【步步高】高考数学总复习 6.2等差数列及其前n项和配套文档 理 新人教B版 (1).DOCVIP

6.2等差数列及其前n项和1 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2 等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3 等差中项如果三个数x，a，y组成等差数列，那么a叫做x与y的等差中项4 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mn)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nn)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn)是公差为md的等差数列5 等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和sn或snna1d.6 等差数列的前n项和公式与函数的关系snn2n.数列an是等差数列snan2bn，(a、b为常数)7 等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则sn存在最大值；若a10，则sn存在最小值1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nn，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列 ()2 设an为等差数列，公差d2，sn为其前n项和，若s10s11，则a1等于()a18 b20 c22 d24答案b解析因为s10s11，所以a110.又因为a11a110d，所以a120.3 (2012辽宁)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和s11等于()a58 b88 c143 d176答案b解析s1188.4 (2013课标全国)设等差数列an的前n项和为sn，sm12，sm0，sm13，则m等于()a3 b4 c5 d6答案c解析am2，am13，故d1，因为sm0，故ma1d0，故a1，因为amam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.5 (2013课标全国)等差数列an的前n项和为sn，已知s100，s1525，则nsn的最小值为_答案49解析由题意知a1a100，a1a15.两式相减得a15a105d，d，a13.nsnnf(n)，令f(x)，x0，f(x)x(3x20)令f(x)0得x0(舍)或x.当x时，f(x)是单调递增的；当0x0，n14时，an0，当n12或13时，sn取得最大值，且最大值为s13s121220130.方法二同方法一求得d.sn20nn2n2.nn，当n12或13时，sn有最大值，且最大值为s12s13130.方法三同方法一求得d.又由s10s15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，sn有最大值且最大值为s12s13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a1412521.所以数列an是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列令由得n6；由得n5，所以n6.即数列|an|的前6项是以21为首项，公差为4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|a747253.设|an|的前n项和为tn，则tn思维升华求等差数列前n项和的最值，常用的方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；将等差数列的前n项和snan2bn (a、b为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值(1)设等差数列an的前n项和为sn.若a111，a4a66，则当sn取最小值时，n等于 ()a6 b7 c8 d9(2)等差数列an前9项的和等于前4项的和若aka40，则k_.答案(1)a(2)10解析(1)设该数列的公差为d，则a4a62a18d2(11)8d6，解得d2，所以sn11n2n212n(n6)236，所以当sn取最小值时，n6.(2)设等差数列an的前n项和为sn，则s9s40，即a5a6a7a8a90,5a70，故a70.而aka40，故k10.等差数列的最值问题典例：(15分)(1)等差数列an的前n项和为sn，已知a5a74，a6a82，则当sn取最大值时，n的值是 ()a5 b6 c7 d8(2)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和sn的最大值为_(3)设数列an是公差d0，a710 ba2a1000，a10a110，a10a110可知d0，a110，t18a1a10a11a18s10(s18s10)60，故选c.二、填空题6 (2013广东)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.答案20解析设公差为d，则a3a82a19d10，3a5a74a118d2(2a19d)20.7 sn为等差数列an的前n项和，s2s6，a41，则a5_.答案1解析由题意知解得a5a4d1(2)1.8 已知数列an中，a11且(nn)，则a10_.答案解析由已知(101)134，a10.三、解答题9 已知等差数列an中，a28，前10项和s10185.求数列an的通项公式an.解设数列an的公差为d，因为a28，s10185，所以，解得，所以an5(n1)33n2，即an3n2.10设等差数列an的前n项和为sn，若a10，s2 0150.(1)求sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使ansn.解(1)设公差为d，则由s2 01502 015a1d0a11 007d0，da1，a1ana1，sn(a1an)a1(2 015nn2)a10，nn，当n1 007或1 008时，sn取最小值504a1.(2)ana1，snan(2 015nn2)a1.a10，n22 017n2 0160，即(n1)(n2 016)0，解得1n2 016.故所求n的取值集合为n|1n2 016，nnb组专项能力提升(时间：30分钟)1 已知数列an为等差数列，若0的n的最大值为 ()a11 b19 c20 d21答案b解析0，a110，且a10a110，s2010(a10a11)0的n的最大值为19.2 设等差数列an，bn的前n项和分别为sn，tn，若对任意自然数n都有，则的值为_答案解析an，bn为等差数列，.，.3 九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升答案解析设所构成数列an的首项为a1，公差为d，依题意即解得a5a14d4.4 已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为sn，且sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和tn.解(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以skka1d2k2k2k.由sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)由(1)得snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以tn.5 (2012湖北)已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)当an3n