【步步高】高考数学总复习 8.6立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直配套文档 理 新人教A版 (1).DOC

8.6立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为.2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1 u2.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行.()(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.()2.若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()a.l1l2b.l1l2c.l1与l2相交但不垂直d.以上均不正确答案b解析ab1236240，故ab，即l1l2选b.3.已知平面内有一点m(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点p中，在平面内的是()a.p(2,3,3)b.p(2,0,1)c.p(4,4,0)d.p(3，3,4)答案a解析逐一验证法，对于选项a，(1,4,1)，n61260，n，点p在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内.4.已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且bp平面abc，则实数x，y，z分别为_.答案，4解析由题意知，.所以即解得，x，y，z4.5.若a(0,2，)，b(1，1，)，c(2,1，)是平面内的三点，设平面的法向量n(x，y，z)，则xyz_.答案23(4)题型一证明平行问题例1(2013浙江改编)如图，在四面体abcd中，ad平面bcd，bccd，ad2，bd2，m是ad的中点，p是bm的中点，点q在线段ac上，且aq3qc.证明：pq平面bcd.思维启迪证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量.证明方法一如图，取bd的中点o，以o为原点，od、op所在射 线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz.由题意知，a(0，2)，b(0，0)，d(0，0).设点c的坐标为(x0，y0,0).因为3，所以q.因为m为ad的中点，故m(0，1).又p为bm的中点，故p，所以.又平面bcd的一个法向量为a(0,0,1)，故a0.又pq平面bcd，所以pq平面bcd.方法二在线段cd上取点f，使得df3fc，连接of，同证法一建立空间直角坐标系，写出点a、b、c的坐标，设点c坐标为(x0，y0,0).，设f点坐标系(x，y,0)则(xx0，yy0,0)(x0，y0,0)，(x0，y0,0)又由证法一知(x0，y0,0)，pqof.又pq平面bcd，of平面bcd，pq平面bcd.思维升华用向量证明线面平行的方法有(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.如图所示，平面pad平面abcd，abcd为正方形，pad是直角三角形，且paad2，e、f、g分别是线段pa、pd、cd的中点.求证：pb平面efg.证明平面pad平面abcd且abcd为正方形，ab、ap、ad两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)、b(2,0,0)、c(2,2,0)、d(0,2,0)、p(0,0,2)、e(0,0,1)、f(0,1,1)、g(1,2,0). (2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，设st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2.22，又与不共线，、与共面.pb平面efg，pb平面efg.题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)abca1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1的中点.求证：ab1平面a1bd.思维启迪证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行.证明方法一设平面a1bd内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数，使m.令a，b，c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，则ac，ab，ac，mabc，m(ac)4240.故m，结论得证.方法二如图所示，取bc的中点o，连接ao.因为abc为正三角形，所以aobc.因为在正三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面bcc1b1，所以ao平面bcc1b1.取b1c1的中点o1，以o为原点，以，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则b(1,0,0)，d(1,1,0)，a1(0,2，)，a(0,0，)，b1(1,2,0).设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，(1,2，)，(2,1,0).因为n，n，故令x1，则y2，z，故n(1,2，)为平面a1bd的一个法向量，而(1,2，)，所以n，所以n，故ab1平面a1bd.思维升华用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 如图所示，在四棱锥pabcd中，pc平面abcd，pc2，在四边形abcd中，bc90，ab4，cd1，点m在pb上，pb4pm，pb与平面abcd成30角.(1)求证：cm平面pad；(2)求证：平面pab平面pad.证明以c为坐标原点，cb所在直线为x轴，cd所在直线为y轴，cp所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系cxyz，pc平面abcd，pbc为pb与平面abcd所成的角，pbc30.pc2，bc2，pb4.d(0,1,0)，b(2，0,0)，a(2，4,0)，p(0,0,2)，m(，0，)，(0，1,2)，(2，3,0)，(，0，)，(1)令n(x，y，z)为平面pad的一个法向量，则即令y2，得n(，2,1).n2010，n，又cm平面pad，cm平面pad.(2)取ap的中点e，则e(，2,1)，(，2,1).pbab，bepa.又(，2,1)(2，3,0)0，beda，又padaa，be平面pad，又be平面pab，平面pab平面pad.题型三解决探索性问题例3(2012福建)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1， e为cd的中点.(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由.思维启迪利用向量法建立空间直角坐标系，将几何问题进行转化；对于存在性问题可通过计算下结论.(1)证明以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，b1ead1.(2)解假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0).使得dp平面b1ae，此时(0，1，z0).又设平面b1ae的法向量n(x，y，z).n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.思维升华对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证.另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”. 如图所示，四棱锥sabcd的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点.(1)求证：acsd.(2)若sd平面pac，则侧棱sc上是否存在一点e，使得be平面pac. 若存在，求seec的值；若不存在，试说明理由.(1)证明连接bd，设ac交bd于o，则acbd.由题意知so平面abcd.以o为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图.设底面边长为a，则高soa，于是s，d，b，c，则0.故ocsd.从而acsd.(2)解棱sc上存在一点e使be平面pac.理由如下：由已知条件知是平面pac的一个法向量，且，.设t，则t，而0t.即当seec21时，.