值当n是奇数时，中间两项cn 和cn 相等，且同时取得最大值(3)各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即ccccc2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即cccccc2n1.难点正本疑点清源1 二项式的项数与项(1)二项式的展开式共有n1项，cankbk是第k1项即k1是项数，cankbk是项(2)通项是tk1cankbk (k0,1,2，n)其中含有tk1，a，b，n，k五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素2 二项式系数与展开式项的系数的异同在tk1cankbk中，c就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；而tk1项的系数是指化简后字母外的数3 二项式定理的应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(2)展开式的应用：利用展开式可证明与二项式系数有关的等式；可证明不等式；可证明整除问题；可做近似计算等1 (2011广东)x7的展开式中，x4的系数是_(用数字作答)答案84解析x7的展开式的通项是tr1xcx7rrc(2)rx82r.令82r4，得r2，故x4的系数是c484.2 (2012陕西)(ax)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为_答案1解析(ax)5的展开式的通项公式为tr1ca5rxr.当r2时，由题意知ca310，a31，a1.3 (2012安徽)(x22)5的展开式的常数项是()a3 b2 c2 d3答案d解析二项式5展开式的通项为：tr1c5r(1)rcx2r10(1)r.当2r102，即r4时，有x2cx2(1)4c(1)45；当2r100，即r5时，有2cx0(1)52.展开式中的常数项为523，故选d.4 若n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为()a5 b5 c405 d405答案c解析根据已知，令x1，得2n32，即n5.二项展开式的通项公式是tr1c(3x)5rr(1)r35rcx52r，令52r3，r1，此时的系数是345405.5 若n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为()a. b.c d.答案b解析由题意知c15，所以n6，故n6，令x1得所有项系数之和为6.题型一求二项展开式的指定项或指定项系数例1已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项思维启迪：先根据第6项为常数项利用通项公式求出n，然后再求指定项解(1)通项公式为tk1cxkxckx.因为第6项为常数项，所以k5时，0，即n10.(2)令2，得k2，故含x2的项的系数是c2.(3)根据通项公式，由题意，令r (rz)，则102k3r，k5r，kn，r应为偶数r可取2,0，2，即k可取2,5,8，第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为c2x2，c5，c8x2.探究提高求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可 (1)(2012重庆)8的展开式中常数项为()a. b. c. d105(2)(2012上海)在6的二项展开式中，常数项等于_答案(1)b(2)160解析(1)tr1c()8rrcx4cx4r.令4r0，则r4，常数项为t5c70.(2)方法一利用计数原理及排列、组合知识求解常数项为cx3320x3160.方法二利用二项展开式的通项求解tr1cx6rr(2)rcx62r，令62r0，得r3.所以常数项为t4(2)3c160.题型二求最大系数或系数最大的项例2已知(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求该展开式中的二项式系数最大的项；(2)求该展开式中的系数最大的项思维启迪：可先根据条件列方程求n，然后根据二项式系数的性质及系数的大小关系求二项式系数最大的项、系数最大的项解令x1，得各项的系数之和为(13)n4n，而二项式系数之和为cccc2n.根据题意，4n2n992，得2n32或2n31(舍去)，所以n5.(1)二项式系数最大的项为第3项和第4项，t3c()3(3x2)290x6，t4c()2(3x2)3270x.(2)设第r1项系数最大，则即解得r.又rn，得r4，所以系数最大的项为t5405x.探究提高展开式的系数和与展开式的二项式系数和是不同的概念，二项式系数最大的项与系数最大的项也是不同的概念，解题时要注意辨别第(2)小题解不等式时可将组合数展开为阶乘形式 已知f(x)(1x)m(12x)n (m，nn*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和解(1)由已知c2c11，m2n11，x2的系数为c22c2n(n1)(11m)2.mn*，m5时，x2的系数取得最小值22，此时n3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m5，n3，f(x)(1x)5(12x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)a0a1xa2x2a5x5，令x1，a0a1a2a3a4a52533，令x1，a0a1a2a3a4a51，两式相减得2(a1a3a5)60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.题型三二项式定理的应用例3(1)已知2n23n5na能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值(精确到小数点后三位)思维启迪：(1)将已知式子按二项式定理展开，注意转化时和25的联系；(2)近似值计算只要看展开式中的项的大小即可解(1)原式46n5na4(51)n5na4(c5nc5n1c52c5c)5na4(c5nc5n1c52)25n4a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028(10.02)8cc0.02c0.022c0.0231.172.探究提高(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式 求证：(1)32n28n9能被64整除(nn*)；(2)3n(n2)2n1 (nn*，n2)证明(1)32n28n93232n8n999n8n99(81)n8n99(c8nc8n1c8c1)8n99(8nc8n1c82)98n98n9982(8n2c8n3c)64n649(8n2c8n3c)n，显然括号内是正整数，原式能被64整除(2)因为nn*，且n2，所以3n(21)n展开后至少有4项(21)n2nc2n1c212nn2n12n12nn2n1(n2)2n1，故3n(n2)2n1 (nn*，n2)混淆二项展开式的系数与二项式系数致误典例：(12分)已知(x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大992.