第四章系统的频率特性分析 机械工程控制基础 教案.doc

Chp.4 频率特性分析基本要求1掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响应函数和微分方程之间的相互关系；掌握频率特性和频率响应的求法； 掌握动刚度与动柔度的概念。2掌握频率特性的Nyquist图和Bode图的组成原理， 熟悉典型环节的Nyquist图和Bode图的特点及其绘制， 掌握一般系统的Nyquist图和Bode图的特点和绘制。3了解闭环频率特性与开环频率特性之间的关系。4掌握频域中性能指标的定义和求法； 了解频域性能指标与系统性能的关系。5 解最小相位系统和非最小相位系统的概念。重点与难点本章重点1频率特性基本概念、代数表示法及其特点。2频率特性的图示法的原理、典型环节的图示法及其特点和一般系统频率特性的两种图形的绘制。3 频域中的性能指标。本章难点1一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析。2频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。1 概述一、频域法的特点：系统分析法：时域法、频域法 仅数学语言表达不同：将t转换为，不影响对系统本身物理过程的分析； 时域法侧重于计算分析，频域法侧重于作图分析； 工程上更喜欢频域法 优点：a)系统无法用计算分析法建立传递函数时，可用频域法求出频率特性，进而导出其传递函数； b)验证原传递函数的正确性：计算法建立的传递函数，通过实验求出频率特性以验证；c)物理意义较直观。 缺点：仅适用于线性定常系统工程上大量使用频域法。二、基本概念： 1、频率响应：定义：系统对正弦（或余弦）信号的稳态响应。 输入：xi(t)=Xisint 输出：包括两部分： 瞬态响应：非正弦函数，且t时，瞬态响应为零。 稳态响应：与输入信号同频率的波形，仍为正弦波，但振幅和相位发生变化。fig4.1.1讨论：a)频率响应仅是时间响应的特例； b)频率响应反映系统的动态特性：输出随变化（非t）； c)为何选简谐信号为输入？ 原因：工程上绝大多数 周期信号可用F变换展开成叠加的离散谐波信号； 非周期信号可用F变换展开成叠加的连续谐波信号。 用正弦信号作输入合理。2、频率特性G(j):（为幅频特性和相频特性的总称） 定义：频域中，系统的输入量与输出量之比。 讨论：G(j)是复数，可写成： G(j)=u()+jv()=G(j)ej()=A()()u()：为G(j)的实部 实频特性；v()：为G(j)的虚部 虚频特性。 幅频特性G(j)：输出量的振幅与输入量的振幅之比。G(j)反映输入在不同下，幅值衰减或增大的特性。G(j)是G(j)模： 相频特性()：定义：输出量的相位与输入量的相位之差。()= ()=t+G()- ta) G()反映频率特性的幅角；b) 符号：()逆时针方向为正； 系统()一般为负。原因：系统输出一般滞后。结论：频率响应实际上可由频率特性描述，而频率特性可由幅频特性和相频特性表达。三、频率特性获取：1、L逆变换：因为X0(s)=G(s)Xi(s)若xi(t)=Xisint （例）2、用j替代s： 求出G(s)后，用j替代s即可。（证明，例）3、实验方法：不能用计算方法建立系统数学模型时尤其适用。方法：改变输入信号频率，测出相应输出的幅值和相位 画出XO()/ Xi与曲线 获幅频特性 画出()与曲线 相频特性系统数学模型获取方法： p.89四、频率特性的特点： 1、G(j)是w(t)的F变换。因为X0(s)=G(s)Xi(s) xi(t)=(t) Xi(s)=1 x0(t)=w(t)所以，X0(j)= G(j) 即Fw(t)= G(j)结论：对系统频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。2、G(j)在频域内反映系统的动态特性。 G(j)是谐波输入下的时域中的稳态响应，而在频域中，系统随变化反映系统动态特性。3、频域分析比时域容易。a) 分析系统结构及参数变化对系统的影响时更容易分析；b) 易于稳定性分析；c) 易于校正，使系统达到预期目标；d) 易于抑制噪声，用频率特性易于设计出合适的通频带，抑制噪声。2频率特性的Nyquist图（极坐标图） 频率特性分析常用图示法：极坐标图（Nyquist），对数坐标图（Bode）一、极坐标图的绘制： Nyquist图：当由0时，G(j)（矢量）的端点在G(j)复平面上所形成的轨迹。