21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系.doc

同仁艺体实验中学九年级数学导学案21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系导学探究：阅读教材P15-16，回答下列问题：1、回忆：一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a0)的求根公式是_.由求根公式可知, 一元二次方程的根的大小由系数a、b、c决定。2.(1)方程（x-x1）(x-x2)= 0 与方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0是同一个方程吗？_(答“是”或“否”)。(2)方程（x-x1）(x-x2)= 0的两个根据是_. 方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的两个根是_(3)方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的二次三项式系数为_, 一次项系数p=_, 常数项q=_,反之，方程x2+px +q =0 两根x1x2的和、积分别与系数的关系是x1+ x2=_, x1x2=_.3、一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a0)的两根为x1=_,x2 =_.(1) 计算x1+ x2和 x1x2的值。（2）请你根据（1）的结果，试着用文字表述这一结论。归纳梳理1、若一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a0)的两根为x1，x2，它们与系数a、b、c的关系是x1+ x2=_, x1x2=_.一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程有实数根，那么两根的和等于_,两根的积等于_.2、运用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是方程有实数根，即_0.典例探究1不解方程求两个根之和与积【例1】不解方程，求方程3x2+2=14x两根的和与积总结：在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；前提条件是；在使用时，注意“-”不要漏掉练1（2014碑林区校级模拟）方程2x26x5=0的两根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（ ）A3和 B3和 C3和 D3和2已知一元二次方程的两根求系数【例2】（2014春富阳市校级期末）关于x的方程x2px+q=0的两个根是0和3，求p和q的值总结：对于含有字母系数的一元二次方程，已知两根的值求字母系数的值，通常根据一元二次方程根与系数的关系求解，并用根的判别式进行检验此方法要比直接将根代入求系数方便快捷得多练2（2015枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=2，x2=4，则m+n的值是（）A10 B10 C6 D23已知一元二次方程的一个根求另一个根【例3】（2015北塘区二模）已知一元二次方程x26x+c=0有一个根为2，则另一根为 总结：已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根，一般有两种方法：把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出另一根；（2） 根据方程系数中的已知数，利用根与系数的关系，选用两根之和或两根之积，直接求另一根练3（2014秋秭归县校级期中）已知2是一元二次方程x24xc=0的一个根，求另一个根及c的值4根据一元二次方程的系数判断两根的正负【例4】（2008南汇区二模）方程2x2+3x5=0的两根的符号（）A同号 B异号 C两根都为正 D两根都为负总结：不解方程判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定；首先计算判别式，看是大于0还是等于0，如果是等于0，则两根相等，同号；如果判别式大于0，则计算的值，如果，可判断方程的根为一正一负；如果，再计算的值，若为正，则两根同为正，若为负，则两根同为负练4（2014秋夷陵区校级月考）方程ax2+bxc=0（a0、b0、c0）的两个根的符号为（）A同号 B异号 C两根都为正 D不能确定夯实基础一、选择题1（2015溧水县一模）一元二次方程2x23x5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）ABCD2（2015金华）一元二次方程x2+4x3=0的两根为x1、x2，则x1x2的值是（）A4 B4 C3 D33（2014浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x1=0的两根，则（）Ax1+x2=3，x1x2=1 Bx1+x2=3，x1x2=1Cx1+x2=3，x1x2=1 Dx1+x2=3，x1x2=14（2015衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（）A2 B2 C4 D35（2015广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）Ax27x+12=0 Bx2+7x+12=0 Cx2+7x12=0 Dx27x12=06（2015平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=2x2，则p的值为（）A2 B1 C1或1 D17（2015东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x26x+m=0的根，则该方程的另一根为（）A2 B3 C4 D88关于方程式49x298x1=0的解，下列叙述正确的是（）A无解 B有两正根 C有两负根 D有一正根及一负根二、填空题9（2015滨湖区一模）已知方程x25x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为 10（2015南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 