求在2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项易错分析本题易将二项式系数和系数混淆，利用赋值来求二项式系数的和导致错误；另外，也要注意项与项的系数，系数的绝对值与系数的区别规范解答解由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，2n32，解得n5.2分(1)由二项式系数的性质知，10的展开式中第6项的二项式系数最大，即c252.二项式系数最大的项为t6c(2x)558 064.6分(2)设第r1项的系数的绝对值最大，tr1c(2x)10rr(1)rc210rx102r，得，即，解得r，10分rz，r3.故系数的绝对值最大的项是第4项，t4c27x415 360x4.12分温馨提醒(1)本题重点考查了二项式的通项公式，二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念(2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同；项数和项的不同(3)本题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和项的系数的区别.方法与技巧1 二项展开式的通项tk1cankbk是展开式的第k1项，这是解决二项式定理有关问题的基础2 求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制3 性质1是组合数公式cc的再现，性质2是从函数的角度研究二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和4 因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法5 二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系失误与防范1 要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来2 求通项公式时常用到根式与幂指数的互化，易出错a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2012天津)在5的二项展开式中，x的系数为()a10 b10 c40 d40答案d解析因为tr1c(2x2)5rrc25rx102r(1)rxrc25r(1)rx103r，所以103r1，所以r3，所以x的系数为c253(1)340.2 (2011重庆)(13x)n(其中nn且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于()a6 b7 c8 d9答案b解析(13x)n的展开式中含x5的项为c(3x)5c35x5，展开式中含x6的项为c36x6，由两项的系数相等得c35c36，解得n7.3 在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 ()a7 b7 c28 d28答案b解析只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，即n8，tk1c8kkc(1)k8kx8k，当k6时为常数项，t77.4 (2011陕西)(4x2x)6(xr)展开式中的常数项是()a20 b15c15 d20答案c解析设展开式的常数项是第r1项，则tr1c(4x)6r(2x)rc(1)r212x2rx2rxc(1)r212x3rx，12x3rx0恒成立r4，t5c(1)415.二、填空题(每小题5分，共15分)5 (2012浙江)若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.答案10解析将f(x)x5进行转化，利用二项式定理求解f(x)x5(1x1)5，它的通项为tr1c(1x)5r(1)r，t3c(1x)3(1)210(1x)3，a310.6 (2011大纲全国)(1)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为_答案0解析tr1c(x)r(1)rcx，x与x9的系数分别为c与c.又cc，cc0.7 (2012大纲全国)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_答案56解析利用二项展开式的通项公式求解由题意知，cc，n8.tr1cx8rrcx82r，当82r2时，r5，的系数为cc56.三、解答题(共22分)8 (10分)已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0c1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)方法一(12x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.方法二|a0|a1|a2|a7|，即(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372 187.9 (12分)已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解(1)cc2c，n221n980.n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是t4和t5.t4的系数为c423，t5的系数为c32470，当n14时，展开式中二项式系数最大的项是t8.t8的系数为c7273 432.(2)ccc79，n2n1560.n12或n13(舍去)设tk1项的系数最大，1212(14x)12，9.4k10.4，k10.展开式中系数最大的项为t11，t11c2210x1016 896x10.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2011天津)在6的二项展开式中，x2的系数为()a b. c d.答案c解析该二项展开式的通项为tr1c6rr(1)rcx3r.令3r2，得r1.t26x2x2，应选c.2 (2012湖北)设az，且0a13，若512 012a能被13整除，则a的值为()a0 b1 c11 d12答案d解析化51为521，用二项式定理展开512 012a(521)2 012ac522 012c522 011c52(1)2 011c(1)2 012a.因为52能被13整除，所以只需c(1)2 012a能被13整除，即a1能被13整除，因为0a13，所以a12.3 (2011课标全国)(x)(2x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()a40 b20 c20 d40答案d解析令x1得(1a)(21)51a2，所以a1.因此(x)(2x)5展开式中的常数项即为(2x)5展开式中的系数与x的系数的和(2x)5展开式的通项为tr1c(2x)5r(1)rxrc25rx52r(1)r.令52r1，得2r4，即r2，因此(2x)5展开式中x的系数为c252(1)280.令52