【步步高】高三数学大一轮复习 9.5椭圆教案 理 新人教A版 .DOC

9.5椭圆2014高考会这样考1.考查椭圆的定义及应用；2.考查椭圆的方程、几何性质；3.考查直线与椭圆的位置关系复习备考要这样做1.熟练掌握椭圆的定义、几何性质；2.会利用定义法、待定系数法求椭圆方程；3.重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质用代数方法求解几何问题1 椭圆的概念在平面内与两定点f1、f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合p为椭圆；(2)若ac，则集合p为线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)b1(b,0)，b2(b,0)轴长轴a1a2的长为2a；短轴b1b2的长为2b焦距|f1f2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2难点正本疑点清源1 椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上mn0，椭圆的焦点在y轴上0mn.2 求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e (0e2，即k0，0kb0)的半焦距为c，若直线y2x与椭圆的一个交点p的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为()a. b.c.1 d.1答案d解析依题意有p(c,2c)，点p在椭圆上，所以有1，整理得b2c24a2c2a2b2，又因为b2a2c2，代入得c46a2c2a40，即e46e210，解得e232(32舍去)，从而e1.题型一求椭圆的标准方程例1(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方程为_；(2)(2011课标全国)在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率为.过f1的直线l交c于a，b两点，且abf2的周长为16，那么椭圆c的方程为_思维启迪：根据椭圆的定义和几何性质确定椭圆的基本量答案(1)1或1(2)1解析(1)由已知从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.(2)设椭圆方程为1 (ab0)，由e知，故.由于abf2的周长为|ab|bf2|af2|(|af1|af2|)(|bf1|bf2|)4a16，故a4.b28.椭圆c的方程为1.探究提高求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21 (m0，n0，mn)的形式 已知f1，f2是椭圆1 (ab0)的左，右焦点，a，b分别是此椭圆的右顶点和上顶点，p是椭圆上一点，opab，pf1x轴，|f1a|，则此椭圆的方程是_答案1解析由于直线ab的斜率为，故op的斜率为，直线op的方程为yx.与椭圆方程1联立，解得xa.因为pf1x轴，所以xa，从而ac，即ac.又|f1a|ac，故cc，解得c，从而a.所以所求的椭圆方程为1.题型二椭圆的几何性质例2已知f1、f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，f1pf260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：f1pf2的面积只与椭圆的短轴长有关思维启迪：(1)在pf1f2中，使用余弦定理和|pf1|pf2|2a，可求|pf1|pf2|与a，c的关系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求出e的范围；(2)利用sf1pf2|pf1|pf2|sin 60可证(1)解设椭圆方程为1 (ab0)，|pf1|m，|pf2|n，则mn2a.在pf1f2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60(mn)23mn4a23mn4a2324a23a2a2(当且仅当mn时取等号)，即e.又0eb0)的左、右焦点，a是椭圆c的顶点，b是直线af2与椭圆c的另一个交点，f1af260.(1)求椭圆c的离心率；(2)已知af1b的面积为40，求a，b的值解(1)由题意可知，af1f2为等边三角形，a2c，所以e.(2)方法一a24c2，b23c2，直线ab的方程为y(xc)，将其代入椭圆方程3x24y212c2，得b，所以|ab|c.由saf1b|af1|ab|sinf1abaca240，解得a10，b5.方法二设|ab|t.因为|af2|a，所以|bf2|ta.由椭圆定义|bf1|bf2|2a可知，|bf1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由saf1baaa240 知，a10，b5.题型三直线与椭圆的位置关系例3(2011北京)已知椭圆g：y21.过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆g于a，b两点(1)求椭圆g的焦点坐标和离心率；(2)将|ab|表示为m的函数，并求|ab|的最大值思维启迪：对于直线和椭圆的交点问题，一般要转化为方程组解的问题，充分体现数形结合思想解(1)由已知得a2，b1，所以c.所以椭圆g的焦点坐标为(，0)，(，0)离心率为e.(2)由题意知，|m|1.当m1时，切线l的方程为x1，点a，b的坐标分别为(1，)，(1，)此时|ab|.当m1时，同理可得|ab|.当|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.设a，b两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又由l与圆x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|ab|.由于当m1时，|ab|，所以|ab|，m(，11，)因为|ab|2，且当m时，|ab|2，所以|ab|的最大值为2.探究提高(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形 设f1、f2分别是椭圆e：x21(0bb0)的左，右焦点分别为f1，f2.点p(a，b)满足|pf2|f1f2|.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线pf2与椭圆相交于a，b两点若直线pf2与圆(x1)2(y)216相交于m，n两点，且|mn|ab|，求椭圆的方程审题视角第(1)问由|pf2|f1f2|建立关于a、c的方程；第(2)问可以求出点a、b的坐标或利用根与系数的关系求|ab|均可，再利用圆的知识求解规范解答解(1)设f1(c,0)，f2(c,0)(c0)，因为|pf2|f1f2|，所以2c.整理得2()210，得1(舍)，或.所以e.4分(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线pf2的方程为y(xc)a，b两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.6分得方程组的解不妨设a(c，c)，b(0，c)，所以|ab|c.8分于是|mn|ab|2c.