11（2015春遂宁校级期中）已知关于x的方程x24x+2=0的两个根是m和n，则mn= ，m+n=三、解答题12（2015东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p24q0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=p，x1x2=q13（2014秋番禺区校级月考）已知方程x2kx6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值14（2013防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根2，m求m，n的值典例探究答案：【例1】不解方程，求方程3x2+2=14x两个根的和与积分析：先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解解答：解：设x1，x2是方程的两实数根，方程化为一般式为3x2+4x+1=0，根据题意得，x1+x2=，x1x2=点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=练1（2014碑林区校级模拟）方程2x26x5=0的两根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（）A3和 B3和 C3和 D3和分析：根据根与系数关系，已知方程2x26x5=0的两根为x1与x2x1+x2=；x1x2= 即可解答：解：已知方程为2x26x5=0的两根为x1与x2，根据根与系数的关系：x1+x2=3；x1x2=故选D点评：本题主要考查根与系数关系，已知系数确定根的相关问题，属于基础题，关键熟练掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=p，x1x2=q【例2】（2014春富阳市校级期末）关于x的方程x2px+q=0的两个根是0和3，求p和q的值分析：根据根与系数的关系得到03=p，0（3）=q，然后解两个方程即可解答：解：根据题意得03=p，0（3）=q，所以p=3，q=0点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系练2（2015枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=2，x2=4，则m+n的值是（）A10 B10 C6 D2分析：根据根与系数的关系得出2+4=m，24=n，求出即可解答：解：关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=2，x2=4，2+4=m，24=n，解得：m=2，n=8，m+n=10，故选A点评：本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出2+4=m，24=n是解此题的关键【例3】（2015北塘区二模）已知：一元二次方程x26x+c=0有一个根为2，则另一根为 分析：设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=6，然后解一次方程即可解答：解：设方程另一根为t，根据题意得2+t=6，解得t=4故答案为4点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系练3（2014秋秭归县校级期中）已知2是一元二次方程x24xc=0的一个根，求另一个根及c的值分析：设方程另一个根为x1，先利用两根之和计算出x1，然后利用两根之积求出c的值解答：解：设方程另一个根为x1，根据题意得x1+2=4，x1（2）=c，x1=2+，c=（2）（2+）=43=1点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=【例4】（2008南汇区二模）方程2x2+3x5=0的两根的符号（）A同号 B异号 C两根都为正 D两根都为负分析：根据一元二次方程根与系数的关系，得到方程的两根之和与两根之积，再进一步结合有理数的运算法则进行分析解答：解：设方程的两根是a，b，根据一元二次方程根与系数的关系，得a+b=0，ab=0，根据两数的积为负数，则两数必异号，则a，b异号故选B点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，同时能够结合有理数的运算法则判断方程的两根的符号练4（2014秋夷陵区校级月考）方程ax2+bxc=0（a0、b0、c0）的两个根的符号为（）A同号 B异号 C两根都为正 D不能确定分析：首先由=b2+4ac0，可知方程有两个不等的实数根，再由x1x2=0可知两根异号解答：解：ax2+bxc=0（a0、b0、c0），=b2+4ac0，方程有两个不等的实数根，设方程ax2+bxc=0（a0、b0、c0）的两个根为x1，x2，x1x2=0，两根异号故选B点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2 =同时考查了根的判别式夯实基础：一、选择题1（2015溧水县一模）一元二次方程x23x5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（ ）A、-3 B、5 C、3 D、-52（2015金华）一元二次方程x2+4x3=0的两根为x1、x2，则x1x2的值是（ ）A4 B4 C3 D33（2014浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x1=0的两根，则（ ）Ax1+x2=3，x1x2=1 Bx1+x2=3，x1x2=1Cx1+x2=3，x1x2=1 Dx1+x2=3，x1x2=14（2015衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（ ）A2 B2 C4 D35（2015广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）Ax27x+12=0 Bx2+7x+12=0 Cx2+7x12=0 Dx27x12=06（2015平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=2x2，则p的值为（ ）A2 B1 C1或1 D17（2015东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x26x+m=0的根，则该方程的另一根为（ ）A2 B3 C4 D88关于方程式49x298x1=0的解，下列叙述正确的是（ ）A无解 B有两正根C有两负根 D有一正根及一负根二、填空题9（2015滨湖区一模）已知方程x25x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为 10（2015南京）已知方程x2+mx+3