【步步高】高考数学总复习 10.2排列与组合配套文档 理 新人教A版 (1).DOCVIP

10.2排列与组合1排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m (mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用a表示(3)排列数公式：an(n1)(n2)(nm1)(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，an(n1)(n2)21n！.排列数公式写成阶乘的形式为a，这里规定0！1.2组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用c表示(3)组合数的计算公式：c，由于0！1，所以c1.(4)组合数的性质：cc_；cc_c_.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(4)(n1)！n！nn！.()(5)ana.()(6)kcnc.()2某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()a4种 b10种 c18种 d20种答案b解析方法一不同的赠送方法有10(种)方法二从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有c4(种)赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有c6(种)赠送方法因此共有4610(种)赠送方法3(2012大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()a12种 b18种 c24种 d36种答案a解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有a种不同的排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有a种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法因此共有aa112(种)不同的排列方法4用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()a8 b24 c48 d120答案c解析分两步：(1)先排个位有a种排法(2)再排前三位有a种排法，故共有aa48种排法5某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有_种答案14解析有1名女生：cc8.有2名女生：cc6.不同的选派方案有8614(种).题型一排列问题例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间思维启迪这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)解(1)方法一(元素分析法)先排甲有6种，其余有a种，故共有6a241 920(种)排法方法二(位置分析法)中间和两端有a种排法，包括甲在内的其余6人有a种排法，故共有aa336720241 920(种)排法方法三(等机会法)9个人的全排列数有a种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是a241 920(种)方法四(间接法)a3a6a241 920(种)(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有aa10 080(种)排法(3)(插空法)先排4名男生有a种方法，再将5名女生插空，有a种方法，故共有aa2 880(种)排法思维升华本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？解本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为a24；第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，这一步有a3种方法又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，这一步有方法a3(种)十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，这一步有方法a6(种)根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为aaa54.由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有245478(个)题型二组合问题例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维启迪可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法解(1)从余下的34种商品中，选取2种有c561(种)，某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中，选取3种，有c种或者ccc5 984(种)某一种假货不能在内的不同取法有5 984种(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有cc2 100(种)恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种(4)选取2件假货有cc种，选取3件假货有c种，共有选取方式ccc2 1004552 555(种)至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种(5)选取3件的总数有c，因此共有选取方式cc6 5454556 090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有ccc24(种)(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为cc，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为c种，因此满足条件的不同选法种数为ccc30(种)题型三排列与组合的综合应用问题例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？思维启迪把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有ccca144(种)(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法(3)确定2个空盒有c种方法4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有cca种方法；第二类有序均匀分组有a种方法故共有c(ccaa)84(种)思维升华排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准(1)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()a12种 b18种 c36种 d54种(2)(2013重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)答案(1)b(2)590解析(1)先放1、2的卡片有c种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有a种，故共有cc18种(2)分三类：选1名骨科医生，则有c(cccccc)360(种)选2名骨科医生，则有c(cccc)210(种)；选3名骨科医生，则有ccc20(种)骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是36021020590.排列、组合问题计算重、漏致误典例：(5分)有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种易错分析易犯错误如下：先从一等品中取1个，有c种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有c种不同取法，共有cc2 736种不同取法上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复规范解答解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理有ccccc1 136(种)方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：cc1 136(种)答案1 136温馨提醒(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题(2)“至少、至多型”问题不能利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.方法与技巧1对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数2排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件失误与防范1解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏2解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义3对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.a组专项基础训练一、选择题1(2012课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()a12种 b10种 c9种 d8种答案a解析利用分步乘法计数原理和组合数公式求解分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有c2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有c6(种)选派方法由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2612(种)210名同学合影，站成了前排3人，后排7人现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()aca bca cca dca答案c解析从后排抽2人的方法种数是c；前排的排列方法种数是a.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是ca.3某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()a36种 b42种 c48种 d54种答案b解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有a种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有c种排法，其他3个节目有a种排法，故有ca种排法依分类加法计数原理，知共有aca42(种)编排方案4如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有()a11种 b20种 c21种 d12种答案c解析当第一组开关有一个接通时，电路接通有c(ccc)14(种)方式；当第一组开关有两个接通时，电路接通有c(ccc)7(种)方式所以共有14721(种)方式，故选c.5(2012山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()a232 b252 c472 d484答案c解析利用分类加法计数原理和组合的概念求解分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法cc264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法c3c22012208(种)由分类加法计数原理知不同的取法有264208472(种)二、填空题6a、b、c、d、e五人并排站成一排，如果b必须站在a的右边(a、b可以不相邻)，那么不同的排法共有_种答案60解析可先排c、d、e三人，共a种排法，剩余a、b两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有a60(种)7(2013北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_答案96解析将5张参观券分成4堆，有2个连号有4种分法，每种分法再分给4人，各有a种分法，不同的分法种数共有4a96.8用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_答案8解析先把两奇数捆绑在一起有a种方法，再用插空法共有个数aca8.9某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有_种答案24解析甲、乙排在一起，用捆绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2aa24(种)三、解答题10某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有c816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有c8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有ccc6 936(种)；(4)方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有cccccccc14 656(种)方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得c(cc)14 656(种)b组专项能力提升1(2012北京)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()a24 b18 c12 d6答案b解析当选0时，先从1,3,5中选2个数字有c种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有c种方法，剩余1个数字排在首位，共有cc6(种)方法；当选2时，先从1,3,5中选2个数字有c种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有c种方法，其余2个数字全排列，共有cca12(种)方法依分类加法计数原理知共有61218(个)奇数2. 把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图中的1,2,3,4,5,6,7 所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有()a2 680种b4 320种c4 920种d5 140种答案b解析先将7盆花全排列，共有a种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5aa(种)，故所求摆放方法有a5aa4 320(种)3计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式