而be不在平面pac内，故be平面pac.利用向量法解决立体几何问题典例：(12分)(2012湖南)如图所示，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ab4，bc3，ad5，dababc90，e是cd的中点.(1)证明：cd平面pae；(2)若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥pabcd的体积.思维启迪本题中的(1)有两种证明思路：(1)利用常规方法，将证明线面垂直转化为证明线线垂直，利用线面垂直的判定定理证之；(2)将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题，证明向量垂直；然后计算两个向量的数量积.规范解答方法一(1)证明如图，连接ac.由ab4，bc3，abc90得ac5.1分又ad5，e是cd的中点，所以cdae.2分因为pa平面abcd，cd平面abcd，所以pacd.4分而pa，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.5分(2)解过点b作bgcd，分别与ae，ad相交于点f，g，连接pf.由(1)cd平面pae知，bg平面pae.于是bpf为直线pb与平面pae所成的角，6分且bgae.由pa平面abcd知，pba为直线pb与平面abcd所成的角.7分由题意得pbabpf，因为sinpba，sinbpf，所以pabf.由dababc90知，adbc.又bgcd，所以四边形bcdg是平行四边形.故gdbc3.于是ag2.在rtbag中，ab4，ag2，bgaf，所以bg2，bf.于是pabf.10分又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.12分方法二如图，以a为坐标原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设pah，则a(0,0,0)，b(4,0,0)，c(4,3,0)，d(0,5,0)，e(2,4,0)，p(0,0，h).2分(1)证明易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h).因为8800，0，4分所以cdae，cdap.而ap，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.5分(2)解由题设和(1)知，分别是平面pae，平面abcd的法向量.6分而pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即.8分由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故.解得h.10分又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.12分温馨提醒(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量；(2)建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；(3)对于和平面有关的垂直问题，也可利用平面的法向量.方法与技巧用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.失误与防范用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(r)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.若直线l的一个方向向量为a(2,5,7)，平面的一个法向量为u(1,1，1)，则()a.l或lb.lc.ld.l与斜交答案a2.若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()a.a(1,0,0)，n(2,0,0)b.a(1,3,5)，n(1,0,1)c.a(0,2,1)，n(1,0，1)d.a(1，1,3)，n(0,3,1)答案d解析若l，则an0，d中，an10(1)3310，an.3.设平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量b(2，h，k)，若，则hk的值为()a.2b.8c.0d.6答案c解析由得ab， h4，k4，hk0.4.已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于 ()a. b. c. d.答案d解析由题意得ctab(2t，t4，3t2)，.5.如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，aa1，ad2，p为c1d1的中点，m为bc的中点.则am与pm所成的角为()a.60b.45c.90d.以上都不正确答案c解析以d点为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，依题意，可得，d(0,0,0)，p(0,1，)，c(0,2,0)，a(2，0,0)，m(，2,0).(，1，)，(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，ampm.二、填空题6.已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2)，b(x，2，3)，且，则x_.答案4解析abx260，x4.7.设点c(2a1，a1,2)在点p(2,0,0)、a(1，3,2)、b(8，1，4)确定的平面上，则a_.答案16解析(1，3,2)，(6，1,4).根据共面向量定理，设xy (x、yr)，则(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4)(x6y，3xy,2x4y)，解得x7，y4，a16.8.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a，m、n分别为a1b和ac上的点，a1man，则mn与平面bb1c1c的位置关系是_.答案平行解析正方体棱长为a，a1man，()().又是平面b1bcc1的法向量，0，.又mn平面b1bcc1，mn平面b1bcc1.三、解答题9.如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd.证明：平面pqc平面dcq.证明如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.依题意有q(1,1,0)，c(0,0,1)，p(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0).0，0.即pqdq，pqdc，又dqdcd，故pq平面dcq，又pq平面pqc，平面pqc平面dcq.10.如图，在底面是矩形的四棱锥pacbd中，pa底面abcd，e，f分别是pc，pd的中点，paab1，bc2.(1)求证：ef平面pab；(2)求证：平面pad平面pdc.证明(1)以a为原点，ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，ap所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)， b(1,0,0)，c(1,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)，e(，1，)，f(0,1，)，(，0,0)，(1,0，1)， (0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0).，即efab，又ab平面pab，ef平面pab，ef平面pab.(2)(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，即apdc，addc.又apada，dc平面pad.dc平面pdc，平面pad平面pdc.b组专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4,1).若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为 ()a.1,2b.1，2c.1,2d.1，2答案a解析由已知得c(m4，m2n4，mn1)，故ac3mn10，bcm5n90.解得2.已知平面abc，点m是空间任意一点，点m满足条件，则直线am ()a.与平面abc平行b.是平面abc的斜线c.是平面abc的垂线d.在平面abc内答案d解析由已知得m、a、b、c四点共面.所以am在平面abc内，选d.3.在正方体abcda1b1c1d1中，p为正方形a1b1c1d1四边上的动点，o为底面正方形abcd的中心，m，n分别为ab，bc的中点，点