【拿高分 选好题】（新课程）高中数学二轮复习 第一部分 18个必考问题 专项突破《必考问题15 概率与统计(备用)》热点命题 苏教版.docVIP

必考问题15概率与统计(备用)【真题体验】1(2012江苏，2)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_名学生解析由已知，高二人数占总人数的，所以抽取人数为5015.答案152(2012江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_解析满足条件的数有1，3，33，35，37，39；所以p.答案3(2011江苏，5)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_解析从中取出两个数共有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,46种情况其中一个数是另一个数的两倍的情况共有1,2，2,42种，p.答案4(2011江苏，6)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2_.解析由题意得该组数据的平均数为(106856)7，所以方差为s232(1)212(2)2(1)23.2.答案3.25(2010江苏，13)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球若从中随机摸出两只球，则它们颜色相同的概率是_解析四个球取出两球有6种等可能基本事件：(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，白3)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)两只球颜色相同有3种：(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)所以所求概率为p.答案【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，a级要求(2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，a级要求(3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，b级要求(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，b级要求【应对策略】高考中的统计问题，一般以实际生活或社会热点为背景从考查内容上看，主要集中在分层抽样、频率分布直方图、平均数和方差的计算上；充分理解抽样的公平性是避免抽样问题求解时出错的关键；读懂频率分布表与直方图是解总体分布估计题的重点，时刻注意分清横纵坐标的含义可避免错误高考中的概率问题，一般以低中档题目出现，难度不大；从考查内容上看，主要以理解概念为主，求古典概型、几何概型的概率，运算量不大；古典概型常用枚举法计算，几何概型则需知道测度的简单含义.必备知识与方法1概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件a的对立事件的概率，然后利用p(a)1p()可得解；(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件a中的基本事件，利用公式p(a)求出事件a的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件a所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件2统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4)两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性或归方程系数或公式建立线性回归方程命题角度一抽样方法命题要点 分层抽样，求某层抽取的样本个数；用随机数表进行随机抽样，求所抽取样本的号码；选择抽样方法【例1】 某学院的a，b，c三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本. 已知该学院的a专业有380名学生，b专业有420名学生，则在该学院的c专业应抽取_名学生审题视点 听课记录审题视点 分层抽样，要求每层样本数量与每层个体数量的比与所有样本数量与总体容量的比相等解析c专业的学生有1 200380420400，由分层抽样原理，应抽取12040名答案40 分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，按各部分在总体中所占的比实施抽样，据“每层样本数量与每层个体数量的比与所有样本数量与总体容量的比相等”列式计算；在实际中这种有差异的抽样比其他两类抽样要多的多，所以分层抽样有较大的应用空间，应引起我们的高度重视【突破训练1】 某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量 为m的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m_.解析(500400200)0.2220.答案220命题角度二用样本估计总体命题要点 据频率分布表、频率分布直方图估计总体分布；已知样本数据，计算平均数、方差、标准差；已知茎叶图，计算相关特征数【例2】 右图是根据某省统计年鉴中的资料作成的2002年至2011年该省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图；图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到2002年至2011年该省城镇居民百户家庭人口数的平均数为_审题视点 听课记录审题视点 根据茎叶图，2002年至2011年该省城镇居民百户家庭人口数的具体数据是：291,291,295,298,302,306,310,312,314,317；计算这10个数据的平均数即得该省城镇居民百户家庭人口数的平均数解析法一10个数据都减去300，再计算平均数，故所求平均数为300303.6.法二10个数据，百位数和十位数为29与31的都是4个，故所求平均数为300303.6.答案303.6 由于数据过大，直接计算会引起计算错误，故要学会像解析中介绍的两种方法那样尽量简化计算；同时要理解茎叶图的特点，能够从茎叶图获取原始数据【突破训练2】 (2012南京、盐城模拟)某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为 0,10)，10,20)，80,90)，90,100)则在本次竞赛中，得分不低于80分以上的人数为_ .解析由频率分布直方图可得，得分低于80分的频率为(0.0150.0250.030)100.7，故得分不低于80分的人数为400(10.7)120人答案120命题角度三概率的计算命题要点 古典模型与几何概型的概率计算；利用互斥事件、对立事件的概率公式计算较复杂事件的概率；随机抽样背景下的概率计算【例3】 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)3只全是红球的概率；(2)3只颜色全相同的概率；(3)3只颜色不全相同的概率审题视点 听课记录审题视点 本题是古典概型，用枚举法求解，注意互斥事件、对立事件的概率公式的应用解(1)记“3只全是红球”为事件a.从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现33327种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件a的概率为p(a).(2)“3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(事件a)；“3只全是黄球”(设为事件b)；“3只全是白球”(设为事件c)故“3只颜色全相同”这个事件为abc，由于事件a、b、c不可能同时发生，因此它们是互斥事件再由红、黄、白球个数一样，故不难得p(b)p(c)p(a)，所以p(abc)p(a)p(b)p(c).(3) 3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件d，则事件为“3只颜色全相同”，显然事件d与是对立事件p(d)1p()1. 在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解；对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解【突破训练3】 (2012北京改编)设不等式组表示的平面区域为d.在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是_解析不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x，y)，则随机事件：在区域d内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x2y24的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为.答案14分清概型，准确计算一、分清古典概型与几何概型【例1】 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么，剪得两段的长度都不短于1 m的概率有多大？解如图所示，记a剪得两段绳子长都不少于1 m把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件a发生由于中间一段的长度为1，则p(a).故剪得两段的长度都不短于1 m的概率为老师叮咛：解决概率问题首先要正确区分概率模型，分清古典概型与几何概型的关键就是古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个.本题中从每一个位置剪断绳子，都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点，基本事件有无限多个，显然不能应用古典概型计算，可考虑用几何概型计算.二、正确求出基本事件的总个数和事件a包含的基本事件数【例2】 将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y.(1)求事件“xy3”的概率；(2)求事件“|xy|2”的概率解设(x，y)表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件(1)用a表示事件“xy3”，则a的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本