矢量：即为频率特性G(j) 对=1 在实轴上投影：G(j)实部，u()=u(1) 在虚轴上投影：G(j)虚部，v()=v(1)G(j1)= u(1)+ jv(1)模 相角 Nyquist图既表示实频和虚频特性，也反映幅频和相频特性。绘制步骤：由G(j)列出G(j)和G(j)表达式； 角G(j)走向：逆正顺负 在0，取不同值，代入G(j)、G(j)，获得相应值； 在相应于G(j)射线上，截取G(j)值；将G(j)线段的终点连接起来，即获得G(j)的极坐标图。二、典型环节的Nyquist图：1、 比例环节：G(s)=K频率特性：G(j)=K G(j)=K u()=KG(j)=00 v()=0轨迹：一条与实轴重合的直线。结论：比例环节的幅、相频率特性与无关； 输出量的振幅永远是输入量振幅的K倍，且相位永远相同。2、 积分环节：G(s)=1/s频率特性：G(j)=1/j G(j)=1/ u()=0G(j)=-900 v()=-1/变化：=0 G(j)= G(j)=-900 = G(j)=0 G(j)=-900轨迹：一条与负虚轴重合的直线，由无穷远点指向原点，相位总是-900结论：低频（0）时，输出振幅很大，高频（）时输出振幅为0；输出相位总是滞后输入900。3、 微分环节 G(s)=s频率特性：G(j)=j G(j)= u()=0G(j)=900 v()=变化：=0 G(j)=0 G(j)=900 = G(j)= G(j)=900轨迹：与正虚轴重合的直线，由原点无穷远点指向无穷远点，相位总是900结论：低频（0）时，输出振幅为0，高频（）时输出振幅很大；输出相位总是超前输入900。4、 惯性环节： G(j)=-arctgT变化：=0 G(j)=k G(j)=00 =1/T G(j)=0.707k G(j)=-450 = G(j)=0 G(j)=-900轨迹：四象限内的一半圆。（图4.2.1）结论：低频端（0）时，输出振幅等于输入振幅，输出相位紧跟输入相位，即此时信号全部通过； 随，输出振幅越来越小（衰减），相位越来越滞后； 高频端（）时输出振幅衰减至0，即高频信号被完全滤掉 （实际上是一个低通滤波器）5、 一阶微分环节：G(s)=Ts+1G(j)=jT+1 u()=1 v()= T G(j)=arctgT变化：=0 G(j)=1 G(j)=00 =1/T G(j)=1.414k G(j)=450 = G(j)= G(j)=900轨迹：始于正实轴点（1，j0），且平行于虚轴，在第一象限内的一条直线。结论：高、低频信号都能全部通过，频率越高，增益越大，相位越超前。6、振荡环节： 变化：=0 （=0） G(j)=1 G(j)=00 = n （=1） G(j)=1/2 G(j)=-900 = （= ） G(j)=0 G(j)=-1800轨迹：在三、四象限内的曲线。起点（1，j0），终点（0，j0）(图4.2.6)讨论：取值不同，Nyquist图形状不同；（图4.2.7） 值越大，曲线范围越小。固有频率n：曲线与虚轴之交点，此时幅值G(j)=1/2谐振频率r：使G(j)出现峰值的频率。 rd:欠阻尼下，谐振频率总小于有阻尼固有频率。7、 延时环节：G(s)=e-s=|G|ej()|G(j)|=1 G(j)=- (图4.2.9)三、Nyquist图的一般形式：传递函数： 式中，k=b0/a0,分母次数n，分子次数m，1、 0型系统（v=0）:当=0 G(j)=k G(j)=00= G(j)=0 G(j)=(m-n)900在低端，轨迹始于正实轴，高端时，轨迹趋于原点（由哪个象限趋于原点？）2、型系统（v=1）：当=0 G(j)= G(j)=-900= G(j)=0 G(j)=(m-n)900低端，轨迹的渐近线与负虚轴平行，高端时，轨迹趋于原点3、型系统（v=2）：当=0 G(j)= G(j)=-1800= G(j)=0 G(j)=(m-n)900低端，轨迹的渐近线与负实轴平行，高端时，轨迹趋于原点可见，无论0、型系统，低端幅值都很大，高端都趋于0 控制系统总是具有低通滤波的性能。四、例题：1、 已知系统的传递函数，试绘制其Nyquist图。（图4.3.1） 2、已知系统的传递函数，试绘制其Nyquist图。（图4.3.2）3、已知系统的传递函数，试绘制其Nyquist图。（图4.3.3）3 Bode图（对数坐标图）将幅、相频率特性分开画：对数幅频特性，对数相频特性，统称Bode图。