圆心(1，)到直线pf2的距离d.10分因为d2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.12分温馨提醒(1)解决与弦长有关的椭圆方程问题，首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数(2)用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个c)，这样可避免繁琐的运算方法与技巧1 求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式，“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数a，b或m，n.2 讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a，c的值，直接代入公式e求得；(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2a2c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解失误与防范1 判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小2 注意椭圆的范围，在设椭圆1 (ab0)上点的坐标为p(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点p有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因3 注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题，求函数的单调区间、最值时有重要意义a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2012江西)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是a、b，左、右焦点分别是f1、f2，若|af1|，|f1f2|，|f1b|成等比数列，则此椭圆的离心率为()a. b. c. d.2答案b解析由题意知|af1|ac，|f1f2|2c，|f1b|ac，且三者成等比数列，则|f1f2|2|af1|f1b|，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，所以e.2 已知椭圆c的短轴长为6，离心率为，则椭圆c的焦点f到长轴的一个端点的距离为()a9 b1c1或9 d以上都不对答案c解析，解得a5，b3，c4.椭圆c的焦点f到长轴的一个端点的距离为ac9或ac1.3 已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆c：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是 ()a.1 b.1c.y21 d.1答案a解析由 x2y22x150，知r42aa2.又e，c1，则b2a2c23.4 已知椭圆y21的左、右焦点分别为f1、f2，点m在该椭圆上，且0，则点m到y轴的距离为 ()a. b. c. d.答案b解析由题意，得f1(，0)，f2(，0)设m(x，y)，则(x，y)(x，y)0，整理得x2y23.又因为点m在椭圆上，故y21，即y21.将代入，得x22，解得x.故点m到y轴的距离为.二、填空题(每小题5分，共15分)5 已知f1、f2是椭圆c的左、右焦点，点p在椭圆上，且满足|pf1|2|pf2|，pf1f230，则椭圆的离心率为_答案解析在三角形pf1f2中，由正弦定理得sinpf2f11，即pf2f1，设|pf2|1，则|pf1|2，|f2f1|，所以离心率e.6 已知椭圆1的焦点分别是f1，f2，p是椭圆上一点，若连接f1，f2，p三点恰好能构成直角三角形，则点p到y轴的距离是_答案解析f1(0，3)，f2(0,3)，3b0)，则a(a,0)，b(0，b)，c，f(，0)依题意，得，fm的直线方程是x，所以m.由于o，c，m三点共线，所以，即a222，所以a24，b22.所求方程是1.三、解答题(共22分)8 (10分)已知椭圆的两焦点为f1(1,0)、f2(1,0)，p为椭圆上一点，且2|f1f2|pf1|pf2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点p在第二象限，f2f1p120，求pf1f2的面积解(1)依题意得|f1f2|2，又2|f1f2|pf1|pf2|，|pf1|pf2|42a.a2，c1，b23.所求椭圆的方程为1.(2)设p点坐标为(x，y)，f2f1p120，pf1所在直线的方程为y(x1)tan 120，即y(x1)解方程组并注意到x0，可得spf1f2|f1f2|.9 (12分)(2012安徽)如图，点f1(c，0)，f2(c,0)分别是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，过点f1作x轴的垂线交椭圆c的上半部分于点p，过点f2作直线pf2的垂线交直线x于点q.(1)如果点q的坐标是(4,4)，求此时椭圆c的方程；(2)证明：直线pq与椭圆c只有一个交点(1)解方法一由条件知，p，故直线pf2的斜率为kpf2.因为pf2f2q，所以直线f2q的方程为yx，故q.由题设知，4,2a4，解得a2，c1.故椭圆方程为1.方法二设直线x与x轴交于点m.由条件知，p.因为pf1f2f2mq，所以，即，解得|mq|2a.所以解得故椭圆方程为1.(2)证明直线pq的方程为，即yxa.将上式代入1得x22cxc20，解得xc，y.所以直线pq与椭圆c只有一个交点b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012课标全国)设f1，f2是椭圆e：1(ab0)的左，右焦点，p为直线x上一点，f2pf1是底角为30的等腰三角形，则e的离心率为()a. b. c. d.答案c解析由题意，知f2f1pf2pf130，pf2x60.|pf2|23a2c.|f1f2|2c，|f1f2|pf2|，3a2c2c，e.2 若点o和点f分别为椭圆1的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最大值为 ()a2 b3 c6 d8答案c解析由椭圆方程得f(1,0)，设p(x0，y0)，则(x0，y0)(x01，y0)xx0y.p为椭圆上一点，1.xx03(1)x03(x02)22.2x02，的最大值在x02时取得，且最大值等于6.3 在椭圆1内，通过点m(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为()ax4y50 bx4y50c4xy50 d4xy50答案a解析设直线与椭圆交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则由，得0，因所以，所以所求直线方程为y1(x1)，即x4y50.二、填空题(每小题5分，共15分)4 设f1、f2分别是椭圆1的左、右焦点，p为椭圆上任一点，点m的坐标为(6,4)，则|pm|pf1|的最大值为_答案15解析|pf1|pf2|10，|pf1|10|pf2|，|pm|pf1|10|pm|pf2|，易知m点在椭圆外，连接mf2并延长交椭圆于p点，此时|pm|pf2|取最大值|mf2|，故|pm|pf1|的最大值为10|mf2|1015.5. 如图，