【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第五章数列第4课时数列的求和教学案（含最新模拟、试题改编）(1).doc

第五章 数列第4课时数列的求和第六章 (对应学生用书(文)、(理)7678页)考情分析考点新知理解数列的通项公式；会由数列的前n项和求数列通项公式，及化为等差数列、等比数列求数列的通项公式掌握等差数列、等比数列前n项和的公式；数列求和的常用方法：分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等 掌握求数列通项公式的常用方法. 掌握数列求和的常用方法.1. 在数列an中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an_答案：an2n1解析：由已知an为等差数列，dan1an2， an2n1.2. 已知数列an中，a11，(n1)an1nan(nn*)，则该数列的通项公式an_答案：an解析：.3. (必修5p44习题2(2)改编) （1+2 n）=_答案：441解析：(12n)1(121)(122)(1220)212441.4. (必修5p60复习题8(1)改编)数列an的前n项和为sn，若an，则s4_答案：解析：an， s41.5. (必修5p51例3改编) 数列1，2，3，4，的前n项和是 _答案：sn1解析：sn(123n)1.1. 当已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.2. 当已知数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用迭乘法求数列的通项an.3. (1) an(2) 等差数列前n项和sn，推导方法：倒序相加法(3) 等比数列前n项和sn推导方法：错位相减法4. 常见数列的前n项和：(1) 123n；(2) 2462nn(n1)；(3) 135(2n1)n2；(4) 122232n25. (1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(4) 倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法6. 常见的拆项公式有：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ().题型1求简单数列的通项公式例1求下列数列an的通项公式：(1) a11，an1an2n1；(2) a11，an12nan.解：(1) ann2(2) an2求下列数列an的通项公式：(1) a11，an12an1；(2) a11，an1；(3) a12，an1a.解：(1) an2n1(2) an(3) an22n1题型2分组转化求和例2求下面数列的前n项和：1，3，5，7， 解：sn1357135(2n1)n21.已知an(1) 求数列an的前10项和s10；(2) 求数列an的前2k项和s2k.解：(1) s10(616263646)(222232425)192.(2) 由题意知数列an的前2k项中，k个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k个偶数项组成首项为2，公比为2的等比数列 s2k616(10k4)(2222k)5k2k2k12.题型3裂项相消求和例3求下面各数列的前n项和：(1) ，(2) ，解：(1) an()， sn(1)(1).(2) an11， snn.求1.解：ak2，sn.题型4倒序相加求和例4设f(x)，求f(12)f(11)f(10)f(0)f(11)f(12)f(13)的值解： f(x)f(1x)， 原式.一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为_答案：11解析：a1a2a3a426，anan1an2an3110，a1an34.又sn187，n11.题型5错位相减求和例5在各项均为正数的等比数列an中，已知a22a13，且3a2，a4，5a3成等差数列(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bnlog3an，求数列anbn的前n项和sn.解：(1) 设an公比为q，由题意得q0，且即解得或(舍)，所以数列an的通项公式为an33n13n，nn(2) 由(1)可得bnlog3ann，所以anbnn3n.所以sn13232333n3n，所以3sn132233334n3n1，两式相减得，2sn3(32333n)n3n1(332333n)n3n1n3n1，所以数列anbn的前n项和sn.已知数列an的前n项和为sn3n1.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若bnlog(sn1)，求数列bnan的前n项和tn.解：(1) 当n1时，a1s12，当n2时，ansnsn1(3n1)(3n11)23n1，综上所述，an23n1.(2) bnlog(sn1)log3nn，所以bnan2n3n1，tn214316322n3n1，3tn2314322(n1)3n12n3n，相减，得2tn2123123223n12n3n2(131323n1)2n3n，所以tn(131323n1)n3nn3n，nn*.1. 数列an的首项为3，bn为等差数列且bnan1an(nn)若b32，b1012，则a8_答案：3解析：已知bn2n8，an1an2n8，由叠加法(a2a1)(a3a2)(a8a7)64202460a8a13.2. (2013大纲)等差数列an中，a74，a192a9.(1) 求an的通项公式；(2) 设bn，求数列bn的前n项和sn.解：(1) 设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d，因为所以解得a11，d.所以an的通项公式为an.(2) bn，所以sn.3. (2013湖南)设sn为数列an的前n项和，已知a10，2ana1s1sn，nn(1) 求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2) 求数列nan的前n项和解：(1) s1a1. 当n1时，2a1a1s1s1a10，a11.当n1时，ansnsn12an2an1an2an1an是首项为a11公比为q2的等比数列，an2n1，nn*.(2) 设tn1a12a23a3nanqtn1qa12qa23qa3nqanqtn1a22a33a4nan1，上式左右错位相减：(1q)tna1a2a3annan1a1nan12n1n2ntn(n1)2n1，nn*.4. 已知等差数列an前三项之和为3，前三项积为8.(1) 求等差数列an的通项公式；(2) 若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解：(1) 设公差为d，则解得或 an3n5或an3n7.(2) 当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4，2不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1，2，4成等比数列，满足条件当|an|3n7|n1，s14；n2时，s25；当n3时，sn|a1|an|n2n10.又n2满足此式， sn1. 已知数列an求a1a2a3a4a99a100的值解：由题意得a1a2a3a4a99a1000224498981002(24698)10021005 000.2. 已知各项均为正数的数列an的前n项的乘积tn(nn*)，bnlog2 an，则数列bn的前n项和sn取最大时，n_答案：3解析：当n1时，a1t145210，当n2时，an2144n，此式对n1也成立，所以an2144n，从而bnlog2an144n，可以判断数列bn是首项为10，公差为4的等差数列，因此sn2n212n，故当n3时，sn有最大值3. 已知数列an的前n项和为sn，对一切正整数n，点pn(n，sn)都在函数f(x)x22x的图象上，且在点pn(n，sn)处的切线的斜率为kn.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若bn2knan，求数列bn的前n项和tn.解： (1) 点pn(n，sn)在函数f(x)x22x的图象上， snn22n(nn*)，当n2时，ansnsn12n1，当n1时，a1s13满足上式，所以数列an的通项公式为an2n1.(2) 由f(x)x22x，求导得f(x)2x2. 在点pn(n，sn)处的切线的斜率为kn， kn2n2， bn2knan4(2n1)4n， tn434454247434(2n1)4n，用错位相减法可求得tn4n2.4. 已知等差数列an是递增数列，且满足a4a715，a3a88.(1) 求数列an的通项公式；(2) 令bn(n2)，b1，求数列bn的前n项和sn.解：(1) 根据题意：a3a88a4a7，a4a715，知：a4，a7是方程x28x150的两根，且a4a7，解得a43，a75，设数列an的公差为d，由a7a4(74)d，得d.故等差数列an的通项公式为ana4(n4)d3(n4).(2) 当n2时，bn.又b