一、坐标构成：1、 对数幅频特性图：横坐标：对数分度：lg1/2, 标示：lg 单位：rad/s 或s-1纵坐标：线性分度，20lg| G |, 单位：分贝（dB）2、 对数相频特性图： 纵坐标：G(j)的相位G()，单位：度 横坐标：同对数幅频特性图3、 优点： 简化计算：将串联环节的幅值乘除法简化为对数域的加、减法。 简化作图过程：对环节的幅值Bode图，先用渐近线表示，再修正曲线，可获得较精确的幅值Bode图。 叠加：叠加法将各环节幅值Bode图进行累加，获得整个系统的Bode图。 便于对系统的性能进行观察和分析：横坐标用lg1/2作分度，扩展了低频区，缩小了高频区。（系统主要性能表现在低频区）二、典型环节的Bode图：1、 比例环节：G(j)=K |G(j)|=K 20lg|G(j)|=20lgK 对数幅频特性曲线：一条水平线，分贝数20lgK K值大小使曲线上下移动。 G(j)=arctg(0/k)=0o 与0o线重合，与K值无关。（图4.4.2）2、 积分环节 20lg|G(j)|=-20lg 线性关系 =1 （lg=0） 20lg|G(j)|=0dB =10（lg=1） 20lg|G(j)|=-20dB 曲线通过（1，0）、（10，-20） 斜率:-20dB/dec 令y=20lg|G(j)|，x= lg，则y=-20x 与无关 过（0，90o）平行于横轴的直线。若 则 20lg|G(j)|= 20lgk-20lg 相当于y=b-20x3、 微分环节G(j)= j|G(j)|= 20lg|G(j)|= 20lg 为一条斜率20dB/dec的直线=1 （lg=0） 20lg|G(j)|=0dB 直线通过（1，0） 与无关4、 惯性环节： 幅频特性： 讨论：a)非线性，用渐近线表示。b)T（低频渐近线）：20lg|G(j)|20lgT-20lgT=0 一条与0dB线完全重合的直线，止于（T，0）c) T（高频渐近线）：20lg|G(j)|20lgT-20lg截距20lgT，斜率-20dB/dec,始于（T，0）d) 转角频率T：低频渐近线与高频渐近线的交点e) 低通滤波特性：低频输出较精确反映输入。 高频输出很快衰减。f) 误差：渐近线与精确对数曲线的差值e()低频：高频：修正曲线： 最大误差在T处，e(T)=-3dB 相频特性： =0 G()=0o =T G()=-45o = G()=-90o曲线对称于点（T，-45o），低频段，输出与输入的相位相同，高频段，输出相位滞后于输入90o。5、 振荡环节： 讨论：a)非线性，用渐近线表示。b)n(0)（低频渐近线）：20lg|G(j)|=0 为0dB渐近线，止于（n，0）c)n(大大于1)（高频渐近线）：20lg|G(j)|-40lg=-40lg+40lgn为一直线，斜率-40dB/dec,始于（n，0）d)转角频率n：低频渐近线与高频渐近线的交点e)低通滤波特性：低频输出较精确反映输入。 高频输出很快衰减。f)修正曲线：01时系统会振荡，主要表现在n附近，越小，振荡越大。（图4.4.10）g)谐振频率r： rn 越小, r越接近n谐振峰值： 随变化（图4.4.11）在Mr处误差最大，h)截止频率b：在幅频特性上，当幅值由零频值A(0)下降到0.707 A(0)时所对应的频率。 （图4.6.1）带宽：0b ，带宽越宽，系统快速性越好。 相频特性： =0 =0 G()=0o =n =1 G()=-90o = = G()=-180o曲线对称于点（n，-90o），低频段，输出与输入的相位相同，高频段，输出相位滞后于输入180o。 四、多环节Bode图绘制：复杂系统Bode图可由各环节Bode图叠加。1、 关于对数幅频特性： 找出各环节转角频率T：积分和微分环节：T=1 惯性和导前环节：T=1/T 振荡环节：T=n 用渐近线分别作出各环节的对数幅频特性图：积分和微分环节：在T作斜率-20dB/dec（积分）或+20dB/dec（微分）惯性、导前、振荡环节：在（T，0）左边作与0dB重合直线， 在（T，0）右边作，-20dB/dec（惯性） +20dB/dec（导前） -40dB/dec（振荡） 按误差修正曲线对各渐近线进行修正，得出各环节精确曲线； 按T由小到大顺序，将各段曲线叠加，获得整个系统对数幅频特性曲线； 若系统有比例环节K，则将曲线上提升（K1）或下降低（K1 20lgKdB2、 关于对数相频特性： 分别作各环节的对